BC^ B'C ' B'C

Porisme LXIX. — Étant donnés trois droites parallèles, deux points A et IV sur les deux premières , et une raison X; si autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui rencontre les droites fixes en trois points m, ni', m" : on pourra trouver un point

c* / C" sur la troisième et une raison p, tels,

que pour toutes les positions de la transit versale comprises dans l’angle A p B' ; ou

A f bien, pour toutes les autres positions de

cette droite, on aura toujours la relation suivante entre les trois segments Am, B' ni', C"m":

Cm”

Mais le f>oint C' et la raison a seront différents dans les deux cas.

Les trois points ni, m', ni" divisent évidemment les trois droites en parties proportionnelles : par conséquent, la proposition se démontre comme le Porisme LXVII.

Porisme LXX. — Étant donnés trois droites parallèles, et trois points A, IV, C sur ces droites; si autour d'un point p on fait tourner une transversale qui les rencontre en m, m' et m" : on pourra trouver deux raisons X et p, telles, que pour toutes les transversales comprises dans l’angle ApB', quand la droite pC est au dehors de cet angle ; ou bien, pour toutes les transversales menées hors de l'angle A pB', quand la droite pC est située dans l’angle; on aura toujours entre les segments Am, IV m 7 , et Cm!' la : relation

A ni -+- À . B ' m'

Ce Purisme résulte, comme le LXVIII", de ce que les trois points m, m ' , m" forment trois divisions semblables.

Remarque. Si des trois points A, IV, C" on abaisse sur les transversales pmm'm" des perpendiculaires p, q, r, ellesseront proportionnelles aux trois segments Am, lVm', Cm". Par conséquent on aura l’équation.

De là ce nouveau Porisme :

Poiusmf, LXXI. — Étant donnés trois points A, IV,

C", si cyitour d'un autre point p on fait tourner une droite dont les distances à ces trois points, dans chacune de ses positions, sont représentées par p, q, r : on pourra trouver deux raisons X et p, telles, que pour toutes les positions de. la droite

tournante comprises dans l'angle A o IV , quand la droite p il" est au dehors ; ou bien, pour toutes les positions île la droite tournante hors de cet angle, quand la droite pC," Y est comprise ; on aura toujours entre ces distances la relation

\Hr Genre.

Le triangle- qui a pour sommet un point donné et pour base telle droite, -est équivalent au triangle qui a pour sommet un point donné et pour base le serment compris entre tel point et un point donné.

Porisme LXXIl. — Si de. chaque point M d'une droite LM on abaisse des perpendiculaires Mm, Mm' sur deux droites Jixes AX, BY; le point A étant donné sur la première, un autre point O étant donné hors de cette droite, et une troisième droite CZ étant aussi donnée : on peut déterminer un point A’ sur la droite BY et un point O' sur CZ, tels, que le triangle qui aura pour sommet le point O et pour base le segment Am, sera équivalent an triangle ayant pour sommet le point CY et,pour hase le segment A'm! .

Que par le point A on élève la perpendiculaire A a sur AX, et que par le point a où elle rencontre la droite donnée LM, on abaisse sur BY la perpendiculaire «A'; le pied A' est le point cherché sur celle droite.

Soit O p la distance du point lionne O à la droite AX; qu’on prenne A'D' = O p sur BY et que par le point D' ou mène à cette ■droite une perpendiculaire, qui rencontre la droite LM en d ; que de ce point on abaisse sur AX, la perpendiculaire dont le pied est I). Le point cherché O sur

la troisième droite CZ sera à une distance de BY égale à AD.

En effet, il suflit de prouver que l’on a toujours, quelque soit le point iYJ pris sur L.YI,

Am. A' D' = A'

A ni

AD

.AD, ou — , = xiÿ

A ni

Cette proportion a lieu évidemment, car on a

* A ni «M A 'ni'

AD — ail ~ À 7 !)'

Donc, etc.

Porisme LXXI1I. — Si autour de deux points fixes P, Q on fait tourner deux droites qui se coupent successivement en chaque point M d'une droite LE et qui rencontrent , respectivement, deux droites fixes AX, BY parallèles à la

base PQ, en deux points m, m'; le point A étant donné sur l’une AX de ces droites , et un autre point O quelconque étant aussi donné : on pourra trouver un point A! sur la droite BY et un point O' sur tinè droite donnée CZ, tels, que le triangle qui aura pour sommet ce point O' et pour base le segment A'in', sera équivalent au triangle ayant pour sommet le point O et. pour base le segment Am.

Qu’on - mène PA qui coupe ladroiteLEen a ; puis Qn qui rencontre BY eu A\ Qu’on prenne sur cettedernière droite A'!) 7 égal à la distance du point O et de la droite AX ; qu’on mène QD' qui rencontre LE en*/; puis Pt^qui rencontre AX en D. Enlin qu’on prenne sur CZ le point O' à une distance de A’Y égale à AD. Les points A' et CE seront les points demandés.

En ell’cl, les quatre droites Pa, PiM, P/l, PQ coupées par

AX, PL donnent, d après le Lenime XI,

A m a M EM

Âij ~~ad ' Ërf’

Pareillement

Mm' aM EM

M D' ~ hd ‘ Erf'

Donc

Am A' m'

Âï> ~ À ; L)' ‘

ou, en appelant Op, O'p', les distances des deux points O, O' aux droites AX, BY respectivement,

—— — — — , ou Am.O« = A'm.Op.

Op O/) t t-

Ce (|ui démontre le Porisme.

XIV e Genre.

Une droite, plus une autre, a un rapport donné avec tel segment compris entre un point donné et tel point.

Porisme LXXIV. — Quand deux points variables in, m' divisent deux droites en parties proportionnelles ; deux points A et B étant donnés sur la première droite: on peut déterminer un point C' sur la seconde, et une raison X, tels, qu'on aura toujours la re-

lation

Qu’on prenne le point C milieu de AB, et son homologue C' sur l’autre droite : ce sera le dernier point cherché. Soit A' l’homologue du point A, on aura •