E EF

En effet, les trois droites PM, Pc, PE coupées par FL et FX, donnent, d’après lelemmeXI,

Cm cM EM

cf cF ’ If

On a de même à l’égard des trois droites QM, Qc et QR

Porisme LXXYI. — Étant donnés deux droites SL,

SL' et un point P, si autour de ce point on fait tourner une transversale qui rencontre les deux droites en me(m': on pourra trouver deux points A et B' sur ces droites , et un rectangle 'J , tels , que le rectangle des deux segments Am, B' nv sera toujours égal à ce rectangle v.

Que par le point P on mène la droite PA parallèle à SL', et la droite PB' parallèle à SL. Les deux points demandés A et B' seront

déterminés. Le rectangle v sera égal à SA. SIV; de sorte qu’on aura

Am. B' ni = SA. SB'.

Cela se démontre par le Lemme XI. Eu elïel, menons par le point S une droite qui coupe les trois PA, PU' et Pnt en a, o et a. On a j"ar le Lemme cité

Donc

Sa SS SA /«'B'

pia aS ni A SB'

ni A . ni' IV = SA . SB'.

Ce Porisme a été rétabli par Simsori et forme sa 4> r proposition. « Quæ est Poristna, unum scilicet ex iis quæ » Pappus tradit inter Pôrismata Lib. I. Euclidis, liisce » verbis : Quod recta... aufert a positione dalis segmenta » dalum rectangulum comprehendentia. »

Porisme LXX^ II. — Étant donnés trois / joints p, A, IV, on peut mener par les points A , B' deux droites fixes telles, que toute droite menée par le point p les rencontrant en deux points m, ni', le rectangle Am.B'in' ait une valeur constante.

En effet, si par le point p on mène les deux droites p A, p IV ; par le point A une droite parallèle à plV, et par le point B' une droite parallèle à p A : ces deux droites satisferont à la question.

Cela résulte du Porisme précédent.

II e LIVRE DES PORISMES.

Pappus dit : « Dans le second Livre les hypothèses sont » différentes, mais les choses cherchées sont pour la plu- » part les mêmes que dans le I er Livre. Il y a en outre cei- » les-ci. »

Nous donnerons d’abord les Porismes qui appartiennent en propre au second Livre et qui y forment les genres XVI à XXI, puis, ceux qui rentrent dans les genres du I er Livre.

XVI* Genre.

Tel rectangle seul, ou tel rectangle plus un certain espace dotlné est dans line raison donnée avec telle abscisse.

Porisme LXXVIII. — Si deux points variables m, m' sur une même droite, sur laquelle sont donnés quatre points fixes dans l'ordre a, c, a', e', sont liés par l’équation

am ^ m’ a' cm c' m '

on peut trouver un point b', un rectangle v et une ligne fl, r a , r , tels, que, quand les

• ‘| «r - * * T ?*" «' deux segments am,

b'm' se trouvent dirigés dans te même sens, on a toujours aussi la relation

am . b' m' 4- v mm'

En effet, l’équation proposée s’écrit :

am . c'm! =fc X . m'a . cm,

Remplaçant cm par ( ca — ma ) et ni a' par (m'c'-H c'a ), il vient

am . c' ni = ï [ ca . ni' d 4 - ca. c'a! — ma . nt'd — ma . du' |

, , \.c a \.ac . , k.ac . ,

am . cm ■+■ . ma — : . cm — — . a c — o.

Prenons les deux points I et J' déterminés par les expressions

k.ac k.c a

- et c J = . — — i

dans le sens des segments ne, c'a', respectivement; l’équation devient

am.dm -f- d}' .ma — al. c'm' — a I .a^d — o.

Introduisons le point b', au lieu de c', en remplaçant dm 1 par (b' m' — b'd) dans le premier terme, et par (am' — ad) dans le troisième: on obtient, après les réductions,

am.b'm' -+- am.i'b' — al.am'-t- al.aa' = o.

Le point b' est quelconque. Prcnons-lc de manière que .T'A'=aI : il sera à la même distance que le point a du milieu des deux I et J'; et l’équation deviendra

am . b'm' — al (am' — am) -t- al. aa! = o ou

a ni .b' m' «1 .aa' ,

En la comparant à celle que l’on s’est proposé de démontrer, on conclut

V — al.aa' cl p = al,

\.ac .an!

\.ac X -+- 1

Remarquons que le point I déterminé par l’expression

«1 = ^ occupe la position que prend le point m quand

ni est suppose infiniment éloigné. Car la relation donnée

am ^ a' m' me ’ c' m'

ou am — l.mc = X («te — am)-,

>.<ic

am = r

Ainsi le point m coïncide avec I.

Pareillement, quand le point m est infiniment éloigné, le point correspondant ni coïncide avec J' déterminé ci-dessus.

Observation. Nous avons supposé, dans l’énoncé du ' Porisme, que les quatre points donnés se trouvaient dans l’drdre a, c , a', c', que présente la figure, et auquel s’applique la démonstration. Mais, quelque soit l’ordre de ces points, sous la seule condition que les deux segments ac cl au' se trouvent dirigés dans le même sens, le Porisme a toujours lieu.

Il subsiste même encore, quand les deux segments ac, aa! ont des directions différentes; mais alors ce n’est plus à l’égard des couples de points /«, ni qui font des segments am, b' ni de même direction ; c’est à l’égard des couples de points pour lesquels ces segments se trouvent de directions contraires.

Dans chaque cas la démonstration sera imitée de celle qui précède. Il est inutile d’ajouter que dans la Géométrie moderne une seule démonstration, de même qu’un seul énoncé delà proposition, suffisent pour tous les cas possibles.

Cas particulier. D’après la généralité du Porisme, quelle que soit la position relative des points donnés, on peut

se réduit alors à

et, par suite,

supposer que les deux poinis a et a 1 se confondent; nlors le rectangle v disparaît. Cela s'accorde avec l'énoncé du XM r Genre, auquel appartient le Porisme.

11 est à remarquer encore que dans ce cas, où le point a' coïncide avec son homologue a, le point b' coïncide aussi avec son homologue.

En cll’et, si a et al coïncident, l’équation devient, en appelant c la position de ce point,

cm .V m' — e\.ni m' .

Et si l’on suppose que ni vienne en h', on a . o = el./nm'.

Donc mnl — o, c’est-à-dire que les deux points homologues m, ni coïncident. Mais m' est en fl . Donc ce point II coïncide avec son homologue.

Porisme LXXIX. — Si autour de deux points P, Qon fait tourner deux droites qui se coupent sur une droite

donnée de position ED cl qui rencontrent une autre droite aussi donnée df position AX, en deux points m, m' ; le point A étant donné sur cette droite : on pourra déterminer un second point. IV, un rectangle v, lequel peut être nul, cl une ligne p, tels, que, pour certaines positions du point M, en nombre infini, sur la droite AX, on aura toujours la relation

mm 1

En efTet, d’après le Porisme XXIV (Corollaire TII), il existe entre les deux points m, ni que les deux droites tour-"

ioogle

liantes déterminent sur la droite AX, une relation telle que Am.C' ni — \.h! ni . C ni,

dans laquelle A et A' sont des positions particulières des deux points variables m, ni ; ainsi que C et C'.

Par conséquent, d’après le Porisme précédent, celte relation donne lieu à celle-ci :

A ni v = p . mm'.

11 s’agit de déterminer la position du point B', le rectangle v et la ligne a.

Qu’on mène Ql) parallèle à AX, qui rencontre la droite LD en D, et PD qui rencontre AX en I. Puis, PH parallèle à AX, qui rencontre LD en H, et QH qui rencontre AX en J'. Qu’on prenne B' sur AX, à la même distance que A du milieu des deux points 1 et J'. Enfin qu’on mène PA qui rencontre LD en a, et Q a. qui rencontre AX en A'. On aura

p = AI et v = AI. AA';

et, par suite,

Am .B'm' -f- AI . AA' . T -, = AI.

Car le poiut I qui vient d’être déterminé est évidemment la position (pie prend le point m quand m' est infiniment éloigné; par conséquent, cette équation est celle qui a été démontrée dans le Porisme précédent.

On vérifiera aisénicntquedans le premier membre de celte égalité, le signe plus aura lieu, conformément à l’énoncé du Porisme, pour les positions du point M, telles (dans la figure ci-dessus), que les deux points m, ni se trouvent de côtés différents des points A et B', respectivement. De sorte que, sous celte condition, le Porisme 9era démontré. -• Quand le point A est situé en Eoù la droite LD rencontre AX, le point A' coïncide avec A, de sorte qu’on a AA' = o. Mais alors le point B' coïncide aussi avec son Homologue;

ce qui a lieu en F où la droite PQ rencontre AX. L’équa lion devient donc

Em.Fm' r .

Pareillement, quand le point A est en F sur la base PQ, B' est en E.

Ce sont les cas prévus par l’énoncé que Pappus a donné du XVI e Genre.

PotusMF, LXXX. — Si par chaque point M d'une droite LF on mène, une droite aboutissant à un point fixe P et une autre droite MQ parallèle à une droite donnée ; et si ces deux droites rencontrent une autre droite donnée AX

en deux points in, m'; le point A étant donné sur la droite AX : on peut déterminer un point IV, sur celte droite, un rectangle v et une ligne p, tels, que pour des positions du point M, en nombre infini, sur AX, on aura toujours

Am . B' ni' v mm'

En effet, qu'on mène à LF la parallèle PI qui rencontre AX en I; puis, à AX la parallèle PH qui rencontre LF en H; et parallèlement aux droites MQ, la droite HJ' qui rencontre AX en J'. Qu’on prenne sur AX le point B', à la même distance que le point A du milieu des deux points I, J' ; et enfin qu’on mène PA qui rencontre LF eu », et par ce point une parallèle aux droites MQ, qui rencontre AX en A'. On démontrera, par les considérations employées pour les Pot istnes précédents, que

p. = AI, et v = AI. AA';

el que l’on a dès lors

Am .B'm' -+- AI . AA' . t — AI.

Ici (c’cst-à-dirc dans la figure ci-contrc) le rectangle AI. AA' sera additif pour toutes les positious du point AI qui seront telles, que les deux points iw, m! soient du même côté des deux points A et B 1 , respectivement.

Si le point A se ti<âftveen F, sur PE parallèle aux droites MQ, ou en F, A' coïncide avec A (et B' avec F, ou avec E), et le rectangle v est nul : de sorte qu’on a

Em.Fm'

= El;

Fm.Em' T ou ; — = ri.

LePorismccsl donc complètement démontré.

Porisme LXXXI. — Par un point O donné sur une droite OE, on mène deux droites Om, O m! faisant avec OE des angles égaux, et rencontrant, une droite fixe AF.

en Jeux points m et m ; le point A étant donné sur cette droite : on pourra trouver un autre point B', un rectangle v et une ligne p, tels, que pour des positions des points m, m', en nombre infini, on aura toujours l égalité ■

Am.BV -+- v

Soient OF perpendiculaire à OE et I le milieu de FF.; soit, en outre, l’angle FO A' égal à FOA ; on prendra IB'= Al, v = AI . A A' et p = AI ; de sorte qu’il faut démontrer que pour des positions des points m, m on aura

A/n.B'/n' 4- Al . AA' . »

mm' <

Le» jioiuts m, m! devront se trouver du même côté des deux points A et B', respectivement, lorsque le point A sera en dehors du segment FE, à droite ou à gauche iiididéreimnent; et de côtés differents des deux points A et B' lorsque le point A sera entre E et F.

Supposons le point A à gauche de F." Soit la droite GOG' parallèle à AE. Les quatre droites OA, 0 m, 01, OG font entre elles des angles égaux à eeux^^ droites OA', O m', OG', 01 ; et l’on en conclut, par les Torollaires des Lcmmes III et XI (p. 83 et 84), la relation

Am.lm' = A' m ' . AI.

Ecrivons

Am(IB'-hB'm') = A'm'.AI, pu, parce que IB' = AI,

A m .B 'ni' -h A m. AI = A 'm . AI, Am.BW+(AA'+ A'm)AI = A'm'.AI, Am.B'm'ÿ AI. AA' = AI (A 'ni — Am) = AI. mm'; pt enfin

A m . h' m' -+■ AI. AA' ..