PE . GE EI
PQ ’ GQ — ÊF‘
(Lemme XI.)
m E . FE mm' - fit?
ËF’
ou
= El.
Par conséquent, il suffit de poser p = El.
Donc, etc.
Poiusme LXXXIV. — St pur un point P on mène deux
droites faisant des angles / égaux avec une droite fixe
F » m f . / i« v et j
PX, et rencontrant une autre ihoite AY en deux points m, in : on pourra trouver deux points E, F sur cette dernière et une ligne p, tels, que le rectangle E m . F m! sera toujours égal au rectangle p.inm'.
Les deux points E, F sont ceux où la droite PX cl sa per-
pendiculaire menée par le point P rencontrent l’antre droite
donnée A\\ La constante p est égale à
En effet, les deux droites PE, PF sont les bissectrices de l’angle mVm' et de son supplément, par conséquent les «leux points ///, m' divisent harmoniquement le segment EF, c’est-à-dire que l’on a
F ni ni' F
On démontrera donc, comme pour le Porisme LXXXI1, ou l'on conclura de ce Porisme même, que
E m . F m' EF
mm' •?.
Donc, etc.
XVIIF Genre.
Tel rectangle ayant pour côtés la somme de deux droites et la somme de deux autres droites a un rapport donne avec telle abscisse.
Porisme LXXXV. — Quand deux droites tournent autour de deux points fixes P, Q en se coupant toujours sur une droite donnée de position LE, et qu'elles rencontrent une autre droite fixe AC, en deux points m, m'; les deux points A et C étant donnés sur cette droite : on peut trouver deux autres points B et D', et une ligne p, tels , que pour chaque couple de points m, m' dont le premier se trouvera hors du segment AB, et le second hors du segment eu, on aura toujours la relation
{Km -+- B/n) (Cm' -+- D'm')
w — fJ "
Soient E, F les points d’intersection de la droite AC' par les droites LE et PQ.
Qu’on prenne 15E = EA, I>'F = FC. Les deux points 15 et D' sout déterminés.
Qu’on mène par le point Q une parallèle à AC', qui rencontre LE en i; puis, qu’on mène Pt qui rencontre AC en I; on aura p — 4 EL De sorte que l’équation à démontrer est
( Am -+- Bm) ( C'ra' -f- D'm') , T
mm
En eflct, les points E, F, I satisfont aux conditions du Porismc LXXX1II : et, par suite, ils ont avec les points ni, m la relation constante
F.ffi.Fm' mm'
Mais, de plus, le point E est le milieu de AI5 : donc
El pareillement, le point F est le milieu de 15'C : ainsi
L’équation devient dès lors
{ A m -t- B/n ) (Cm 1 -4- D'/w')
mm
PomsME LXXXVI. — Autour d'un point O pris sur une droite fixe OH, on fait tourner deux droites Om, O m' dont les angles avec cette droite OH sont toujours égaux, et qui rencontrent une nuire droite donnée AC' en deux
points m, né ; les deux points A et C étant donnés : on pourra trouver deux autres points 15 et D ; sur la même droite AC, et
une ligne p, tels, que quan/l les deux droites O va, Om' seront nu dehors des angles AOB, COD', respectivement, on aura toujours l'égalité
( A ni -+- B ni ) (C'n/ -+- D' ni' )
mm' y
La droite donnée OH et sa perpendiculaire menée par le point O rencontrent AC' en deux points E et F. On aura
p — a EF.
Qu'on prenne ensuite F,B = AF., et FF = C/F; les deux points demandés B et iy seront déterminés.
L’égalité proposée résulte alors du Porisme LXXXIV, en appliquant à la relation qu’il établit entre les points E, F, m, m 1 des transformations semblables à celles du Porisnie précédent.
XIX' Genre.
lïn rectangle qui a pour côtés telle droite et une autre droite augmentée d'une seconde qui a un rapport donné avec telle autre, et le rectangle construit sur telle droite et une autre qui a un rapport donné avec telle autre, ont leur somme dans un rapport donné arec une certaine abscisse.
Porisme LXXXYII. — Quand deux droites tournent
autour de deux points fixes P, Q en se coupant sur une droite LF, et rencontrant une autre droite fixe en deux points m, m'; si quatre points A, B, C', iy sont donnés sur celte autre droite : on peut trouver un cinquième point F.', deux raisons X et p, et une ligne v, tels, qu on aura la relation
A m ( C' ni' -4- ). . D'n/) -f- p .B ni . F/n/
En effet, soient E' et F les points d’intersection de la droite AB par PQ et LF, et I le point déterminé comme dans le Porisme LXXXIII : on aiira, d’après ce Porisme,
E ni' .V m
mm'
FI
Mais on sait qu’il existe entre les quatre points F, m , A, B, la relation
F/w.AB = AF.B/n-t-FB.A
. AB r AB
Et, pareillement, entre les quatre points F/, m 1 , C', iy,
Em =CD'’ ly "‘ H -cTr t "‘
Par conséquent l’équation (i) devient
. /E'D' , , , C'E' A AF u ,
Aw ’(ëp' C m + C 7 D' D m ) + ÂB Bm E ni
FB
ÂR
FI
A/n. (CW+
AF C' D' n ,
' FB W B "* E " L AB CT
