V IV

FB E'D'

Il suffît donc de prendre

. c^e' af çjy ab cny

— E'D'’ ^-FB’E'D'’ v ~ FB Ë'D'* 1 ’

pour que le Porisme soit démontré.

Observation. Cette proposition donne lieu à d’autres Porismes.

Par exemple, on peut supposer que les deux raisons soient données ainsi que les trois points A, C', E': on déterminera la ligne v et les deux points B et D'.

Ou bien encore, si l'on donne la raison X et la ligne y, avec les mêmes points, on déterminera la raison p et les deux points 15, iy.

XX' (i enre.

l.a somme de ces deux rectangles est dans un rapport donné avec le segment compris entre tel point et un point donné.

Porisme LXXXVIII.- — Étant donnes sur une droite quatre points, placés dans l'ordre a, a', b, b' : on peut

trouver un cinquième point O î ? « 6 m ’ et une ligne p, tels, que pour

tout autre point, m, pris entre a et a' ou entre b et b' indifféremment, on aura toujours la relation

ma . ma' H- mb . mb'

mÔ ~

Le point O se détermine par la relation Oa.Oa' = Ob.Ob'-,

et la ligne p est égale au double de la distance «6 des milieux des deux segments aa! , bb'.

En effet, soit le point m situé sur bb', on a

ma. ma! = (mû -+- On) (mO -f- Oa')

= mû -h mO (Oa -h Oa') -f- Oa.Oa',

mb. mb' = (mO — O b) (Ob' — mO)

— m O (06 -f- Ob') — O b. Ob'.

Ajoutant ces équations membre à membre, ayant égard à l égalité qui sert à déterminer le point O, et observant que si a et 6 sont les milieux des segments aa! , bb', il en résulte

Oa-t-Oa' = îOji et O b -f- Ob’ = a OS; on obtient

ma . ma' + mb .mbl = 2 mO (Oa -f- 06) ce 2 ;nO. a6,

ma . ma' + mb . mb' m O

Observation . On vérifie aisément que la relation qui constitue ce Porisme, et le Porismemème, par conséquent, ont lieu quelle que soit la position relative des quatre points a, a', b, b', pourvu qu’on prenne le point m dans des régions différentes, déterminées par cette simple règle : quand les deux segments ma , ma' ont la même direction*, les deux mb, mb' doivent avoir, l’un par rapport à l’autre, des directions différentes; et réciproquement.

• Ce Porisme se trouve, sous un tout autre énoncé, parmi les Lemmesde Pappus relatifs au second Livre de la Section déterminée d’Apollonius. Il est reproduit dans douze Lemmes consécutifs (propositions 45-56) qui répondent aux différentes positions que peut avoir le point m, en raison des positions relatives des quatre points a, a', b, b'.

Dans la Géométrie moderne on comprend tous ces cas dans la seule formule

ma . ma' — mb .mb' m O

2 Sa,

en donnant des signes aux segments (voir Traité de Géométrie supérieure, p. i54).

Porisme LXXXIX. — Deux droites SL, SL' étant données de position ,• un point A étant donné sur lapremière, et un pointC sur la seconde :

on peut trouver deux points B et B' sur ces droites, et une ligne p, tels, que si autour d'un point donné P on fait tourner une transversale qui rencontre les deux droites SL, SL' en deux points m, m', on aura toujours pour chaque position de cette transversale comprise à la

fois dans les deux angles APB, C'PB', ou située au dehors , la relation

A m . B' ni -+- B m . C' m'

Bffl =f 1 -

Que par le point P on mène une parallèle à SL', qui coupe SL en I; qu’on prenne BI = AI, le point B est déterminé; et la droite PB marque sur SL' le point B'. La droite PA rencontre SL' en A'; qu’on prenne p = C'A': la ligne p est déterminée.

Supposons que la transversale soit intérieure aux angles APB, C'PB'; il faut démontrer que

Am.B'm'+Bm.C'™' ,

Or C'A'= C'm' + m'A'; par conséquent, il suffit de faire voir que .

Am. B'm' = Bm. m'A'.

En effet, les quatre droites qui partent du point P font sur les deux transversales SL, SL' des segments tels, que

Am AI ni' A'

ITrw * ÏB ~~ BV’

(Lemme XL )

ou bien, puisque AI = IB par construction,

Am m' A'

ou enfin

A m . B' ml =Bm.m'A'.

Donc, etc.

Lemme. — Quand deux points variables m , m' sur deux droites ab, a'b' sont liés par la relation

am , a' m' bm ' b' m' ’

si l'on prend deux points arbitraires c, d sur la première droite, et les deux points cf, à 1 qui leur correspondent sur la deuxième droite :

on peut déterminer une constante p, telle, qu'on aura toujours

cm c' ni

tint ^ d' m’

La valeur de cette constante est

Xèc + ca

^ \bd — ad

En eflet, qu’un place les deux droites ab, a 1 b 1 de manière que les deux points a, a 1 coïncident, les quatre droites bb\ cc\ dd' et mm' concourent en un même point. Caron a, par hypothèse,

Donc

am . a' ni

bm b' ni

ne , a' c'

Tc~ a ‘V?'

am ' ac a' ni # a' d

bm " bc b' ni ’ b' d

Ce qui prouve (Leinme XVI) que les trois droites b b 1 , ce et mm! concourent en un même point. Et le même raisonnement s’applique à la droite dd' .

D’après cela, il existe entre les deux systèmes, de quatre points a, c , d , meta, c , d , m (Lenime III ou Lcmme XVI), la relation

cm ca c' ni c’ a’ *

dm " da d’ m' ’ d' a''

d’où

\bc .al d — ac .b' d — ac .(b' at — d al),

(kbc -4- ca)a!d = ac.b' a! .

Pareillement

(Xbd — ad) a/d' = ad. b' a!.

Donc

a' d ac \bc-+-ca ac a' c' \bc -+- ca

_____ — — ___ • Oll — • - — - .

a'd’~ ad'\bd — ad' ad * a' d’ ~ \bd— ad

Et, par conséquent,

cm dm' \bc + ca dm d' qi 1 \bd — ad •

Corollaire /. Si l’on suppose que le point c coïncide avec a, il s’ensuit que l’équation

am , a' m'

bm ’ b' m' ■

donne lieu à celle-ci :

. am a' m' ba

dm d' m' À . bd — ad

Corollaire II. On peut prendre le point d de manière que l’équation devienne

am a' m'

. md d' m'

En effet, il suffit de faire

l.bd-ad = , > ^■^ = X.bd-ad,

}..ab = 'k.[ad — ab) — ad, ad=%-

Cette dernière expression fait connaître la position du point d.

Il existe une autre détermination très-simple de ce point.

Soit I la position que prend le point m quand ml est à l’infini; position qu’on détermine par l’équation

al -l

Ïî- A -

L’équation

devient

am

md

a m d'in'

£=i. al = d\.

la

Ainsi le point I est le milieu entre les deux points a et d ; et cette considération sert à déterminer le point d.

Porismb XC. — Quand deux points variables m, m' sur deux droites ab, a'!/ (qui peuvent être coïncidentes), sont liés par la relation

am , a' m'

bm ' b' m r *

on peut prendre arbitrairement un point ô! et déterminer deux autres points c, g et une ligne p, tels, que si les segments am, cm se trouvent de même direction ou de

directions contraires, et si les segments b'm' et diva! sont aussi de même direction ou de directions contraires , on aura toujours la relation

am.b' m' + cm .d' m'

— =ft.

grn

En effet, d’après le Corollaire II du Lemme qui vient d’être démontré, on peut trouver deux points e et d, tels, qu’on ait toujours l’équation

am

mp,

Ecrivons :

am, (d b 1 -+- b'm') = me (a! d ' — m' d'), am.b'm' rue . m' d' = me . a' d' — am . d b'.

Introduisons un point g, en remplaçant dans le second membre am par (grn — go), et me par (mg — cg) ; il vient

am.b'm! 4- cm.d'm' = gm[d' a! — db') -f -ga.c'b ' — gc.cta .

Qu’on détermine le point g par l’équation

ga d' a' gc ~~ c' b' ’

et la constante p ainsi

l’équation devient

am.b' ru! -f- ctn.d' m! = p.gm.

Purisme XCI. — De chaque point M d'une droite LM on mène à un point fixe P un rayon qui rencontre une droite AX en m; et du meme point M on abaisse une perpendiculaire Mm' sur une autre droite B'D'; le point A étant donné sur la droite AX, et les points B', iy

sur la deuxième droite B'iy : on pourra trouver deux points C et G sur la droite AX, et une ligne p, tels, que, quand les points m et m! se trouveront à la fois entre A et C, et entre B' et D', respectivement, ou bien lorsqu'ils seront à la fois hors de AC et de B'iy, la somme des deux rectangles Am. lVm' et Cm.D'rn' sera au segment Gm ‘dans le rapport de la ligne p à l’unité.

Il s’agit de démontrer l’égalité

Am .B'm' -f- Cm.D'm'

Qu'on mène à la droite LM, par le point P une parallèle qui rencontrera la droite AX en I, et qu’on prenne le point C sur le prolongement de AI, à la distance IC = AI.

La droite PC rencontre la droite LM en un point c d’où l’on abaisse la perpendiculaire cG sur B'D'. Du point a où PA rencontre LM, on abaisse sur B'D' la perpendiculaire a A!. Le point G se détermine par la proportion