GC — B'C
et l’on a *
En efl’et, les quatre droites PA, PC, Pm, PI coupées par AX et LM, donnent
^c : îc = 7 m’ ( Lemme XL)
ou
Am ,aM
puisque AI = IC.
Or, à cause des parallèles a A', Min!, cG,
aM A' m' •
cM CV’
Donc
Am A' m' m C Cm'
D’après cela, la démonstration du Porisme précédent s’applique au Porisme actuel.
Donc, etc.
PoaiSME XCII. — Autour de deux points fixes P, Q
( aoo )
on fait tourner deux droites se coupant toujours sur une droite donnée de position LM, et rencontrant, respectivement , en m et va! deux autres droites données de position ; si deux points A et C sont donnés chacun sur l'une de
ces dernières droites :
on pourra trouver un point B sur Am, un point B 7 sur Cm! , et une ligne fi, tels, que, quand les segments Am, Bm se trouveront de même direction ou de directions contraires, si les segments B'm' et C'm' ont aussi entre eux la même direction ou des directions opposées, on aura toujours la relation
B m . C ni
Bm ’ U '
Qu’on mène à la droite Cm! par le point Q une parallèle qui rencontre la droite LM en j; la droite P i coupera Arn en I : et en prenant BI = IA, le point B sera déterminé. .
Qu’on mène PB qui rencontre LM en b ; la droite Q b déterminera sur Cm! le point B'. Enfin, qu’on mène PA qui rencontre LM en a, et Qa qui rencontre Cm! en A'; et qu’on prenne p = C'A'.
Il faut donc démontrer que
Am.B'm' + lira.C'm’ CA'
Bm
Or, en supposant avec la figure, que les points m et m' soient situés sur les segments respectifs AB, C’ B’, on aura
Par conséquent, il reste seulement à prouver que Am. Y! ntl = Ynt.nl A'.
; fin.-
Zn if
En effet, d’une part les segments que les quatre droites PA, PB, P/n, PI font sur AB et LM ont entre eux, d après le Corollaire I du Lemme III (p. 82), la relation
A ni m AI aM , ai
Bw ‘ ÏB ~ élâ ' ~ïb'
Et d’autre part, on a, en vervu du Corollaire du Lemme XI (p. 83 ), appliqué aux quatre droites partant du point Q et coupées par les deux LM, A' B',
a M ai m! A'
6M ’ bi B ' m'
Donc
Km m AI m' K'
Wiïï ' ÏB M'
Mais AI = IB. Donc
Km m' K'
B m B' ni' 1
ou
A m . B' ni'
Bin.m'A 1 .
XXI e Genre.
Le rectangle compris sous telle
droite et telle autre est donné.
Poïusme XCIII. — Quand deux points variables m, m' sur deux droites ab, a'b' sont liés parla relation
uni .b' m 1 j
iS bni.a'm'
on peut trouver deux points I, J' sur les deux droites et un espace v, tels, que le rectangle Im. J'm' soit toujours égal à cet espace.
Soient c, c'deux positions correspondantes des points ni, m' sur les deux droites, de sorte qu on ait
ac.b'd bc , a ' c r
RliKSÜMVHBlTHT GENT $EMINÀRI£ VûûR HOGERE MEETKUNDE
( aoa )'
et, par conséquent,
ou
nm.b'm' ac.b’c' bm.a'm' bc.a'c ' *
arn.bc a'm'.b’c' bm.ac b'm'.a'c'
Supposons qu’on place les deux droites de manière que les deux points a , «'coïncident : les deux droites bb' , ce' se coupent en un point S, et la droite mm' passe toujours par ce point ; ce qui résulte de l’équation ci-dessus, d’après le Lemme XVI de Pappus. Qu’on mène les droites SI, SJ' parallèles aux deux droites a! b', ab, respectivement. On a, par les triangles semblables,
am m'a am m'a
SJ' J 'm'* ° l In J'nj'
• Écrivons
Im — In J'a — .1 ' m'
la ~ Vin'
Cette égalité se réduit à
ou
Im J'a' la J'm'’
Im.J'm'=Ia.J'«'.
Par conséquent v = Ia.J'a'. EtlePorisme est démontré. Remarque. La position du point I se détermine par l’expression
Car en considérant les quatre droites Sa, Si, Se, SI cou* pées par les deux ab, ai b', on a, d’après le Lemme XI,
I a % ca c' b'
I b ’ cb c' a' ’
On a de même
cb ‘ c' b' cb.c' a'
S'il' 1
Pouisme XCIV. — Étant donné un parallélogramme A1SCD, si de ses sommets] A, B on mène deux droites à , chaque point M du côté opposé CD,
/» lesquelles rencontrent la droite EF
r — y* qui joint les milieux des deux côtés
/ /y/, /'Z AB, CD, en deux points m, m' : on
/ peut trouver' un point I sur cette
/ Z droite EF et un espace v, tels, que
le rectangle Im.Im' sera égal à cet
espace.
En effet, on aura
\m.\ni' = IF*.
Car les quatre droites AC, AD, AM, AF coupées par les deux FC, FE donnent, en vertu du Leramc XI,
I m CM . DM
De même
1 m' DM . CM IF — DF ' CF'
Et, par conséquent,
I ni . I m' — ÎF .
Porisme XCV. — Étant donnés un parallélogramme ABCD, et deux points P, Q sur ses côtés AD, CD, si par ces points on mène dans une direction quelconque deux
droites parallèles qui rencontrent en m et m' les deux b côtés AB, CB : le rectangle Am. Cm' est donné.
Soieut N, N' les points dans lesquels la droite PQ rencontre les deux côtés AB, CB, on a
Am.Cm'= AN.CN'.
En effet, on voit par les triangles semblables que
Am CQ AP CIV
ÂP ~ Cm' 61 AN — CQ 1
par conséquent
A m CIV AN “ Cm'’ ou
Am. Cm' = AN.CN'.
Porisme XCVI. — Si autour de deux points fixes P, Q on fait tourner deux droites qui se coupent sur une
droite donnée de position % LF, et rencontrent une autre droite fixe A X en deux points m, m' : on pourra trouver deux points I, T sur celte dernière droite, et un rectangle v, tels, que le produit des deux segments Im, J'm' sera toujours égal à ce rectangle v.
Qu’on mène parallèlement à la droite fixe AX la droite QC qui rencontre LF en C : la droite PC coupera AX en I. Que pareillement on mène la droite PD parallèle à AX, laquelle rencontre LF en D : la droite QD coupera AX en J'. Les deux points cherchés I, J' sont ainsi déterminés.
Quant à la constante v, soit F le point de rencontre de la droite LF et de AX ; on aura
v = IF.J'F.
Il faut prouver dès lors que
I m. JW = IF.J'F.
Or cela résulte, sans difficulté, du Lemme XI (proposition x37). En effet, d’une part, en considérant les quatre droites PM, PF, PC, PD coupées par les deux AX,et LF, on trouve
Im CM. DM ÏF — CF’ DF 5
et, d’autre part, en considérant les quatre droites QM, QF, QC, QD coupées par les deux mêmes
J' F CM > DM
i'm' — CF * DF *
Donc
lm JF
ou
I m. J V= IF.J'F.
Porisme XCVII. — Quand deux droites tournent autour de deux points fixes en faisant entre elles un angle de grandeur donnée, et quelles rencontrent en deux points m, m' deux droites données de position : on peut trouver sur ces dernières droites deux points fixes I et J', et un rectangle v, tels, que le rectangle Im. J'm' soit toujours égal à ce rectang/ev.
En effet, considérons quatre systèmes de deux droites
inclinées outre elles sons l'angle donné. Dans le premier système les deux droites rencontrent, respectivement, les deux droites données en a et a' \ dans le deuxième système, en m et m'\ dans le troisième système, la droite menée par le point Q est Q/ parallèle à l’une des deux droites données, cl la droite menée par le point P rencontre l’autre droite donnée au point I; enfin, dans le quatrième système, la droite issue du point P est P j parallèle à cette dernière droite donnée, et la droite issue du point Q rencontre l’autre en J'.
Les droites Pn, Pm, PI et P j coupent la droite a' m' en quatre points que nous appellerons A, M, i et J. On a entre ces points et les trois a, m, I la relation
I m Ta
/M . JRI <A * JA*
(Lemmc XI.)
Mais ces quatre droites fout entre elles les mêmes angles que les quatre droites correspondantes Qa', Qm', Qi et Q J' : par conséquent, on a entre les quatre mêmes points A, M, J, i et les trois a\ m', J', la relation
Donc
/ M JM J 'a' . ..
