JI = ÏW (foliaire II, p
J ^ J //î Tl// I lit
~ — = 77— r> ou Im. J'm = la. J a .
In J a
Ainsi v = la. J' a' = const. Ce qui démontre le Porisme.
Obseivation. Si les deux points P, Q coïncidaient, auquel cas il y aurait à considérer un angle de grandeur donnée tournant autour de son sommet, et dont les côtés rencontreraient les deux droites fixes en deux points m, tn! : la proposition qui vient d’être démontrée permet de conclure qu’il existe dans ce cas sur les deux droites deux points I et J' donnant lieu à la relation constante
lin.J'm' const.
Pobisme XCVIII. — Si autour de deux points P, Q on fait tourner deux droites faisant, respectivement, avec
deux droites fixes PX, QY A deux angles égaux, mais en |m' / sens contraire ; ces deux droi-
/ ' tes tournantes rencontreront Y deux droites fixes AZ, B' U' en
Ü deux points m, m' : et Von
pourra trouver sur ces dernières droites deux points I, J', tels, que le rectangle I m . J'm' soit égal à un rectangle déterminé.
Qu’on mène la droite PI faisant l’angle IPX égal à l’angle qu’une parallèle à B'U', menée par le point Q, fait avec la droite QY; le point où cette droite PI rencontre AZ est le point I demandé. On détermine, semblablement, le point 3' sur B'U', en faisant l’angle J'QY égal à celui qu’une parallèle à AZ, menée par le point P, fait avec la droite PX.
La démonstration de ce Porisme est semblable à celle du
Porisme précédent.
Porisme XCIX. — Si de chaque point M d'une droite LM on mène une perpendiculaire Mm sur une droite fixe
AX, et une droite MP aboutissant à un point fixe P, laquelle rencontre une troisième droite BY en un point m': on peut trouver sur les deux droites AX , BY deux ftoints I, J', tels, que le rectangle lin. J'm' sera égal à un rectangle
déterminé v.
Qu’on mène par le point P une parallèle à BY, qui rencontre la droite LM en a, et que de ce point on abaisse une
perpendiculaire il sur la droite AX. Le pied de cette perpendiculaire est le point cherché I. L’autre point J' sera situé à l’intersection de la droite BY et d’une parallèle à la
droite LM, menée par le môme point P. Et l'on aura • Im. J' rn' = const. = v.
La démonstration n’offre aucune difficulté, d’après ce qui précède.
Porisme C. — Étant donnés un triangle ABC et une droite DE parallèle à la base AB, si autour d'un point P situé sur celte droite on fait tourner une transversale qui rencontre les deux côtés du triangle en deux points a, b, et qu'on mène les droites A a, Bb qui rencontrent DE en tn et m', le rectangle Pm.Pm'sem constant.
Ce théorème est une conséquence du Lemme XI. En effet, les trois droites AB, AC, A a coupées par les deux PD, P a, donnent, d’après ce Lemme,
PD T^PÏ'fV
De même les trois droites BA, BC, B6 donnent
On a donc
ou
PE P m' ~
PD
P a # F a Vb * fl'
PE
= Pm'*
Pm.Pm' = PP-PE.
Ce qui démontre le Porisme.
Porisme CI. — Étant données deux droites OA, OL, et un point. A sur la première , si par ce point on mène arbitrairement deux droites AM, AM' qui rencontrent la droite OL en M et M', et que par ces points on mène
deux autres droites Mm, Mm! parallèles, respectivement, à AM', AM, et qui coupent OA en m et m! : le rectangle Om-Om'eiï. donné.
On a, en effet,
Om.Om! = OA .
Car les triangles semblables formés par les parallèles donnent
Om OM OA OM
OA — OM' Ct Ont' ~ ÔjvP'
O m OA OA — CW’
ou Ont. Ont 1 = OA.
Remarque. Il existe encore d’autres relations entre les segments déterminés par la construction de ce Porisme. Telle est la relation
Om
Ôïn’
Km
Am’'
qui se déduit des mêmes triangles semblables. Eu effet,
