CV = P

et, conséquemment, le point M sera sur une droite déterminée de position.

Remarque. Ce Porisme est un cas particulier d’une proposition des Lieux plans d’Apollonius, rapportée par Pappus, en ces termes :

Plusieurs droites étant données, si d ’un point on abaisse sur ces droites des obliques sous des angles donnés, et que le rectangle d’une oblique et d’une (ligne) donnée, plus le rectangle d’ une autre oblique et d'une donnée, fasse une somme égale au rectangle d’une autre oblique et d'une donnée, et semblablement pour les rectangles des obliques restantes: le point sera sur une droite donnée de position.

Porisme CM. — Quand deux angles de grandeur constante MPm, MQm tournent autour de leurs sommets P,

Q de manière que les côtés PM , QM se croisent toujours sur une droite LM donnée de position , l'angle P étant donné de grandeur : on peut déterminer la grandeur de l’angle Q, de manière que le point d'intersection des côtés Pm, Qm des deux angles soit aussi toujours sur une droite donnée de position.

Que l’on place l’angle P de manière que son second côté Pm coïncide avec la droite PQ, son premier côté PM viendra couper la droite LM en un point C; que l’on prenne l'angle Q égal à CQK, dont le premier côté est QC et le second QR prolongement de PQ. Cet angle satisfera à la question.

En effet, considérons les deux angles mobiles dans quatre positions, où leurs premiers côtés se croisent sur la droite LM en quatre points A, B, M, C. Dans les trois premières positions, leurs seconds côtés se croiseront en trois points

a , b, m-, et dans la quatrième position, ils coïncideront suivant la droite PQ.

Soit c le point où la droite ab rencontre PQ -, et supposons qu’elle coupe les deux côtés Pm, Qm en deux points m,, m,.

On a entre les quatre points A, B, M, C et les quatre a ,

b , m,, c (par le Corollaire III du Lemme III, p. 84)»

am, m ac AM > AC

Tin,' Te ~~ BM * BC*

Pareillement

am, ac b/n, ' bc

Am . ac

BM ' BC -

Donc

bm, bm.

Ce qui prouve que les deux points m,, m, coïncident, c'està-dire que le point m se trouve sur la droite ab.

Le Porisine est don»' démontré.

Porisme CV11. — Quand deux droites LA, L'A' sont divisées en parties proportionnelles par ' deux points i>ariables a, a', entre lesquels a lieu, par conséquent, une relation telle que sl l ’on prend

sur chaque droite aa' le point m qui la divise dans un rapport donné u. : ce point est sur une droite donnée de position ; et celte droite est une de celles qui divisent l' LA et L'A' en parties proportionnelles.

En efl’et, soient met m' les points qui divisent- les deux droites aa ' , b b' dans le rapport donné ix. La droite »/»«' ren- <»ntre les deux droites LA, L'A' en c et c'. Des parallèles à cette droite mm' , menées par les points a, h, coupent L'A' en a et S.

On a, par les triangles semblables,

Et de i

Donc

nia

ma ' r

OU “77 , i /

C b CD

allèles

aa , b c, CC , —

ca

cb

Donc

cif • a

cb c' b'

Ce qui prouve que la droite mm' ou cd est du nombre des droites aa', bb', . , . , qui divisent lus deux LA, L'A' en parties proportionnelles. Or par le point m ou ne peut mener qu’une telle droite (i). Donc les points m", m'",... qui divisent d’autres droites dd' , ee', . . . dans le rapport f*, seront sur la droite cd. Donc, etc.

Corollaire. Puisque chaque droite qui divise en parties proportionnelles les deux droites aa', bb' est une de celles qui divisent en parties proportionnelles les deux droites données LA, L'A', on en conclut ce théorème :

Quand deux droites LA, L'A' sont divisées en parties proportionnelles par un système de droites aa', bb', . . . , deux quelconques de celles-ci sont divisées en parties proportionnelles par toutes les autres, y compris les deux

LA, L'A'. \ u Pj. .

Porismk CVIII. — Quand trois points variables m, m , m" sur trois droites fixes L, 1/, L" divisent ces droites en parties proportionnelles, le centre de gravité du triangle mm'm" est situé sur une droite déterminée de position.

En effet, le centre de gravité g du triangle mm'm" est situé sur la droite menée du point m au milieu p de m' m" à

(|) ÏI1 effet, si trois droites an', bb', cc' laissaient par un même point ni, on aurait, eu appelant S le point de rencontre doa deux droites I.A, I. A , L’équation

^ ÎLA : , (Lemme lit do Pappus. )

oc S c a' c’ S c

, ab a' b' Sft S b'

Or, par hypothèse, — = ^77,- Donc ^ - jrp-

Mais cette proportion exprime quelesdeux droites bb', cc' sont parallèles; ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc trois droites qui divisent en parties

proportionnelles deux droites données LA, L'A' non parallèles, ne peuvent

pas passer par un môme point.

unedistauee mg = - wp. Or le point p est sur une droite

déterminée de position, qui est une des droites m' m" (Porismc précédent). Et le point p fait sur cette droite des divisions proportionnelles aux divisions que le point ni fait sur L' (Corollaire précédent), et, par conséquent, proportionnelles aux divisions que le point m fait sur L. Donc le point g qui divise la droite m p dans un rapport donné, est situé sur une droite déterminée de position.

Porisme CIX. — i Si de chaque point M d'une droite L donnée de position on abaisse des perpendiculaires sur trois droites fixes , le triangle déterminé par les pieds de ces perpendiculaires a son centre de gravité situé sur une droite donnée de. position .

En effet, les pieds des perpendiculaires divisent les trois droites en parties proportionnelles. Par conséquent, le Porisme est une conséquence du précédent.

III e Genre (i).

Porisme CX. — Quand deux angles égaux APA',

AQA' sous -tendent une même corde AA', si V on fait tourner le premier P autour de son sommet : les cordes a a', bb', . . . , mm' que ses côtés interceptent entre les côtés du second Q, seront divisées toutes par la droite AA', dans une raison donnée.

Les deux points variables m, m forment sur les deux droites indéfinies QA, QA' deux divisions semblables, et

(i) Voir l’énoncé de ce Genre, p. i33.

l'on a

ÂV

= const. =

En effet, quand le côté PA de l’angle mobile devient PC parallèle à la droite QA, l’autre côté PA' devient en même temps PC’ parallèle à QA'. Les quatre droites PA, Pa, Pnt et PC ont leurs angles égaux, respectivement, à ceux des droites PA', Pa', Pm' et PC'. Appelons A", a", m", C" les points où ces droites rencontrent QA . Ces points et les trois A, a, «donnent lieu (d’après les Corollaires des LemmesIII et XI, p. 83) à l’équation .

Am A" m" ’ Cm"

On a, pareillement, entre les quatre mêmes points A", a", ni", C" et les trois A', a', m',

Donc

oit

A 'a' A" «" . C'a" A 'm' ~ PC~m" * CV'

Am A' m'

An

—r = const.

Ainsi les deux droites QA, QA' sont divisées en parties proportionnelles par les cordes mm!. Dès lors, d’après le Porisme CVII, l’une de ces cordes, par exemple AA', divise aussi toutes les autres en parties proportionnelles. Si donc a et a sont les points où les deux cordes aa'et mm! rencontrent AA', on a

fi m a fl ^

fim' a «'

V* Genre (1).

Porisme CXI. — Étant données trois droites A, B,C et deux raisons X et p : on peut trouver une quatrième droite D, telle, que toute droite coupée par les trois premières en trois points a, b, c faisant des segments ab, bc dans le rapport X, sera coupée par la quatrième I) en un quatrième point tl, qui déterminera des segments da, db dans le rapport donné u.

En effet, si les droites abc, a! b' d, a"b"c", . . . sont divisées en parties proportionnelles par les trois droites A, B, C, deux de ces dernières, A, B, sont elles-mêmes divisées en parties proportionnelles par les droites abc, a'b'c',. . .. C’est ce qui résulte du corollaire du Porisme CV1I. Donc, d’après ce Porisme même, si l’on preud sur cellcs-ci les points d , d ', . . . , tels, que l’on ait

da d' a'

db~P'

ces points d , d', . . . seront sur une quatrième droite D déterminée de position. Ce qui démontre le Porisme énoncé.

VI* Genre (a).

Porisme CX1I. — Étant donnés trois points A, B, C et deux raisons X et u, si l’on demande une droite telle, que les perpendiculaires p, q, r abaissées des trois points sur celte droite aient entre elles la relation

cette droite passera toujours par un même point.

Cela résulte du Porisme LXXI, d’après lequel, si l’on

(i) Voir l'énoncé de ce Genre, p. i'M>.

(i) Voir l'énoncé de ce Genre, p. 1 39.

PoRISME CX1II. -

détermine deux droites satisfaisant à l'équation proposée, toute autre droite menée par leur point d’intersection y satisfera aussi.

■ Étant donnés deux droites SA, SA'ef

deux points P, V on ligne droite avec le point S, si autour de ces points on fait tourner deux droites parallèles qui rencontrent, respec- ' tivement, SA et SA' en m et m' : la droite mm' passera par un point donné.

En effet, soient P«, et P' a' deux droites parallèles, et P b, P b' deux autres droites parallèles \ les quatre droites PS, P a, P b, P m font entre elles, deux à deux, des angles égaux aux angles formés par les quatre droites P'S, P' a', P b 1 , P ni'. Par conséquent, 011 a (d’après le Corollaire 111 du Lemme III, p. 84),

Sa. m/> S a' m' b'

Si ma , S b', m'a'

Et celte équation prouve, d’après le Lemme XVI, que la droite mm' passe par le point d’intersection des deux droites aa 1 , bb' . Ce qui démontre le Porisme.

PotuSME CXIV. — Un triangle ABC étant donné, si par

le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet C sur la base AB, on mène deux droites faisant des angles égaux avec la perpendiculaire et rencontrant, respectivement, les côtés CA, CB en a et b : la droite ab passera par un point donné.

Soit a! b' une deuxième droite semblablement déterminée. Les quatre droites DC, Da, D«' et DA font entre clics des angles égaux à ceux des droites DC, D b, D b' et DB. Par

conséquent, on a entre les deux systèmes de quatre points C, a, «', A et C, b , b\ B (d’après le Corollaire III du LemmelU, p. 84), l’équation

■ C« A/i Ci m B 6 Ca.Aa' Ci.Bi'

CÏ? : ÂW = Cb' : Bb'' ° U Cfl'.Aa ~ Ci'.Bi*

Donc, d’après le Lemme XI ou le Lemine XVI, les trois droites aA, a 1 b’ et AB passent par un même point. Ce qui démontre le Porisme.

Porisme CXV. — Si fia chaque point d'une droite donnée de position LE, on abaisse sur deux droites parallèles deux obliques sous des angles donnes : la droite qui joindra les pieds de ces obliques passera toujours par un même point.

En effet, soient m, m! et A, A' les pieds des obliques abaissées de deux points M et a de la droite LE : on a par les triangles semblables (comme au Porisme XLYI),

Am AE , A'E' A' m' « E * uE' -

Mais, en appelant P le point où mm' rencontre AA', on aura visiblement

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