AF

= const.

Donc le point P est fixe. Donc, etc.

Porisme CXVI. — Quand trois droites sont parallèles, si autour de deux points P, Q on fait tourner deux droites qui se coupent sur V une des premières et rencontrent les deux autres en deux points m, m' : la droite mm' passe

par un point donné.

( aal )

En cfl’el, on a ,

Km EP E 'm' E'Q

fm — fp ct TïTf — Tq '

Donc

E m EP E'Q E' m' ~ FP ' FQ ’

Mais la droite mm' rencontrant PQ en p, on a de plus

Donc

E m Ep

E' m’ ~ Fp‘

E p EP . EQ E'p — FP ' FQ"

Le point p est donc fixe. Donc, etc.

Pobisme CXV1I. — Étant données trois droites SA, SB, SC qui passent par le même point S, si autour de deux points fixes P, Q on fait tourner deux droites qui se coupent sur l’une de ces droites SC, et rencontrent, respectivement, les deux autres en a et b : la droite ab passe par un point donné.

En effet, soient c et p les points où la droite ab rencontre SC et PQ. Le Lemme III, appliqué d’abord aux trois droites SA, SB, SC coupées par pab, p AB, fournit la relation

ep # bp C p . Bp

. ca ‘ ba CA * BA

Et pareillement, à l’égard des trois droites ma, mb , me coupées par les deux mêmes,

il . h Çp .-Q?

ca ‘ ba CP ' QP De ces deux égalités résulte celle-ci :

Bp BA . CP Qp “ CA QP

qui détermine la position du point p sur la droite PQ. Ce cpii démontre le Porisme.

Porisme CXVJII. — Si sur deux droites SA, SB dont les points A, B sont donnés, on prend deux points m, m' liés par l'équation

A m .B ni = AS . BS :

la droite mm' passera par un point donné.

Qu’on forme sur les deux droites SA, SB le parallélogramme ASBP ; le sommet P sera le point par lequel passe la droite mm 1 .

En eflet, si l’on considère les droites PA, PB et une troisième menée par le point P et rencontrant SA, SB en m, m 1 , on aura évidemment

. SA A m

Donc ete.

I in , 1 SB

ou Am.Bm'= AS. BS.

VU* Genre (i).

Porisme CXIX. — Étant donné un angle ASA', on fait tourner autour d'un point P une droite qui rencontre les

côtés de l'angle en a et a': d'un autre point Q on mène les droites Qa, Qa' qui coupent une droite fixe CD parallèle à SQ, en deux points m, m! : il existe sur CD un point E, tel, que le. rapport des deux segments Em, Em' reste constant.

Ce point E est à l’intersection de la droite CD, par la droite PQ.

(1) Voir l'énoncé de ce Genre, p. 1/^.

En effet, soit P bb' line deuxième position de Ja droite tournante : Q b et Q// déterminent sur C.D les points 6, 6'. D’après le Leinme III, les trois droites Van', Vbb' et PA A' coupées par SA, SA', donnent

Sa A a Sa' A' a'

S* " Âè — SP " FF

Mais, d’après le Corollaire II (p. 83), les droites QS, Qa, Qè, QA, coupées par SA et. CD, donnent aussi

S b ’ A b Km

El de même

S^' . A'a' ES'

sV ' FF ~ ËF

Donc

TF = TF’ ou ËF = Ë?‘

VHI* Genre (r).

Pohisme CXX. — Si de chaque point M d'une droite I G ou mène à un point Jixe P une droite qui rencontre ■

une autre droite AX en un point m; et que du meme point M on abaisse une perpendiculaire Mm' sur la droite AX ; le point A étant donné sur AX et une ligne a étant aussi donnée : on pourra trouver deux autres points I et A' sur AX et une raison X, tels, que l'on aura l'équation

I//i .Mm' ^

Am. a

(i) Voir l’énoncé de ce Genre, p. >49-

( aa 4 )

Qu’on mène par le point P une parallèle à LG,- cpii rencontre la droite AX en I-, puis, qu’on prenne IC = a. Qu’on mène PC qui rencontre la droite LG en c, et qu’on abaisse sur AX la perpendiculaire cG. Enfin, qu’on prolonge PA jusqu’à la rencontre de LG en a, et qu’on abaisse la perpendiculaire a A' sur AX. On aura

Im.K’rn' A'C'

Km.u AC

En effet, les quatre droites PA, P//î, PC et PI coupées par AX et LG, dounent (par le Corollaire II du Lemme XI)

I m ^ IC ne

Km ' AC ~ ” a M Or

ne A'C' a M A' m'

Donc ■

l/n t IC A'C' Im.A'm'

Km' KC K'm ° U Am. IC

ou, parce que IC = a,

ïm.K'm' A'C'

Km. a AC

PotnsME CXXI. — Si autour de deux pçints P, Q on fait tourner deux droites qui se rencontrent sur une droite donnée de position LM, et qui coupent une autre droite aussi donnée de position AX, en deux points m, m' ; une ligne fx étant donnée : on peut déterminer le point A sur la droite AX et trouver aussi deux autres points A' et I sur cette droite,

tels, qu'on aura toujours l’égalité lm.X’m'

Qu’on AX, qui P / et Q / Qu'on que A'J' puis Pn font à la

mène par les points P et Q les parallèles à la droite rencontrent la droite LM en j et i , puis les droites qui déterminent sur AX les deux points 1 et J', prenne le point A' à la distance p. de J', de sorte = p, et qu’on mène QA' qui rencontre LM en a , qui coupe AX en A. Les points A, A' et I satisquestion : c’est-à-dire que toujours

En eflèt, les quatre droites menéesdu point P, savoir PA, PM, P/ et P;, coupées par LM et AX en a , M, i, j et A , ■»», I, donnent (d’après le Corollaire II du LemmeXI)

I ni i M < ij A m a M " aj

On a, pareillement, entre les points n, M jet A', m 1 , J',

A'J' aj ij

' Tm * /M -

Donc

I m A ni

Observation. Le point A' déterminé par la condition A'J'= p, peut être pris indifféremment d’un côté ou de l’autre du point J'. 11 s’ensuit que le Porisme admet deux solutions, quant aux points A et A': le point I restant le môme dans les deux cas.

II est clair qu’on a aussi la relation A/n.J'/n'

■ , = AI

Pohisme CXX1I. — Si l'on fait tourner un angle de

grandeur donnée autour 1 de son sommet O, et que ses côtés rencontrent une droite fixe AX en deux points m, ni'; le point A étant donné sur cette droite : on pourra trouver deux autres points I et A', et une ligne p, tels , qu'on aura toujours la relation

Im.A’m'

Soit GOG' parallèle .à AX. Qu’on fasse les angles AO A', IOG' elGOJ' égaux à l’angle mobile mOm'; et qu’on prenne p = A'J' : les points I et A' et la ligne p seront déterminés; et l’égalité à démontrer devient

lin . A' m' A ni

Les quatre droites OA, Om, 01 et OG parallèle à AX, font entre elles les mêmes angles que les quatre OA', Om', OG et OJ'. Concevons une droite transversale qui rencontre ces droites dans les deux séries de points a, n, i, g et a', n 1 , g, f ; on aura, entre ces points (en vertu du Corollaire 111,

an in a' n’ g' n' a S ' 'g ~ a 'J' ' f /'

Mais les droites OA, Om, 01, OG, coupées par AX et la transversale ai donnent (Corollaire II, p. 83)

an t in Am

a g ’ ig~ 1 /« ’

et les droites OA', O m\ OG, OJ', coupées par les deux mêmes AX, ai.

a' ri % g' ri ri' m'

Donc

rim ri' m' Im.ri'iri

I m ri J rim

On démontrerait de même que

ri ni. ]' m' ri' m'

= Al.

Plus brièvement. Les quatre points A, m , I, 00 ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points A', m', 00 J'. Ce qu’on exprime par l’équation

Donc, etc.

rim ri' m

Tfi ~ A' J' ’

I m , ri' ni rim

X e Genre ( 1 ).

Poiusme cxxni. — Autour d'un point O on fait tourner un angle mOm' dont les côtés rencontrent une droite fixe LA en deux points m, m'; le point A étant donné sur

cette droite : on pourra trouver un second point B', un rectangle v et une ligne ft, tels, que pour une infinité de positions de l’angle mobile, on aura toujours l’égalité

Am.B'm' = v -f- fi . mm' .

( 1 ) Voir l’énoncé de cc Genre, p. i56.

Qu’on détermine les points A', I et J', comme au Porisme CXX1I-, et qu’on prenne R'J'=IA, v=AI.A'A et p = AF. On aura la relation

Am.B'/n' = AI. A' A AI. mm!

pour toutes les positions du point m entre I et J', ou au delà, selon que le pointdonné A est placé au delà des points I et J', ou entre ces points, respectivement.

Fin effet, on a la relation

Am.3'm' =z A'm!. AI. (Porisme CXXII.) lie ri von s :

Atn.(B'm' — R'J') == A'/«\ AI,

A/n.B'm'= Aw.R'J'h- h! m' . AI,

Or J'B' = AI. Donc

A rn . B' m' = (mA — m' A) AI -f- A' A. AI,

ou enlin

Am.B'm'= AI. A' A H- Al. mm 1 .

III e LIVRE DES PORISMES.

Pappus dit : « Dans le IIP Livre, le plus grand nombre » des hypothèses concernent le demi-cercle, quelques-unes » le cercle et les segments. Pour les choses cherchées, la » plupart ressemblent aux précédentes. Il y a en outre » celles-ci. » «

Ainsi que nous l'avons fait pour le II e Livre, nous donnerons d’abord les Porismes qui forment les huit Genres spéciaux au III” Livre, de XXII à XXIX ; et ensuite, ceux qui rentrent dans les vingt et un Genres précédents.

XXII' Genre.

l.c rectangle de telles droites est au rectangle de telle. et telle autre dans un rapport donné.

Po r i sme CXXIV. — Quand une droite tourne autour

d'un point p et rencontre deux droites SA, SA' données de position, en deux points m, m'; un point A étant donné sur la première droite : on peut déterminer un point h! sur la deuxième et une

raison X, tels, que le rectangle Sm.A'm' sera au rectangle Am.Sm' dans la raison X.

Ce Porismc est exprimé par le Lemme III (proposition 1 2g de Pappus).

Poiusmf, CXXV. — Quand deux droites qui tournent autour de deux points P, Q en se coupant toujours sur une ' droite LM, rencontrent deux autres droites GX, G'X' en

m et m'; si deux points A, B sont donnés sur GX : on peut

déterminer deux points A', B' sur G'X' et une raison X, tels, que le rectangle m A . m' B' sera toujours au rectangle mB.m'A' dans la raison X.

En ellet, qu’on mène les droites PA, PB qui coupent LM en a et b 5 puis, les deux droites Q<i, Qb qui rencontrent G'X' en A' et B'. Ces deux points sont les points de-

ga g^ b'

mandés, et la raison X =* ‘ ' , De sorte que l’on a (/B . G A

//tA.m'B' G A. G' B'

mB.m'A' ~ GB.G'A' -

En effet, les droites PE, PM, P«, P b coupées par les deux LM, GX, donnent, d’après le Coroll. I du Lemme III, p. 82,

M a ' E a m A m GA

M b " Eè m B Ea m' A'

Mè * Eb ~ m' B' m' A' G' A'

Pareillement — - T ; — = ■

Donc 24

m B ' GB :