GA. G' B

m B . m ' A' GB . G' A'

Porisme CXXVI. — Quand un cercle passe par trois points A, B, C, si autour de deux de ces points A, B, on fait tourner deux droites qui se coupent en M sur la circonférence et rencontrent une corde EF en m et m' : le rectangle Em.Fm' est au rectangle Fm . E m' dans une

raison donnée.

Soient D, D* les points dans lesquels la corde EF rencontre les droites AC, BC. Les quatre droites AE, AD, Am, AF

fout entre elles les mêmes angles que les quatre BE, BD', Bm', BF. Par conséquent, on a, entre les deux séries de quatre points E, D, m, F et E, Iï, m', F, d’après le Corollaire III duLemmeM (p. 84 ), l’équation

E/n , Fa E/n' . Fm' E/n. F»»' FD'.ED

ED ‘ FD — ED' ' FD 7 ’ ° U Em'.Fra — FD.ED'"

Si EF est parallèle à BC, on trouve alors que

E/n. F/n' ED

E/n' .F/n FD

Ainsi le Porisine est démontré.

Observation. On a encore entre m et ni l'équation

D m. F/n' DE D'/n'.Fm — ÏFÊ'

Ces relations, qui s’appliquent aux sections coniques, constituent le théorème de Desargues sur l’ invo/ulion, et forment, dans la Géométrie moderne, une des propriétés fondamentales de ces courbes. C.’est aussi à ces relations qi*e se rapporte le troisième des cinq Porismes de Fermât (Voir Aperçu historique, p. 67 - 68 ).

Porisme CXXVII. — Un cercle est. circonscrit à un triangle ABC, et autour des deux c sommets A, Bon fait tourner deux droites qui sqxroisent sur fa circonférence, et qui rencontrent en m et.

ni les tangentes en B et A : le rap port des Rectangles Àm'.Sm cl Sm'.Bm est donné.

En effet, les quatre droites AC, AM, AB et AS font entre elles des angles égaux à ceux des droites BC, BM, BS et BA. Par conséquent, d’après le Corollaire 111 (p. 84),

on a, entre les deux séries de quatre points c, in, B, S el c', m', S, A, l’équation

Km ' .Sm Kc' .Sc

Sm'.Bm S c‘ ' . B r

Donc, etc.

PomsMF. CXXVIII. — Quand un cercle est inscrit dans

tour des deux points de contact A, B on fait tourner deux droites qui se coupent sur la circonférence et rencontrent le côté ab du triangle en m el m'; le point S étant à l'intersection de ce côté parla droite AB : le rectangle Sm.Sm' sera au rectangle am'.bm dans un rapport donné.

Ce rapport est

aC.bC.

> c'est-à-dire que l’on a

Sm . S m'

am ' . bm

uC.bC

En elîet, les quatre droites AS, A b, AC, Am font entre elles des angles égaux à ceux des droites Ba, BA , BC, Bm'. Par conséquent, les deux systèmes de quatre points S, b , C, m et a. S, C, m', sont liés par la relation du Corollaire III (p. 84),

S m *SC nm' n C bm bC Sm' ’ SC '

Sm.Sm' SC btn.am’ aC.bC

Donc, etc.

Observation. Chacune des deux équations sui\ antes satisfait aussi à l’énoncé du XXII e Genre:

bm .Cm' b S. Ça

Cm. S/n' Cm . am'

CS.S« C b a S

S/h. C m' S b. CS

Porisme CXX1X. — Quand un cercle, est circonscrit à un inangle PQR, si deux droites tournent autour des sommets P, Q, en se coupant toujours sur la circonférence, et.

rencontrent deux droites données de position LC, L'C' en deux points tn, m'; deux points A et B étant donnés sur la première de ces droites : on peut trouver deux points A', R' sur la deuxième et un rapport /, tels, (pie le rectangle A m .If m' sera au rectangle A'm'.Bm dans le rapport X.

Qu'on mène les droites PA, PB qui rencontrent la circonférence en a et b ; les deux droites Q/z, Q b déterminent sur la droite L'C' les deux points cherchés A', B'. Soient C et C' les points où les droites QR, PR rencontrent LC et