SC.SC
Poiusme CXXXI. — Quand quatre droites A, B, C, ï) données de position sont tangentes à un cercle: toute autre tangente les rencontre en quatre points a, b, c, d, tels, que le rapport des rectangles ac . bd et ad .Jjc est donné.
,Soil a le point de contact de la tangente A et 6, y, à les points où cette tangente rencontre les trois autres B, C, D:
ay .
la raison donnée est égale à
aS .ëy
De sorte que l’on a
ac .bd ay . CS
ad .bc ad. ëy
En effet, que du centre du cercle on mène les droites Oa, O b, Oc, Od, Oa, 06, Oy, Oâ. Les angles que les quatre premières font entre elles, sont égaux à ceux des quatre autres; par conséquent, d’après le Corollaire III (p. 84 ), on a, entre les deux séries de points a, b, c, de t «, 6, y, à, l’équation
ac bc ay ëy
ad " bd ad ' CS'
ou
ac . bd a.y . SS
ad bc ai . Sy
Donc, elc.
Corollaire. Ce Porisine, mis sous la forme des iliéorémes ordinaires, prend cet énoncé : Lorsque quatre tangentes à un cercle A, B, C, D rencontrent deux autres tangentes en deux systèmes de points a, b, c, d et a', b', c', d', on a entre ces points la relation
ac bc ad ‘ bd
a'd # éV a' d ' ’• b’ d''
ac .bd a'c'.b'W ad.be a'd'.b'c'
Cette proposition offre une des propriétés du cercle les plus importantes dans la Géométrie moderne.
Porisme CXXX1I. — Quand un cercle est inscrit dans
un triangle SCC', dont il touche les côtés SC, SC' en w, w' : une tangente quelconque rencontre ces côtés en deux points m, m', tels, que le rapport des rectangles Sm.C'm'etCm.M'm' est
donné.
■ En effet, les angles &>OS, mO ni, SOeo' et le supplément de 1’ angle COC' sont égaux, comme ayant chacun pour mesure la moitié de l’arc ’mI. Par conséquent, les quatre droites OS, Ow, O m et OC font entre elles des angles égaux à ceux des droites Ow', OS, O m! et OC*, prolongée au delà du point O. On a donc, entre les quatre points S, co, C, m et <o', S, C', m\ l’équation
S »> . Su m' m' w' S S ni. Cm' Sw.SC'
Cm «C Cm' ’ SC ’ ° U Cm w' m' wC *>'s’
qui démontre le Porisine.
Pouisme CXXXIII. — Quand une tangente tourne sur
un cercle et rencontre deux tangentes fixes SA, SA' en deux points m, m', si d’un point fixe P, pris au dehors du cercle, on mène les droites Pin, Pm',- et si n, n' sont les points d'intersection de ces droites et de la corde EF qui joint les points de contact des tangentes issues du point P : les rectangles En . F n' et E n' . F n sont dans une raison donnée.
En ellet, soit AA' 1111 c position de la tangente mobile mm'; la tangente PE rencontre SA, SA' en «et e'; et la tangente PF cn^cl f . On a, d’après le corollaire du Porismc CXXXI,
cm % e A e' m' % c' A'
fm ’ /A f' m' ' f'K'
On sait d’ailleurs, par le Corollaire I du Lemxne 111 (p. 8a), que
cm c\ En En
fm ' /A F n ’ F a ’
dm' m e'A' En' < En' fm' ''TT' ~ " Td * FV‘
En > En En' t En' En.Fn' F.n.Fn'
Fn ’ Fn F n' ‘ -F n' ’ U En'.Fn En'.Fn
Ce qui démontre le Porismc énoncé.
PomsmeCXXXIX . — Quand un triangle A RC. est inscrit dans un cercle, si autour d 'un point P fie la circonjèrence on fait tourner une droite qui rencontre les côtés du trian-
ct
Donc
gle en a, b, c et la circonférence en m : le rapport des rec-
tangles am.be et bm . ac sera donné.
En effet, la droite Cm rencontre le côté AB en un point m', et l’on a, d’après le Porisme CXXVI,
Am'.Bc .
Ac.Bm' ’
A étant une raison constante, quel que soit le point m de la circonférence. Mais, par le Lemmc III,
Ato'.Bc am.be
Ar Bm' ac.bm
Donc
am . bc ,
— = À = const.
ac.bm
On détermine très-simplement A en menant la transversale P«6 parallèle à la droite AB ; car on obtient alors
Ainsi le Porisme est démontré.
Porisme CXXXV. — Quand un cercle est inscrit dans
un triangle ABC, si de chaque point M d'une tangente fixe LM on mène une tangente au cercl e et une droite aboutissant au sommet C du triangle : cette tangente et cette droite rencontreront le côté AB en deux points m, m', tels, que le rapport des rectangles Am. Bnf et Am'.Bm sera donné.
En effet, soit Yfil une des positions de la tangente Mm; les deux tangentes LM et AB sont coupées par les quatre
A a, RA, I ) d et ni M : ainsi, d’après le Porisme CXXXI,
Am s B ai aM a iM
ÂF ‘ BD ~ad ~bd'
Les droites menées du point C aux quatre points «, A, d et M rencontrent la tangente AB en A, B, D 1 , m', et l’on a (par le Corollaire I du Lemtne III),
aM m AM A ai' Brn'
~âd ‘ ~b7i ~ ÂD 7 ' BD* "
A a» > Bai Km' % Bai'
ÂD ' BD ÂF * BD 7 ’ ou
Am, Bai' AD. BD'
Bm.Am' BD. AD'
Ce qui démontre le Porisme.
XXUI“ Genre.
Le carre construit sur telle droite est h une certaine abscisse dans un rapport donné.
Porisme CXXXM. — Étant donnés un cercle dont le diamètre est AC, et un point B sur la tangente en A, si des points A et B on mène à chaque point M de la circonférence les droites AM, BM qui rencontrent en m et m ! la tangente au point C : le carré du segment Cm est à l’abscisse mm' dans
. un rapport donné.
En effet, soit M p la perpendiculaire abaissée du poiutM sur le diamètre AB, on a, dans le triangle m CA coupé par M/i,
C ni M p
CA A p
Par conséquent
Cm Mp
CÂ' Yp
Cp.Ap C p Mm mm'
JÇ = V = ^ I = Tb ’
ou
Cm
mm'
CA
Th
Ce qui démontre le Porismc.
Poiusmf. CXXXVn. — Quand des demi-circonférences, telles que ni Cm', ont le même centre et pour base une même droite, un point A étant donné sur cette droite; si
l’on prend le point i dont la distance au point A soit égale à
Il 1—1
de ce point n à la circonférence mCm' : le carré de A m est à l’abscisse nm dans un rapport donné.
On a, en ellct,
a AO.
Car nt étant la tangente à la circonférence, .
nt = nm . nm' \
et par conséquent
An— nm.nm'.
Cette relation, d’après leLemine XXIII, donne celle-ci : . Am =mn.(Am+Am l ),
ou
