AO
Observation. Si le point A se trouvait intérieur à la circonférence variable mCm', ce serait le Lemme XXV que l’on invoquerait.
XXIV' Genre.
U rectangle construit sur telles droites est égal au rectangle qui a pour eûtes une droite donnée et le segment formé par tel point à partir d’un point donne.
Poiusme G XXX VIH. — Si uut ouv de deux points P, Q on fait tourner deux droites qui se coupent toujours sur une
droite donnée de position LM, et rencontrent, respectivement, deux droites fixes EX, E'X' en m, m'; un point A étant donné sur la première de ces droites : on pourra trouver deux points A' et J' sur la deuxième, et une ligne p, tels, que le rectangle Am. J' m ' sera toujours égal au rectangle p.A'iri.
Qu’on mène PA qui rencontre la droite LM en a; Qa qui rencontre E'X' en A'; P; parallèle à EX et qui rencontre LM en;; puis Q; qui rencontre E'X' en J'; Qi parallèle à E'X', qui rencontre LM en t; et enfin P/ qui rencontre EX en I. Les points A' et J' sont les points demandés et p = AI.
En cfiet, les quatre droites P«, PM, P/, P; coupées par les deux LM, EX donnent, d’après le Lemme XI,
AI ai ' ji
Et les droites Qu, QM, Qi, Q/, donnent de même
A! ni «M > /M
S’ ni ai * ji
Doiu-
Ajh A m on J'
A y ni'
= A' ni'. AI.
l’on . sme CXXXIX. - Quand un cercle est h un triangle PQH, « nlUour ,les deux sommet* P, X»
fait tourner deux droites qui se coupent sur la circonférence et qui rencontrent deux droites
fixes AX, A'X' en m et m-, le point A étant donné sur AX : on pourra trouver les points A' et 3' sur A'X', et une ligne fi, fe/s, qu’on aura toujours
Am.J'm' = |».A'm'.
Ou’on mène PA qui rencontre la circonférence en «, et parallèlement à AX, P j qui rencontre ^circonférence en /. Les droites Q«,Q; déterminent sur A X les points cher chcs A' cl .y. Pour la ligne p, il suflit <lc mener a A X la parallèle Qi qui rencontre la circonférence en i-, puis i qui rencontre AX en I. On prendra
p = AI.
F.n effet, les ([uatre droites Pu, PM, P', P > f° nt c ^ e elle îles angles égaux à ceux des quatre droites Q7, Q/. Par conséquent, on a, entre les points A, ni, I et A', ni', J' (comme il a été démontré au Porisme CXX11) l’équation
ou
A m.}'in'= AI.AW.
A ni A' ni’
AT ~ J'/n' ’
Observation. Los deux droites AX, A'X' peuvent se confondre.
Porisme GXL.
— Quand un cercle est tangent à deux droites SX, S'X', si l’on mène une troisième tangente quelconque qui rencontre les deux premières en m et m'; le point A étant donné sur SX : on pourra trouver deux points A' et J' sur SX', et une ligne p, ..tels, qu’on aura toujours
A m . 3'm' s= p . A' né.
Les deux tangentes menées, l’une par le point A et l’autre parallèlement à SX, rencontrent SX' dans les deux points demandés A' et J'. Quant à la ligne p, elle se détermine par la tangente parallèle à SX', qui coupe SX en I; on aura
p = AI.
En ellél, les quatre droites menées du centre O du cercle aux trois points A, m, I, et parallèlement à SX, font entre elles des angles égaux à ceux des quatre droites menées du centre, les deux premières aux points A', né, la troisième parallèle à SX' et. la quatrième au point’ J'; ce qu’on prouve comme au Porisme CXXX. On a donc, comme dans le Porisme précédent, entre les points A, m, I et À', m', J', l’équation
A lit A m > ni ata //
— — ;* ou A/n.J m - Al.Am.
AI J m
XXV e Genre.
Le carre construit sur toile droite est égal au rectangle qui a pour cétés une droite donnée et le segment tonne par une perpendiculaire, à partir d’un point donné.
Porisme CXLI. — Si de chaque point m d’une demi-
circonférence, de cercle on abaisse une perpendiculaire m p m sur son diamètre AB : on pourra trouver
une ligne p, telle, que l'on aura toujours
Ain = p. Ap.
En effet, on a
Am — AB. A p.
Porisme CXLII. — Si autour de deux points AC d'une circonférence de cercle on fait tourner les côtés d’un angle droit AMC, et que du point m où le côté CM rencontre la circonférence, on abaisse une perpendiculaire mp sur le diamètre AB r on pourra trouver une ligne p, telle, que
l'on aura
AM = p. Ap. .
En effet, les deux triangles rectangles AMC et Am B sont semblables, parce que les angles en C et en B sont égaux. Par conséquent, on a
AM.AB = Am.AC
et
ïm.âb’^â^àc*.
Or Am = Ap.AB, et AC = Ac.AB. Donc
AM — Ap. A c.
Ce qui démontre le Porisme.
Porisme CXLffl. — Si d'un point O pris sur le diamètre AB d’un demi-cercle , on mène une droite à chaque point m de la circonférence, et que de ce point on abaisse la perpen-
diculaire mp sur le diamètre AB : il existera un point D sur le diamètre AB, et une ligne p, tels, que le carré construit sur Om sera égal au rectangle construit sur cette ligne p et sur le segment Dp.
Soit C le centre du cercle, et O' le point déterminé par
l’expression CA == CO. CO': le milieu D des deux points O, O' est le point cherché, et la ligne p est égale à 2. OC; de sorte qu’on a
O/m = aOC.Dp.
Cela est une conséquence du Lemrne XXX\ II (proposition i 63 ).
En ellet, d’après ce Lemme,
üT = Ô^î 4- (OA 4- OB) Ap,
ou
OA — Om 2OC.A p
et
Om = OA — 2 OC .Ap.
Or, d’après le Lemme XXIII,
ÔÂ == OC (OA -l-O'A) = 2 OC. AD.
Ôto :£= 2 OC. AD — 2OC. Ap = 2 OC. (AD — Ap),
O ni = 2 OC. Dp.
Porisme CXLIV . — Étant données deux demi-circonférences dont les centres C, C 'et les bases AB, A' B' sont sur une même droite, si de chaque point m de l’une on mène une tangente à l’ autre et une
perpendiculaire mp sur ta droite des centres C, C' : on pourra trouver sur celte droite un point O, tel, que le carré de la tangente sera au segment. Op dans une raison donnée.
On aura
mt
— a. ce.
Pour le prouver, prenons sur CG' le point O déterminé par la relation OA .OB = OA'. OB'; on aura
Ont . Om' = O a .O b.
Il s’ensuit
ma . mb = 2m0.a6;
et, 6 étant les milieux des cordes mm', ab.
Car
O a = ma — m O, O b = mb — m O,
Oa.Ob = ma.mb — mO (ma -+- mb) -+- rnO = Om.Otn', Donc
ma.mb — m O (ma -+- mb — mO + m'O)
= (ma -H mb — mm’) ni O, ou
ma.mb =mO.(amS — 2 mot)
— 2mO. (mS — met ) = amO.aS.
Or, en vertu des triangles semblables, ‘
CC 7 = OC' ~ Ôm’ ° U = Op.CC.
De là
ma . mb = 2 O p . CC'.
Mais ma . mb = mt . Donc enfin
