CC
Ce qui démontre le Porisme.
c’est-à-dire que : le carré de la tangente mt est à l'aire du triangle EmF dans nue raison donnée
Ce qui forme un Porisme.
On en conclut cette réciproque :
Deux points étant donnés sur un cercle : le lieu d'un point tel, que le carré de la tangente menée de ce point à la circonférence du cercle, et l'aire du triangle formé par les droites menées du même point, aux deux points donnés, soient dans une raison donnée, est un cercle.
Le Porisme peut prendre une autre expression : car l’angle en m est constant; par conséquent, d’après le Lemme XX de Pappus, les aires de deux triangles EmF, Em'F sont
entre elles dans le rapport des rectangles n/E.mF, m'E.m'F.
D’où il suit que le rapport — est donné , c’est-à-dire
que :
Quand deux cercles se coupent, si de chaque point de l’un on mène une tangente à l'autre et des droites aux deux points d’ intersection des cercles, le carré de la tangente est au rectangle des deux droites dans une raison donnée.
Par conséquent encore : Deux points étant donnés sur un cercle, le lieu d'un point tel, que le carré de la tangente menée de ce point à la circonférence du cercle, soit au rectangle des deux droites menées du même point aux deux points donnés, dans une raison donnée, est un cercle déterminé de grandeur et de position.
Ce théorème est un des Pdrismes donnés par lord Broughatn, dans son Mémoire intitulé: General Theorems , chicfly Porisms, in the fiig/ier Geometry, qu’on trouve dans les Philosophical Transactions de la Société Royale de Londres, année 1798 (1).
Porisme CXLV. — Étant donnés un triangle ABC et une droite EF parallèle à la base AB ; si de chaque point ,, m de cette droite on mène mC,
mB qui rencontrent, respectivement, les côtés AB, AC en n, n' :
la droite un' coupe la droite EF en un point m', et l'on a toujours, entre les deux points m et m', la relation
Em =p.E/n';
ou u est une ligne de grandeur connue.
Cela est une conséquence du Lemmc VII de Pappus. Car il résulte de la réciproque de ce Lcmme que dans le quadrilatère Bn/t'C coupé par la droite EF, parallèle au côté B/t et passant par le point de rencontre des deux diagonales,
( 1 ) * Two points in a circlc beinggiven (but not in one diameler), anotlicr circlc may be described, sucli, thaï if front any point thereof lo the given points straighl lincs bc drnwn, and a line touching the given circle, the tangent shall be a mcan proportion al between the lines so inllected.
* Or, more generally, the square of the tangent shall hâve a given ratio to the rectangle u nder llicinflected lines. n (Proposition Vil, *p. 38a.)
on a
Em = ED . E m'.
Donc, etc.
Porisme CXLVI. — Étant lionnes un triangle ABC et. la droite AD, si de chaque point M du côté CA on mène la droite MB qui rencontre AD en ■n', et une parallèle à la base AB, qui rencontre le côté CB en n; puis, quon mène les droites An et lin' qui rencontrent en m et m!
la parallèle à la base AB, menée par le sommet C : on pourra trouver une ligne p, telle, qu’on aura toujours
Cm = p.C né.
En efiet, les quatre droites qui partent du point A, coupées par les deux CD, MB, donnent
C m CD
MG BG M n' ’ B ré
(Corollaire HduLcmme XI, p. 83.)
El pareillement, les quatre droites qui partent du point n, coupées par les deux mômes CD, MB, donnent
Cm BG , MG
C//T' — iF/? 'MV'
Cm Cm
CD ' Cm’ ~ ' ’
ou Cm =CD.Cm'.
Donc « = CD. Donc, etc.
XXVI' Genre.
Tel rectangle, qui a pour côtés ia somme de deux droites et une droite en rapport donné avec telle autre,, est dans un rapport donné avec telle abscisse.
Porisme CXLVII. — Si autour de deux points P, Q
Q d'un cercle on fait tourner deux droites qui se coupent en M sur la circonférence du cercle, et qui rencontrent une corde EF en deux points ra, ni'; une raison 1 étant donnée : on peut trouver deux points A et B sur EF et une ligne y, tels, que dans tous les cas où le point m 5e trouvera hors du segment AB, on aura la relation con-
(Am + B m)> . Fra'
Qu’on mène la corde Qt parallèle à EF, el Pi qui l'encontre EF en I; puis, qu’on prenne EA = X. El, EB = EA, et fi = BA, on aura
(Am
mm'
En eflet, d’après le Porisme CXXYI, on a
E m . F m' El
E m' . F m FI
Et par conséquent, d’après le Porisme LXXX11,
Em.Fm' T ; — = El.
mm
Or, EA = EB; et, par suite,
„ Am 4- Bm
Donc
ou
(Am -4- Bm) Fm' 2 £] .
(Am + B m ) > . Fm* ^ EI = BA .
mm'
XXVII' Genre.
Il existe un point tel, que des droites menées de ce point comprennent un triangle donné d’espèce.
Porisme CXLVIII. — Étant donnes deux demi-cercles O, O', et un angle : on peut trouver un point S, tel,
que si Von fait tourner autour de ce point, comme sommet, l'angle donné, dont les côtés Sc, Sc' rencontreront les demi- , circonférences en c et c', respectivement, le triangle Sc</ soit donné d'espece.
C’est-à-dire, puisque l’angle cSc' est donné de grandeur, que ses côtés Sc, Sc' doivent être dans un rapport constant.
Que sur OO' on décrive un segment de cercle capable de l’angle donné; et qu’on prenne sur l are de ce segment le point S, de manière que le rapport des lignes SO, SO' soit égal à celui des rayons O a, C Va! . Ce point, que l’on détermine par le Lcmmc XXIX (proposition i55) de Pappus, satisfait à la question ; et la raison constante des deux lignes
Sc, S</, est égale à
Prenons sur Sc' le point c", tel, que l’on ait Sc O a
11 s’agit de prouver que ce point c" coïncide avec ç'.
On a, par construction,
so 0(1 SO' On 7 1
d’où résulte
Sn O a
Sa' ~ On 7 '
ri;K'I'*"V'^S 1 TEIT GENT
ç IM!NÀRihVûOR[rttHj£lîE MEETKUNDE
Donc *
Sa Sc
Sa' Sc"
Mais les angles aSc, a'Sc " sont égaux, parce que les angles OSO 7 , cSc' sont égaux : les lieux triangles aSc et a'Sc" sont donc semblables, comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. Par conséquent, d’une part, les angles Oac et C y a! d' sont égaux; et, d’autre part, on a
ac a c"
et, par suite,
ac a' c"
Ô7~ = Wâ''
Donc les deux triangles One et 0 / rt'c ,, sont semblables, comme avant un angle égal compris entre côtés proportionnels. Mais dans le premier, 0<i = 0c; donc, dans le second, O ' a' = Qi d'. Le point d ' est donc sur la circonférence O 7 , et, par conséquent, coïncide avec c'. Ce qu’il fallait prouver.
Le Porisme est donc démontré.
Corollaire. Le lieu d'un point dont les distances aux centres OO' de deux cercles sont entre elles dans le rapport des rayons Oa, O ' d, est la circonférence qui a pour diamètre la droite qui jointles centres de similitude des deux cercles. D’après cela, on conclut du Porisme qui vient d’ètre démontré, ce théorème :
Étant donnés deux cercles O, O 7 , un point S pris sur la circonférence qui a pour diamètre la droite qui joint les centres de similitude des deux cercles ; si autour de ce point, comme sommet, on fait tourner un angle égal à OSO 7 , dont les côtés rencontreront les deux cercles en deux points c, c 7 : le rapport, des deux lignes Sc, Sc 7 sera constant et égal au rapport des rayons des deux cercles .
Observation. Des deux éléments qui constituent l’espèce du triangle dont il est question dans le Porisine précédent, savoir, l’angle au sommet et le rapport des deux côtés, un seul est à trouver, puisque l’angle est donné de fait. Dans les Porismes suivants, l’espèce des triangles est complètement inconnue et la recherche de ces deux éléments fait l’objet des propositions.
Poiusme CXLIX. — Quand deux droites SA, SA' sont divisées en parties proportionnelles , il existe un point O, s tel } que les droites menées de ce
//y \ N\ point à deux points homologues (b/ \ \| quelconques des deux divisions, J'or-
I /\ ment un triangle donné d'espèce.
k/\ fiVV C’est-à-dire que les deux droites
font entre elles un angle de grandeur constante, et que leurs longueurs sont dans une raison constante.
Soient a, b deux points de SA ; a', b 1 les deux points homologues de SA'. Concevons les deux circonférences de cercle «Sa', b S b', qui se coupent en O. Ce point O satisfait à la question.
En elfet, les angles aüa' et bOb' sont égaux entre eux, parce que l’un et l’autre sont égaux à l’angle «Sa'. L’angle des perpendiculaires abaissées ’du point O sur SA et SA' est aussi égal à l’angle ASA', et est, par conséquent, égal aux angles aO«', bOb'. On conclut de là, en vertu du Porisine XLVIII, que si l’on fait tourner cet angle autour de son sommet O, scs côtés passeront, respectivement, par chaque couple de points homologues c, d, d , d',. . . des deux droites SA, SA'. C’est-à-dire, que tous les angles aOa', bOb' , cOd, . . . sont égaux entre eux. Il reste à prouver que les côtés de chacun de ces angles sont dans un rapport constant.
Or-, les angles nOa' et bOb' étant égaux, il s’ensuit que
les angles aOb ei a Ob' sont égaux. Mais les angles S«0, Sa'O sont égaux, parce que les quatre points S, a, a / , O sont sur un môme cercle. Les deux triangles aOb, a! O b’ sont donc semblables. Conséquemment
Ô7P~ ÔV
Et de même
Q a Oc
O a Oc'’
Le Porisme est donc démontré.
Porisme CL. — - Quand de chaque point d'une droite L on abaisse des perpendiculaires sur deux autres droites, il existe un certain point qui, avec les pieds des deux perpendiculaires, forme un triangle donné d'espèce.
C’est-à-dire que les droites qui joignent le point en question aux pieds des perpendiculaires abaissées de chaque point de la droite L, sur les deux autres droites, forment un angle de grandeur constante et sont entre elles dans un rapport constant.
En effet, les pieds des perpendiculaires divisent les deux droites en parties proportionnelles (Porisme XLVII). Donc le Porisme énoncé est une conséquence du précédent.
Ce Porisme s’applique également aux pieds des obliques abaissées de chaque point de la droite L sur les deux autres, sous des angles donnés.
Porisme CLI. — ■ Étant donnés deux cercles et deux points A, A' sur leurs circonférences : on peut trouver un point O, tel, que les droites menées de ce point sous un angle égal à l'angle AO A' et terminées aux points m, m' des deux circonférences, forment un triangle inOm' donné d’ espèce.
Soit S le point de rencontre des deux rayons CA, C'A'. Qu’on décrive deux circonférences dont l’une passe parles trois points A, A', S, et l’autre par les trois C, C', S; elles se coupent en un point O qui est le point cherché.
En elfet, les angles AOA' et COC' sont égaux, parce que chacun d’eux est égal à l’angle CSC'. Donc, si on fait tourner le cercle C / autour du point O de manière que O A' vienne se placer sur OA, OC' viendra sur OC. Mais alors le rayon C'A' se trouvera parallèle au rayon CA, parce que les angles OCS, OC'S sont égaux, comme compris l’un et l’autre dans le même segment de cercle. Il s’ensuit que le point O sera le centre de similitude des deux cercles. Par conséquent, une droite quelconque menée par ce point les rencontrera en deux points m, ni dont les distances au point O seront entre elles dans le rapport de OA à OA'. Et si on ramène le second cercle dans sa position primitive C', par une rotation autour du point O, ces deux droites Ont, O ni feront un triangle ni O ni de même espèce que le triangle AO A'.
Ce qui démontre le Porisme.
XXVIir Genre.
Il existe un point te), que les droites menées de ce point interceptent des arcs égaux.
Pohisme CLII. — Étant donné un point D dans le plan d'un cercle, il existe un deuxième point E, tel, que si par le point D on mène une droite quelconque qui rencontre le cercle en deux points M, M', les deux droites EM, EM' intercepteront dans le cercle deux arcs égaux Mm, M'm'.
Que sur le diamètre AB sur lequel est situé le point donné D, on prenne le point 1£ déterminé par la propor-
lion
