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. ce point satisfera à la question.

Cela résulte de la réciproque évidente du Lennne XXX (proposition i56), d’après lequel la corde M ru' est perpendiculaire au diamètre AB; d’où il suit que les droites F '.ni, Km' font des angles égaux avee le diamètre; qu’elles sont donc également éloignées du centre, et, par conséquent, qu’elles sous-tendent des arcs égaux Mm, t>Vm'. Donc, etc.

Ce Porisme a été rétabli par Simson (proposition 53, p. 463).

Pobisme CLIII. — Étant données deux circonférences de cercle de même rayon et un angle:

on peut trouver un point tel, que si autour, de ce point, comme sommet, on fait tourner V angle donné, ses 6' côtés interceptent toujours dans les deux cercles deux arcs égaux.

Soient O, Cf les centres des deux cercles. Que’sur 00' on décrive un segment capable de l’angle donné, et soit S le point milieu de ce segment. Si autour du point S on fait tourner l’angle OSO' et qu’il prenne la position «Sa', les deux cordes ab, a b 1 interceptent des arcs égaux dans les deux circonférences, parce qu’elles sont évidemment égales entre elles. Donc, etc.

Pobisme CLIV. — Étant donnés deux cercles égaux et deux points A, A' sur leurs circonférences, on peut trouver un point S et un angle, tels, que deux droites menées par ce point sous cet angle interceptent sur les deux circonférences , à partir des deux points A , A', des arcs égaux.

Que par le milieu de la droite 00', qui joint les centres des deux cercles, on mène la perpendiculaire à cette droite, et par le milieu de la droite AA' la perpendiculaire à celleci; ces deux perpendiculaires se rencontrent en un point S qui est le point demandé; et l’angle ASA' est l’angle qui satisfait à la question.

En effet, les deux triangles ASO, A'SO'sont égaux comme ayant les côtés égaux chacun à chacun. Donc les angles ASO et A'SO' sont égaux. Il s’ensuit que les deux angles ASA' et OSO' sont égaux. Or, si l’on mène deux droites SM, SM' faisant entre elles l’angle MSM' égal à OSO 7 , elles détacheront évidemment deux arcs égaux BM, B'M' comptés à partir des droites SO, SO'. Donc les arcs AM et A'M' sont aussi égaux. c. Q. F. D.

Observation. Si les deux cercles sont inégaux, on peut demander que les deux ares AM, A'M' soient dans un rapport constant. On a alors ce Porisme :

Étant donnés deux cercles quelconques et deux points A, A 1 sur leurs circonférences, on peut trouver un point, un angle et une raison, tels, que deux droites menées par ce point et comprenant entre elles cet angle, retrancheront, à partir des points A, A', respectivement, des arcs dans cette raison .

XXIX' Genre.

Telle droite est parallèle à une certaine droite, ou fait avec une droite passant par un point donné un angle de grandeur donnée.

Porisme CLV. — Quand deux points variables m, m' divisent deux droites en parties proportionnelles , les droites mm' sont parallèles à une droite donnée de 'direction; ou bien, il existe un point O, tel, que chaque droite mm 'fait un angle donné avec la droite menée du

point m à ce point O.

Si deux points île division correspondants coïncident en S, point de rencontre des deux droites, toutes les droites mm' sont parallèles entre elles-, cela est évident.

Dans le cas général où cette coïncidence n’a pas lieu, on a vu (Porisme CXLIX) qu’il existe un point O, tel, que le triangle mOm' est donné d’espèce; par conséquent l’angle

mfmO est donné.