I.e Porisme est donc démontré

Pouisme CLVI. — Si de choque point M d'une droite /lonuée de position LM, on abaisse sur deux autres droites aussi données déposition des obliques Min, Mm' sous des angles donnés : il existera un point O, tel, que l'angle m'mO formé parla droite m'm, avec la droite menée du point m à ce point O, sera donné.

Ce Porisme est une conséquence du précédent, parce que les deux points m, né divisent les deux droites fixes en parties proportionnelles.

Si la droite LM passe par le point de concours des deux droites sur lesquelles on abaisse les obliques, les droites mm seront parallèles à une même droite. Cas prévu dans renoncé du Genre.

Porisme CLVII. — Quand deux droites L, L ' sont divisées en parties proportionnelles par deux points variables m, m', il existe un certain point O, tel, que chaque droite mm' fait un angle donné avec la droite menée de son milieu p au point O.

F.n effet, le point O, tel, que les triangles mOné sont donnés d’espèce ( Porisme CXLIX ), satisfait à la question. Car les droites menées du sommet de ces triangles semblables au milieu de leurs bases feront des angles égaux avec ces bases.

Observation . Si oison a proposé le Porisme suivant pour satisfaire au XXIX e Genre : Si de deux points donnés A, R on mène à chaque point C d'un cercle donné de position deux droites qui rencontreront le cercle en deux autres points D, E, la droite DE fera un angle donné avec une droite menée par un point donné, ou sera parallèle à une droite donnée de position , ou bien passera par un point donné (i).

Si nous n’admettons pas ici ce Porisme, c’est qu’il embrasse trois cas différents : Pappus n’en a compris que deux dans l’énoncé du XXIX e Genre. Les trois Porismes que nous proposons satisfont chacun rigoureusement à cet énoncé.

I"' Genre. (Voirp. 1 1 4 -t

Porisme CL VÜI. — Si autour de deux points fixes P , Q on fait tourner deux droites PM, QM qui se coupent

sous un angle de grandeur donnée, et queVSl rencontre une droite AX- donnée de position en un point m , le point A étant donné sur cette droite, et une raison A étant aussi donnée : on pourra déterminer une autre droite A' X' et un point A' sur cette droite, tels, que la deuxième droite tournante QM fasse sur celte droite un segment A'm', qui soit toujours au segment Am dans la raison ~k.

(i) « Si a duobus punclis datis A, lî ad circulum positione datum CDE in— flectantur utcunque dua; recta' AC, BC circumferontiæ rursus in D, E occurentes, recta DE vel continebit datum angulum cuin recta ad datum punctum vergente; vel" parallola crit rectæ positione datœ, vel verget ad datum punctum. »(Prop. 57, p. 47 2 )

( uüo )

Qu’on mène PC parallèle à AX, el QC correspondante à PC, c’est-à-dire faisant langleCégal à l’angle donné; la droite cherchée A!X.' sera parallèle à QC. Qu’on mène Qu correspondante à PA : le point cherché A' sera situé sur Qu. Supposons que deux droites PA, QA, faisant l’angle PAQ égal à l’angle donné, coupent, la première la droite AX en un point B, et la deuxième la droite cherchée A'X' en B'. On

doit av0 ' r = s° rlc cjtte cette relation détermine la

longueur du segment A' IV. Il suffit donc d’inscrire dans l’angle des deux droites Qa, QA une droite égale à ccttc longueur et pat allèle à QC Ce sera la droite cherchée. C’està-dire que pour deux droites PM, QM faisant entre elles l’angle donné, on aura toujours

A m AB ^

A' ni’ A' B'

En eilet, les quatre droites Pu, PA, PM, PC font entre elles des angles égaux à ceux des droites Qu, QA, QM, QC. Concevons qu’une transversale de direction quelconque coupe les deux systèmes de quatre droites dans les points A,, B,, m,, C, et A',, B',, m \ , C’,. On aura, par le Corollaire II (p. 83), les deux égalités

A ni

AB

• ctë;’

A 'ni'

. C', nr,

Mai s, d’après le Corollaire III (p. 84), les seconds membres de ces équations sont égaux. Donc

A ni A '/n' A»t AB .

AB — A' B'’ OU A' ni' ~ Â/B' ~ '

Autrement. Les côtés du triangle PA m sont également

inclinés sur ceux du triangle QA'/n'; et, par suite, les deux triangles sont semblables, connue le sont aussi les triangles PA B, QA'B'. Donc

km PA AB ÂV ~ QÂ~' ~ A'B V

Doue, etc.

Purisme CLIX. — Étant donnés une droite AX, un point A sur cette droite, une raison A, et un angle de grandeur constante ni O ni' qu'on fait tourner autour de son sommet : ou peut mener une autre droite A'X' et déterminer sur cette droite un point A', tel, que les segments Am, A'm', formés par les côtés de l’angle mobile, soient entre eux dans la raison A.

Qu’on fasse tourner l’angle autour de son sommet, de manière que son premier côté Ont devienne Ox parallèle à AX, et soit Ox' son deuxième côté : la droite cherchée A'X! sera parallèle à cette droite Ox 7 . Maintenant qu’on fasse passer le premier côté de l’angle par le point A, et soit OA' son deuxième côté; le point A' sera situé sur cette droite.

‘Enlin, que mOtn' soit une position quelconque de l’angle, on inscrira entre les deux droites OA' et O ntl une corde

A! m' parallèle à O x' et telle que — A. Celtecorde A'm

sera la droite cherchée A'X! .

Cela est une conséquence du Poristne XI.VJII, d’après lequel les côtés O ni, Ont' de l’angle tournant mOni' divisent les deux droites AX, A'X' en parties proportionnelles.

II e Genre. (Voir p. 117.)

Poiusme CLX. — Un cercle et un point P étant don-

nés, si par ce point on mène une droite qui rencontre la circonférence en a et b, et sur laquelle on prenne le point m déternuné par la proportion

am a P

mb P b

ce point sera sur une droite donnée de position.

Cela résulte immédiatement du Ixmime XXYIH (proposition i 54 ) quand le point P est au dehors du cercle; et du Lemme XXXV (proposition 161) quand ce point est dans l’intérieur du cercle.

Dans le premier cas la droite lieu du point m est la corde de contact des deux tangentes au cercle, menées par le point P.

Autrement. Soit n le milieu de la corde né. On a, d’après le Lemme XXXIV,

Pn.Pé = Pm.P/t.

Soit de plus niD perpendiculaire sur le diamètre ABP. Les deux triangles rectangles CnP, mDP sont semblables, parce qu’ils ont l’angle P commun, et donnent la proportion

Donc

PC. PD = Pn.Pé = PA. PB.

Ce qui démontre que le point D est donné; et, par conséquent, que le point m est sur une droite donnée de position.

Obscivation. Cette droite lieu du point m s’appelle, dans la Géométrie moderne, la polaire du point P; et ce point est dit le pôle de la droite.

Porismf. CLXI. — Étant donne un point P dans le

plan d'un cercle, si l'on demande un point M dont la distance à ce point soit égale à la tangente menée du point M au cercle : ce point M est sur une droite donnée de position.

Que sur le diamètre AR qui passe par le point donné P, on prenne le point Q déterminé par la relation

QA.QB= QP ,

et que par ce point on mène la perpendiculaire au diamètre: cette droite est le lieu du point M.

Cela. résulte du Lemme XXXIII (proposition 159), d’après lequel la droite MP menée d’un point quelconque de la perpendiculaire QM rencontre la circonférence en deux points C, D, tels, que l’on a

MC. MD = ÂÏP.

En effet, le carré de la tangente au cercle menée par le point M est égal à MC. MD. Donc cette tangente est égale à MP. Donc, etc.

PoniSME CLX 1 I. — Quand un cercle est inscrit dans un triangle USS', si l'on mène une tangente aa’ qui coupe les côtés US, US' en a, a' : le point de rencontre m des droites Sa', S'a est sur une droite donnée de position.

Cette droite est la corde qui joint les points de contact o>, 0/ des deux côtés US, US' du triangle.

En effet, soit O le centre du cercle. L’angle aüd (dont les côtés sont perpendiculaires aux cordes «a, o/a), a pour mesure la moine de 1 arc oiaw . Les angles wOL et 0) OU ont la même mesure, et, par conséquent, sont égaux à l’an-

gle aOa'. L’angle SOS', qui a pour mesure la moitié de l’arc «W, est supplémentaire de l’angle aOa. Il résulte de là, d’après le Corollaire III (p. 84), que l’on a, entre les deux systèmes de quatre points S, w, a, U et S , U, a , o> qui se correspondent deux à deux, la relation

Sa > U a S ' a' m <*' a'

Su " üw — s 7 !) ' w 7 !]

Suivant le Corollaire II du Porisme XXIV, cette relation démontre que les points dans lesquels les trois droites Sa', SU, So/ rencontrent les droites S'a, S'o), S' U, respectivement, savoir : les points m, co, to', sont en ligne droite.

Corollaire. Considérant le quadrilatère Saa'S', on conclut du Porisme ce théorème :

Quand un quadrilatère est circonscrit à un cercle, les cordes qui joignent les points de contact des côtes opposés passent par le point tle rencontre des deux diagonales.

Porisme CLXIII. — Deux cercles étant donnés, si les

tangentes menées d'un point à ces cercles sont égales : ce point est sur une droite donnée de position.

Soient m un point satisfaisant à la question, et m O la perpendiculaire abaissée sur la droite qui joint les centres C, C des deux cercles. On a, en appelant R le rayon du cercle C,

mt. = toE.iwF = (mC + R) (;«C-R) = mC’— R* = m O +-ÔC — R’ = (OC - R) (OC R)

= aTTo’ -1- OA. OR.

Pareillement

mt' — rnO -t-OA'.OB'.

Or mt — ml', par hypothèse. Donc