CE AE

Ct CÂ — adT

Or, par construction, rrr — ^'i donc

Observations. La propriété du cercle à laquelle se rapportent les deux Porismes précédents, se peut traduire aussi sous la forme d’une proposition de lieu ; ce qui serait eucore un Porisme. On prendrait pour hypothèse, ou pour données de fait, les deux points E, D et la raison ; et le Porisme exprimerait que le point M, dont les distances à ces points sont entre elles dans la raison donnée, se trouve sur un cercle donné de position.

Celte proposition de lieu faisait partie des Lieux plans d’Apollonius. Pappus la rapporte sous l’énoncé général suivant, qui implique le cas où la raison est égale à l’unité :

Si de deux points donnés on mène des droites qui se. rencontrent en un point, et que ces droites soient entre elles dans une raison donnée : ce point est sur une droite ou sur une circonférence donnée de position.

Eutocius, dans son Commentaire sur les Coniques d’Apollonius, lorsqu’il expose la définition des Lieux plans, solides, et à la surface, qu’on trouve aussi dans Pappus, démontre cette même proposition, comme exemple des Lieux plans. Il l’énonce ainsi :

Étant donnés deux points sur un plan et la raison de lieux droites inégales : on peut décrite sur le plan un cercle, tel, que les droites menées- des deux points donnés à chaque point de la circonférence soient entre elles dans la raison donnée.

Eutocius détermine le centre et le rayon du cercle; puis il prouve, d’abord que chaque point de la circonférence satisfait à l’énoncé de la proposition, et ensuite que, pour les points qui ne sont pas sur la circonférence, la relation n’a pas lieu.

On remarquera que l’énoncé d’Eutocius et celui de Pappus, sans être précisément dans les mêmes termes, sont néanmoins les mêmes au fond. Dans l’un et dans l’autre la

nature tlu lieu est connue ou donnée, et la chose à trouver est seulement la position de ce lieu (ici la position implique nécessairement la grandeur).

Celte concordance montre que telle était bien la forme des propositions appelées Lieux chez les Anciens, comme tous les géomètres modernes l'ont admis et comme nous l'avons supposé dans notre Introduction, en définissant le théorème local, le lieu et le problème local (p. 33).

Du reste, l’ouvrage des Connues géométriques, de Hassan beu Hailhem, qui nous a déjà offert un document précieux par les Porismes qui s’y trouvent (t), renferme aussi un témoignage péremptoire au sujet des Lieux. Car toutes les propositions de Lieux v sonténoncées dans la formeindiquée par Pappus et Eutocius. 11 nous suffira de rapporter la proposition môme dont il vient d’être question : elle est conçue en ces termes, d’après la traduction de M. L.-Atn. Sedillot : Lorsque de deux points connus de position on mène deux lignes droites qui se rencontrent en un point , et que le rapport de ces deux lignes, savoir, celui de la plus grande à la plus petite, est connu : le point de rencontre est sur une circonférence de cercle, connue de position (Livre I, proposition IX) ( 2 ).

Cet énoncé est presque identique à celui de Pappus : et 11 e le fût-il pas dans les mots de l’original, il décrit incon-

(1) Voir ci -dessus, p. 44 et 5 i.

(2) J’ai signalé dans Y Aperçu historique (p. 627) le rapprochement qui se présente ici utilement, entre les ouvrages d’Apollonius, d’Eutocius et d’Hassan ben Ilaithcm.

On est autorisé à croire que la démonstration d’Kutocius est précisément celle d’Apollonius, puisque c’est de son Ouvrage qu’il extrait l’exemple des lieux plans qu’il veut donner. Elle a, du reste, le caractère des démonstrations du grand géomètre. Mais une autre considération ajoute à la probabilité de notre conjecture. C’est que la démonstration d’Eutocius contient implicitement le Lcmuic que Pappus donne (proposition ny de Commanditi; p. 346. Edition de ifi 6 o)conime se rapportant au premier heu du second livre d’Apollonius, c’est-à-dire à la proposition on question.

tes table muni la nature du lieu, ce cjui seul constitue le caractère que nous avons fait ressortir.

Simson, en rétablissant les lieux plans d’Apollonius, a conservé rigoureusement la forme des énoncés transmise par Pappus. Mais il semble, dans un passage de son Traité des Porismes, n'avoir pas distingué, comme il le fallait, la différence qui existe entre le lieu et le problème local.

Il ne parle pas formellement du problème local ; rependant on peut croire qu’il le comprend implicitement dans la définition du lieu , quand il dit :

« Le lieu est uue proposition dans laquelle on demande « de démontrer qu’une certaine ligne ou surface est donnée, » ou de trouver une ligne ou surface dont tous les points » aient une propriété commune décrite dans l’énoncé de la » proposition; ou bien de démontrer qu’une certaine sur- » face est donnée, ou de trouver une surface, sur laquelle » des lignes tracées suivant une loi donnée, aient une » propriété commune décrite dans l’énoncé de la proposi- » lion. »

C’est ce que l’auteur exprime plus brièvement ainsi : « Locus est Proposilio in qtia propositum est datant esse » demonstrare, vel invenire lineam aut supcrficiem cujus » quodlibet punctum, vel supcrficiem in qua quælibct linea » data loge descripla, eommunem quandam habet proprie- » latent in Propositione dcscriptam. » (De Porismatibus,etc., p. 324.)

Ainsi Simson dit qu’un lieu est une proposition dans laquelle on demande de démontrer que les points d’une ligne dont la nature est donnée, jouissent de telle propriété commune;

Ou bien, une proposition par laquelle on demande de trouver la ligne dont tous les points jouissent de telle propriété commune.

Celle seconde partie de la définition constitue un pro-

blême local. Kl rien, de la part de Pappus, ni d’Eulocius, ni d’Hassan ben Hailhem, n’autorise à confondre Xeprob/ème avec le lieu; puisque dans les propositions de lieux rapportées par ces trois géomètres, la nature du lieu est toujours donnée et jamais à trouver. 11 est à remarquer que le témoignage seul d'Eutocius suilirait, puisqu’il se propose formellement de donner un exemple de ces propositions appelées lieux.

Du reste, ce que nous croyons être une inadvertance de Simson est tout à fait sans conséquence ultérieure dans le développement de ses idées sur la question des Porismes; et quand il cite, aussitôt après, deux propositions de lieux, il prend deux propositions conformes aux énoncés d’Apollonius, c’est-à-dire dans lesquelles la nature du lieu fait partie de l'hypothèse.

Poiusme CLX\ III. — Quand deux droites DD', EE' perpendiculaires au diamètre AB d'un cercle , coupent ce diamètre et son prolongement en deux points D, E de manière qtion ait