RA' — PA

El si l'on considère les irois droites SA, SP, SA' coupées par les deux AA', ww', celle équation, en vertu du Lcmme XIX, conduit à celle-ci :

R « 7rti> n m R m

*—, = —>• ou — I .

K 6) 7TW 7T6> K U

Maintenant en appliquant aux quatre droites PA, Pw, Ptt, Pw' coupées par les deux ww' et oo', le Corollaire II du Lenime XI, déjà cité, on a,

"K M t Rw GO

Kbi' * Ru’ Go'

Donc ao = cio' . Par conséquent, l'équation ci-dessus o g go'

• O (X Gfl'

se réduit à o [J. — api.

Il s’ensuit :

op-hpo — op! + po, ou

0(7 = pp'.

Ce qu’il fallait démontrer. Donc, etc.

Porisme CLXXII. — Si par un point. P donné on mène deux sécantes quelconques aa', 1*1)', qui forment les diagonales d'un quadrilatère aba' W inscrit à un cercle donné : /adroite ef, qui joint les deux points de concours des côtés opposés, est donnée de position.

En eflcl, la diagonale aa' rencontre la droite cf en un pointa pour lequel on a, d’après le Lcmme V,

P o au Pfl' aa'

On a de même, sur la diagonale bt/,

Vb^ bZ

P b' ~~ tb''

La droite ef est déterminée par les deux points a, 6. Mais, d’après le Lemme XXVIII, quand le point P est au dehors du cercle, et, d’après le Lemme XXXV, quand ce point est dans l’intérieur du cercle, ces points a, 6 sont toujours sur une même droite, quelles que soient les deux sécantes Pua', P bb' . Cette droite est la polaire du point P (Porisme CLX).

Le Porisme est donc démontré.

VI* Genre. (Voir p. i3g. )

Porisme CLXXIH. — Si autour d'un point fixe P, pris - sur le diamètre AB d'un cercle, on

Z' fait tourner une droite qui rencon-

» ( Ig tre la circonférence en C et D, et que

Ny / J l'on mène DE perpendiculaire au

® diamètre AB : la corde EC. passera

par un point donné.

Ce Porisme est une conséquence immédiate du Lemme XXX (proposition t56).

Porisme CLXXIV. — Étant donné un demi-cercle ADB, si l’on mène une droite MM! qui forme

7 d I * sur les tangentes aux extrémités de ce

yf n\'l M diamètre deux segments dont le recâ [ , Y \ tangle AM . BM' soit égal à un espace

B •’ donné v : la perpendiculaire à cette droite, menée par le point m où elle m ' rencontre le demi-cercle, passera par

un point donné.

Qu on prenne le point P déterminé par l’égalité PA. PB = v;

‘ e sera le point cherché.

Cela résulte (lu Lctnine XXXI (proposition «57), d'après lequel la perpendiculaire à MM* menée par le point m, rencontre le diamètre AB en un point P, tel, que l’on a

PA . PB = AM . BM' = v.

PoBisMF. CLXXV. — Si autour d'un point. D pris dans le plan d'un cercle on fait tourner un côté d’un angle droit dont le sommet INI glisse sur la circonférence du cercle, et que par le point E où l'autre côté rencontre la circonférence, oji mène une parallèle au premier côté: celte droite passera par un point donné.

Qu’on prenne sur AB le point F, tel»

que OF = ÜD, U étant le centre du cercle. Ce sera le point qui satisfait à la question.

La démonstration résulte du Lemine XXXVI (proposition 16a).

En effet, qu’on prolonge la droite MD et sa parallèle jusqu’à leur rencontre avec la circonférence, en M' et E', on forme un rectangle inscrit MEE'M'. D’après le I.ernme, les deux côtés parallèles MM', EE' sont à égale distance dn centre; donc tout diamètre les rencontre en deux points situés à égale distance du centre. Donc la droite EE' passe par le point F situé sur le diamètre AB à la distance OF égale à OD. Ce qui démontre le Porismc.

Porisme CLXXVI. — Un angle de grandeur donnée se meut de manière qu'un de ses côtés passe par un point donné, et que son sommet glisse sur une circonférence de cercle ; son deuxième côté rencontre la circonférence en un deuxième point par lequel on mène une ilroilc faisant avec ce côté un angle égal à l'angle mobile, mais dans un sens contraire : celte droite passe par un point donné.

La démonstration de cette proposition se déduit du Po-

risme précédent qui n’en est qu’un cas particulier, celui où l’angle mobile est droit.

Reprenons, en effet, la figure précédente et concevons qu’on ait abaissé du point D sur ME une oblique DN faisant l’angle N de la grandeur donnée ; le point N sera sur un cercle. Car le triangle rectangle MDN est donné d’espèce : par conséquent, son hypoténuse DN est proportionnelle au côté DM. Si l’on portait sur DM une ligne égale à DN, son extrémité serait sur un cercle ayant le point D pour centre de similitude avec le cercle AMB. Et si l'on suppose que ce cercle tourne autour du point D d’un angle égal à MDN, il deviendra le lieu du point N. Ce point est donc sur un cercle S. Le point A' où la droite DA', faisant avec DA l’angle ADA' égal à MDN, rencontre la tangente en A, appartiendra au cercle 2, dont le centre sera en Cf au point d’intersection de la droite DA' et de la perpendiculaire à DF élevée par le centre O du premier cercle.

Maintenant si l’on suppose que du point F on abaisse sur la droite ME une oblique FI faisant l’angle en I égal à l’angle en N, mais en sens contraire, de manière que le premier étant à droite de la perpendiculaire DM, le second soit à gauche de la perpendiculaire FE : le point I sera sur un cercle qui sera évidemmen t le même que le cercle 2 . Car son centre sera sur la droite FB' faisant avec FB l’angle BFB' égal à EFI, et, par conséquent, coïncidera avec le centre Cf de 2; en outre, son rayon Cf B' sera égal à O' A'.

On conclut de là que : Si par un point D donné dans le plan d’un cercle 2 on mène une droite DN à un point de la circonférence, et par ce point une droite NI faisant avec DN nn angle donné, puis par le point I une autre droite faisant avec NI un angle égal à l’angle N, mais dans un sens difiérenl : celle droite passera par un point fixe F situé sur la

droite DA qui fait avec le rayon (D'D du cercle 2, un angle ADA' égal au complément de l’angle donné N.

Ce qui démontre le Poristne.

Porisme. CLXXVII. — Si de chaque point d’une droite donnée de position dans le plan d'un cercle, on mène deux tangentes au cercle : la corde qui joint les deux points de contact passe par un point donné.

.Soient MA, MB et ma, mb les tangentes menées par deux points M, m de la droite LM. Ces tangentes forment le quadrilatère circonscrit MC m D dans lequel les cordes A a, B A se rencontrent en un point Q de la diagonale M m ( Porisme CLXII, Coroll.), et les cordes AA et Ba en un point R de la même diagonale. Soit P le point de rencontre des deux cordes de contact AB, ab ; etE, eles points où ces cordes rencontrent la droite LM.

Considérons le quadrilatère aQAR dont les points de concours des côtés opposés sont A et B. La droite qui joint ces points, c’est-à-dire la corde AB, est rencontrée par les deux diagonales ab et QR en P et E, et l’on a (Lemme V),