PA EA PB ~ EB

Donc, quelle que soit la corde ab, c’est-à-dire quel que soit le point m sur la droite LM, le point P par lequel passe celte corde esllixeetdélcrminé. Ceqûi démontre le Porisme.

Corollaire. On a, évidemment,

Pn ca P h ch

<k* sorte que d’après le l’orisme CLX, si la droite LM rencontre le cercle, le point P est le point de concours des tangentes aux deux points de rencontre. On en conclut ce théorème :

Quand un angle est circonscrit à un cercle , si par son sommet on mène une droite qui rencontre le cercle, les tangentes aux deux points de rencontre se coupent sur la corde qui joint les points de contact des deux côtés de l'angle. On peut dire, sur la polaire du sommet de l'angle.

Porisme CLXXV1U. — Un angle A PB étant circonscrit à un cercle, et un point Q étant donné sur la corde de contact AB; si par ce point et le sommet de l'angle on mène deux droites qui se coupent en M sur le cercle : la corde dW que ces droites interceptent dans le cercle passe par un point donné.

Ce point est sur AB et se détermine par la proportion

RA AQ RB — QB'

En effet, la droite PM rencontre la corde de contact AB en p, et l’on a

5^=^. (Porisme (XX.)

Le point [t! déterminé sur QM par l'équation

QM ;/ M Q/h' fi'w'’

est, de même que le point R, sur la corde de contact des tangentes menées par le point Q (Porisme GLX) Celte corde, d’après le corollaire du Purisme précédent, passe par le point P.

Les deux dernières équations donnent celle-ci :

PM # pM >'M , QM Pm ' p m [ il m' ’ Qm’’

entre les deux séries de points P, M, m, p et p', M, m', Q situés surlesdeuxdroitesPM, QM. Et cetteéquation prouve, d’après le LemmeXVI, que les trois droites Pp', Qp, mm 1 passent par un même point : c’est-à-dire, que la corde mm' (tasse par le point d’intersection des deux droites Pp', Qp, ou PR, QA. Ce qui démontre le Porjsme.

Porisme CLXXIX. — Deux droites parallèles LC, L'C' étant données dans le plan d'un cercle, si par chaque point de LC on mène deux tangentes au cercle et une droite au point milieu du segment que ces tangentes interceptent sur L'C' : cette droite passe par un point donné.

En eflet, on a vu dans le Porisme CLXXVII que la droite ah qui joint les deux points de contact de chaque couple de tangentes, passe par un point fixe P, et que, c étant le point où ab rencontre LC, on a la proportion

P a ca

P 6 cb

De plus les trois droites mu, mb , in P rencontrent la droite • L'C' en a 1 , b 1 cl P, et l’on a

VJ? = P?, : ™ ( Corolla,, ' e !»• 83.)

Donc

~ = >, ou PV = FÙ'.

Donc la droite menée du point m au milieu l v du segment a' b', passe par le point (ixe P.

Le Purisme est donc démontré.

Poiusmk CLXXX. — Étant donnés deux droites SA,

SA', un point P et un espace v : on peut trouver sur ces droites deux points I et . 1 ' en ligne droite avec le point P, et tels, que si Von prend sur SA, SA', deux points m, m' liés par l équation

Im.J'ml = v,

la droite mm' passera par un point donné.

Que l’on mène par le point P la droite IJ', telle, que SI.SJ'=v; ce que l’on fait par le Lcmme XXXVIII (proposition 164) • les deux points I et J' satisfont a la

question, et le sommet Q du parallélogramme construit sur les deux côtés SI, SJ' est le point par lequel passent les

droites mm' .

Cela est une conséquence du Porisme CXVIII.

Porisme CLXXXI. — Quand deux droites qui tour-

nent autour de doux points P, Q d'un cercle, en se coupant toujours sur la circonférence, rencontrent deux droites fixes SA, SA', menées par un autre point du cercle.

en deux points m, m' : la droite mm' passe par un point

donné.

Soient a et b' les points où les tangentes en P et en Q rencontrent, respectivement, les deux droites SA, SA'; et b, a' les points de section de ces droites par la ligne PQ. Le point de rencontre des deux droites au', b b 1 est le point

cherché; c’est-à-dire que la droite mm 1 passe par ce point.

En effet, les quatre droites P a, P b, PS et Pni font entre elles des angles égaux à ceux des droites (^cé, Q//, QS et Qm'. Par conséquent (d’après le Corollaire III, p. 84) la relation suivante a lieu entre les deux séries des quatre points S, a, b, m et S, a', b', m! :

S m % bm S m' % b' m' Sm.ba Sm'.b'a'

S a ‘ ba S a' ’ W a' ' b ni. S a b' m' .Sa’

Or cette équation prouve, d’après le Lemrne X ou XVI, que la droite ram' passe par le point d’intersection des deux droites aa\ bb' . Donc, etc.

Porisme CLXXXU. — Un quadrilatère étant inscrit, dans un cercle, si on le déforme en faisant tourner trois de ses côtés autour de trois points fixes P, Q, R situés en ligne droite:

le quatrième côté passera par un point donné.

En effet, soit S le point où le quatrième côté rencontre la droite sur laquelle sont les trois points P, Q, R; et soit i le point de rencontre des deux côtés opposés ab, cd du quadrilatère. Considérant le triangle P/R coupé par les deux droites ad et bc , on a, d’après le théorème de Plolémée,

ta Rrf'pS — *’

RQ Pè

R^ PQ ‘~îb~~

Multipliant membre à membre et observant que ia . ib — ic . id,

on obtient

Pa.Pè PQ.PS Rc.Rrf — RQ.RS -

1 ,e premier membre est constant, par conséquent le rap- PS

port —, l’est aussi. Ce qui démontre le Porisme.

RS

Porisme CLXXXÜI. — Étant donnés deux cercles, si l'on mène deux rayons parallèles : la droite qui joindra

leurs extrémités passera par un point donné.

En effet, soit S le point où la droite mm! rencontre la ligne des centres 00': les deux triangles m OS, né O 1 S sont semblables, et l'on a

SO Oin H

SO' Ô'n? R 7 '

en appelant R, R' les rayons des deux cercles.

Ainsi le point S est fixe. Donc, etc.

Remarque. On a

S ni SO R