XVII. Que le rectangle compris sous telle droite et telle

(i) Lacune dans le texte.

autre droite csl dans une raison donnée avec une certaine abscisse.

XV III. Que le rectangle qui a pour côtés la somme de deux droites et la somme de deux autres droites, a un rapport donné avec tel segment.

XIX. Qu'un rectangle qui a pour côtés telle droite et une autre droite augmentée d’une seconde qui a un rapport donné avec telle autre droite, et le rectangle construit sur telle droite et telle autre qui a un rapport donné avec telle droite, ont leur somme dans un rapport donné avec une certaine abscisse.

XX. Que la somme de ces deux rectangles est dans un rapport donné avec le segment compris entre tel point et un point donné.

XXI. Que le rectangle compris sous telle droite et telle autre est donné.

lit*' l.ivrc des Purismes.

» Dans le III e Livre, le plus grand nombre des hypothèses concernent le demi-cercle; quelques-unes le cercle et les segments. Pour les choses cherchées, la plupart ressemblent aux précédentes.

» Il y a en outre celles-ci :

XXII. Que le rectangle de telles droites est au rectangle de telles autres dans un rapport donné.

XXI11. Que le carré construit sur telle droite est à une certaine abscisse dans un rapport donné.

XXIV. Que le rectangle construit sur telles droites est égal au rectangle qui a pour côtés une droite donnée et le segment formé par tel point à partir d’un point donné.

XXV. Que le carré construit sur telle droite est égal au rectangle qui a pour côtés une droite donnée et le segment formé par une perpendiculaire, à partir d'un point donné.

XXVI. Que le rectangle qui a pour côtés ja somme de deux droites et une droite en rapport donné avec telle autre droite, est dans un rapport donné avec telle abscisse.

XXVII. Qu’il existe un point tel, que des droites menées de ce point comprennent un triangle donné d’espèce.

XXVIII. Qu’il existe un point tel, que des droites menées de ce point reira nclient des arcs égaux.

XXIX. Que telle droite est parallèle à une certaine droite, ou fait avec une droite passant par un point donné un augle de grandeur donnée.

» Il y a XXXVIII Lcinmcs pour les trois livres de Porismes : ceux-ci renferment 171 théorèmes. »

Ici se termine le passage du VII” Livre des Collections mathématiques de Pappus qui concerne les Porismes.

S IV. — Explication de la proposition des quatre droites, de la proposition générale de Pappus et du Porisme complet du I" Livre. — Observation relative aux deux définitions des Porismes.

Pappus dit que l’ouvrage d’Euclide renferme presque toujours un seul Porisme ou un petit nombre de chaque espèce ; que néanmoins on trouve au commencement du I er livre dix propositions qui peuvent se résumer en une seule. Pappus énonce cette proposition. Elle est relative à quatre droites. Il dit ensuite qu’elle n’est elle-même qu’un cas particulier d’un énoncé plus général concernant un nombre quelconque de droites; il'déerit cette proposition, et il ajoute avec un sentiment de justice qui faithonneur à s(^i caractère , que sans doute cette généralisation n’a point échappé à Euclide , mais que, se bornant à répandre dans ses trois livres de Porismes des germes de propositions fécondes, il n’aura pas jugé qu’il fût nécessaire d’en faire mention.

Celte belle proposition, celle des quatre droites, et une

autre, donnée comme exemple des Porismes du I er livre d'F.uclide, sont les trois seules que Pappus rite en termes complets, c est-à-dire dans lesquelles il fasse connaître les hypothèses auxquelles se rapportent les conséquences énoncées. Toutes ses autres propositions (au nombre de 28), expriment certains résultats (qui sont pour la plupart des relations de segments), saus qu’on y trouve aucune trace de l'hypothèse ou des conditions qui donnaient lieu à ces relations dans l'ouvrage d’Euclide.

Les trois propositions décrites d’une manière complète sont celles sur lesquelles Simson a concentré pendant longtemps tous ses efforts et qui lout conduit, après qu’il fut parvenu à en pénétrer le seus, à la conception de la doctrine des Porismes.

Pour ceux qui connaissent maintenant ces propositions, le texte de Pappus peut paraître se prêter assez aisément à une traduction qui permette d'y voir un énoucé exact et à peu près complet. Aussi tous les géomètres, quel qu'ait été leur sentiment ultérieur sur la doctrine des Porismes, ontils adhéré unanimement à cette partie de la divination, disons à cette découverte de Simson. Mais on 11e peut méconnaître qu’avant que le savant interprète fût parvenu à découvrir le sens de ces propositions, elles présentaient de très-grandes difficultés, puisque les plus habiles géomètres du xvi" et du xvn c siècle , comme nous l’avons dit ci-dessus, tels que Fermât et Halley, à qui pourtant la langue grecque était familière, avaient échoué dans leurs tentatives (1).

La proposition des quatre droites signifie, ej langage moderne, que :

( 1 ) Simson observe avec raison que Fermât n’a pas même deviné le Porisme du 1 er Livre énoncé par Pappus en termes complets : « At Fermai! us no vel primum primi libri cnuclcavit, quod tinicum inlcyrum servavit Pappus. » ( Opéra t fuoedam t cliqua, etc., p. 3l8.)

Étant données quatre droites, dont trois tournent au- ' tour des points dans lesquels elles rencontrent ta quatrième, de manière que deux des points d'intersection de ces droites glissent sur deux droites données de position, le point (F intersection restant décrit une nouvelle droite.

En d’autres termes : Si lion déforme un triangle en faisant tourner ses trois côtés autour de trois points fixes pris en ligne droite, et en faisant glisser deux de scs sommets sur deux droites fixes, prises arbitrairement, le troisième sommet décrit une troisième droite.

La proposition générale de Pappus concerne un nombre quelconque de droites, disons (n + i) droites, dont n peuvent tourner autour d’autant de points fixes situés tous sur la (n+i)'"", Ces n droites se coupent deux

à deux en — points, nombre triangulaire dont le

décrit une droite.

côté est (n — i); et on les fait tourner autour de leurs n points fixes, de manière que (/i — i) quelconques de leurs

-- n -- — —points d’intersection glissent sur ( n — 1) droites

fixes données : alors chacun des autres points d'intersec-

/ . ( n — i)(rt — 2)

tion en nombre

Tel est le sens de la proposition de Pappus. L’auteur dit que des («— -1) points d’intersection des droites mobiles qui sont assujettis à glisser sur des droites données, il ne doit pas y en avoir trois qui soient les sommets d’un triangle. Cela s’entend du triangle formé par trois droites mobiles. Et en elfet, d’après la proposition des quatre droites, deux seulement des trois points d’intersection de trois droites mobiles peuvent être assujettis à glisser sur des droites données, puisqu’il s’ensuit que le troisième décrit alors une droite déterminée, ou donnée virtuellement, et qui par conséquent ne peut pas être donnée de fait ou à priori.

( est Siinsou <| ii i .1 découvert In signification de celte condition qui complique f énoncé. Kl pour < 'Oinplcler l’inlenlion de Pappus, il ajoute que quatre points d intersection ne peuvent pas appartenir à quatre droites formant un quadrilatère; cinq à cinq droites formant un pentagone, etc.

Des — - — points d’intersection des n droites mobiles.

les (n — i) qu’on assujettit à glisser sur autant de droites fixes peuvent appartenir à une même droite; c'est la première hypothèse de Pappus, qu’il a généralisée aussitôt. Ces (n — i) points peuvent aussi être les sommets consécutifs, moins un, d’un des polygones de n côtés formés par les n droites. Dans ce cas le théorème prend cet énoncé : Si l'on a un polygone d'un nombre quelconque de côtés, et qu'on le détonne en faisant tourner tous ses côtés autour d'autant de points fixes pris arbitrairement en ligne droite, et en faisant glisser tous ses sommets moins un sur autant de droites données de position, le dernier sommet décrit lui -môme une droite déterminée de position ; et en outre, le jioint d'intersection de deux côtés quelconques du polygone décrit aussi une ligne droite.

Porisme complet du 1 er Livre d’Euclide.

L’énoncé de Pappus expritfle que :

Si autour de deux points fixes P, Q, on fait tourner deux droites qui se coupent sur une droite donnée L, et que l'une fasse sur une droite fixe AX donnée de position un segment A m compté à partir d un point A donné sur cette droite : on pourra déterminer une autre droite fixe 1ÎY et. un point fixe B sur cette droite, tels, que le segment B m' fait par la seconde droite tournante sur cette seconde droite fixe, à partir du point B, soit au premier segment Am dans une raison donnée

Nous donnerons, dans le I er Livre des Porismes, la dé-

monstration Je t elle proposition, de celle des quatre droites et de la proposition générale de Pappus.

Observation relative aux deux définitions des Purismes.

Pappus, ainsi qu’on l’a vu ci-dessus (§ III), donne deux définitions des Porismes, l’une des Anciens, et l’autre qui a été introduite par des géomètres modernes. Il condamne celle-ci, parce qu elle repose sur une circonstance accidentelle. Elle ne s’applique, en effet, connue nous le verrons, qu’à une classe particulière de Porismès.

Nous reviendrons plus loin (§ \1, ni) sur ces deux définitions, pour en expliquer le sens, et nous ferons voir qu’elles n’ont rien de contradictoire, du moins dans les limites que comporte la seconde.

g V. — Indication succincte des matières contenues dans le Traité des

Porismes de Simson. — Définition des Porismes. — Opinion de

Playfair.