DC EC

Donc, etc.

PomsME CLXXXV .

— Quand plusieurs cercles passent par deux points P, Q, et rencontrent deux droites fixes PA, PB, menées par un de ces points, en des couples de points a, b-, a', b': ... : le rapport des segments aa', bb' faits par deux quelconques des cercles, est donné.

En d’autres termes, les cercles divisent les deux droites en parties proportionnelles.

En effet, menons par le point Q une droite QC qui

rencontre les cercles aux points c, c', . ... Le rapport a -^ 7

est donné (Porisnie précédent); et de même le rapport bb' aa' .

— ;• Donc -m est donne. c. o. f. d.

ce bb

Corollaire. Il résulte de là, en vertu du Porisme CVH, que : Les milieux des cordes ab, a'b', . . . sont sur une même droite.

Porisme CLXXXVI. — Un cercle est circonscrit à un triangle PQR, et deux droites fixes SA, SA' sont parallèles aux deux côtés PR, QR; si autour des deux points P, Q on fait tourner deux droites qui se coupentsurla circonférence dit cercle et qui rencontrent SA, SA' en m et m'; le point A étant donné sur SA :

on pourra trouver le point A' sur SA' et une raison X, tels, que le rapport des deux segments Am, A'm' sera égal à cette raison.

La droite PA rencontre le cercle en a, et la droite Q« rencontre SA' au point cherché A'. Soit B le point où la tangente en P rencontre SA, et B' le point où PQ rencontre

SA'. La raison X est égale à

En effet, le faisceau de quatre droites PA, PB, P m et PR, a ses angles égaux à ceux des quatre droites QA', QB', Qm' et QR. Il s’ensuit, comme il a été démontré pour le Porisme CX, qu’il existe entre les deux systèmes de points A, B, m et A', B', m la relation

A m ~ÂB

Donc, etc.

IX e Genre. (Voir p. x 40* )

Porisme CLXXXVÜ. — Si l'on prend sur une droite OA deux points variables m, m', déterminant des segments

dont le rectangle O ni. O ih' soit égal au carré construit sur

une droite donnée a; n

e g — £ J +; T étant le milieu de ces deux

points , et b une ligne donnée : on peut trouver un point E cl une raison p, tels, que Von aura toujours

E m. E ni'

Il suffit de prendre OE — a, et p= 2 —• Cela résulte du

Lemrnc XXIII (proposition 1 49)-

En effet, puisque Om.Om' = a* = OE , il s’ensuit, d’après ce Lemme, que

Em.Em' = OE (E m -f- E ni').

E m . E m 1 1 En

= OE, et

E/n .Em' 2 OE

b .En

Si le point E, au lieu d’être placé comme dans la figure, était pris du même côté de O que m et m', ce serait le Lemme XXV (proposition i5i) que l’on invoquerait.

Porisme CLXXXVIII. — Quand un cercle est inscrit dans un triangle AA'B, si l’on fait tourner sur la circonférence une tangente qui rencontre les côtés BA, BA' en deux points m, m' : on peut, trouver un point V sur le côté BA’, et une ligne j - p, tels , quon aura toujours V égalité

• Km .i' m'

La tangente parallèle à AB coupe A'B au point cherché 3 1 . La tangente parallèle à A' B coupe AB en un point 1, et l’on a p = AL

Eu effet, soient Ci, C j les parallèles aux deux côtés A'B, Alî menées par le centre du cercle. On démontre comme au Porisme CXXX, que les quatre droites CA, Cm, CI et C j font entre elles, deux à deux, des angles égaux aux angles des droites CA 7 , Cm', Ci, CJ'. Et ou en conclut par la même démonstration que pour le Porisme CXXII, celte égalité

Am A ' m’

~ÂÏ ~~ TnP

A m .J' ni' A' ni’

= AI

Porisme CLXXXIX. — Si autour de deux points P, Q

d’un cercle, on fait tourner deux droites qui se coupent en M sur la circonférence, et rencontrent une droite fixe LA en m et m! ; le point A étant donné, ainsi qu’une ligne a : on pourra trouver deux autres points. A' et J 7 sur LA, tels, que le rapport des rectangles A m.J'm' et A'm'.a sera constant.

Qu’on mène PA qui coupe le cercle en a-, Qn détermine le point demandé A'. Soient P j, Qi parallèles à LA; les droites Q/, Pi coupent LA en J' et I. J 7 est le deuxième point demandé; et l’on a

ou bien

A m.J’m' AI A' m' u. a

En effet, les quatre droites PA, P/n, PI et P y font entre elles des angles égaux à ceux des droites QA 7 , Q/n', Qi, QJ 7 . Si l’on conçoit que ces droites issues du point Q rencontrent une transversale en des points A", m", I", J 77 : en comparant ces points d’abord aux trois A, m, I, puis aux trois

A', m', J', on obtiendra les relations

T'F * FF" = ^T’ (^ or- ^ es ^ emmes III et XI, p. 83.)

A" ni" m J “m" A ’ m'

Â*F * rr ~ ïv’

Donc

”ÂT

X' Genre. (Voir p. i5G.)

Porisme CXC. — On a un cercle dont le diamètre est AB; la tangente en E est parallèle à ce diamètre, et tes points I et J' de cette droite appartiennent aux tangentes en A et en B; si autour de ces points A, B on fait tourner deux droites qui se coupent sur la demi-circonférence ADC, et qui rencontrent la tangente IJ' en m et. m' : le rectangle

I m' . J'm sera égal à un espace donné augmenté du rectangle formé sur l'abscisse mm' et une ligne donnée.

L’espace donné est IE.J'E, et la ligne donnée J'I. De sorte que l’équation à démontrer es^

Im'.J'm = IE.J'E J'I. mm'.

En effet, tes quatre points m, m', I, J' sont liés par l’équation suivante, d’après le Porisme LIX,

Im'.J'm = Im. J'm' -H J'I.mm'.

II suffit donc de prouver que Im. J'm'= IE.J'E.

Or les triangles Ami, m'BJ', sont semblables. Donc

1^1 — ^ - . on bien Im.J , m' = AI.BJ'.

Al JW

Et comme AI = BJ'= It = J E, il en résnlie liii.ym' = IE. J'E.

Donc, etc. .

Observation. On trouverait de môme que si le point In était pris sur la demi-circonférence AEB, l’équation deviendrait

lm'.J'm -I- IJ'. mm' = IE.J'E.

Elle répondrait donc à un Porisme exprimé par la formule

Im'. J'm + ft.mm' = v.

Mais cette formule ne se trouve pas dans les énonces de Pappus. Nous en dirons plus loin la raison (à la suite du Porisme CXCIX).

Porisme CXCI. — Un trapèze PiQj est inscrit dans

un cercle , et une droite AL parallèle à scs côtés Pj, Qi, est prise au dehors du cercle ; le point A étant donné sur cette droite : on pourra trouver un autre point B', un rectangle v et une ligne fi, tels, que si de chaque point M de Tare iPj, on mène les droites MP, MQ, qui coupent LA en m et m', on aura toujours la relation

Am.B'm'= v -+- fi. mm'.

Qu’on mène PA qui rencontre le cercle en a, et Qu qui

' ( ay3 )

détermine le point À'. Puis, P/ et Q/ qui coupent AL en I et J' On prendra J'B' = AI, v = Al. A'A et « = AI.

En effet, d’après le Porisme CLXXXIX, on a l’égalité

A m . J'm' ~ A 1 ni' . AI,

et l’on en conclut, comme au Porisme CXXIJI, l’équation A m . B' ni' = AI . A'A + AI . mm'; ce qui démontre le Porisme.

Observation. Si l’on cherche ce que devient l’équation quand le point M est pris sur l’are iaQbj qui avec iP; complète la circonférence, on trouve qu’il y a deux cas à considérer :

Pour les points des arcs l’a, jb contigus h iPj, l’équation

est

A m . B'm' -f- AI . AA' = AI . mm'.

Et pour les points de l’arc «Q b, elle devient Am. B'm' -|- IA .mni — IA. A'A.

Ainsi la circonférence est partagée en quatre arcs consécutifs jPi, ia, aQb, bj dont le premier et le troisième donnent lieu à deux équations différentes, et les deux autres à une S£ulc équation.

XII e Genre. (Voir p. i5a.)

Porisme CXCII. — Un segment de cercle Am B étant donné, ainsi qu'une raison \ : on //eut trouver un point C et une raison p, tels, que les distances de chaque point m de l'arc de cercle AmB aux trois points A, B, C auront entre elles la relation con-

— cik — = // ’

Qu’on prenne sur l’arc ACB, qui complète la circonférence du cercle, le point C déterminé par le rapport

= X; ce qu’on fait par le Lemme XXIX; puis

on aura

a ”-*-cb- Bw