BC

Observation. Si la raison donnée est égale à l’unité, le point C sera le milieu de l’arc ACB, et l’équation satisfera à l’énoncé du XIV e Genre (voir p. 172).

XV' Genre. (Voirp. 174.)

Poiusme CXCIII. — Deux droites OA, OB étant don-

nées, si Ton mène une droite min' qui fasse soit avec AO et OB, soit avec OA et le prolongement de OB, un triangle mOm' égal à un espace donné v : le rectangle

des deux segments Om, Oin' est donné.

Cela résulte des Leinmes XX et XXI. En elle t , soit ab une position de la droite mm'. Les deux triangles «Où, mOm' sont égaux par liypothèse. Leurs angles en O sont égaux ou supplémentaires; par conséquent, d’après le Leinme XX dans le premier cas et le Lemme XXI dans le second, leurs surfaces sont entre elles comme les rectangles Oa.Ob et Om.Om'. Donc ces rectangles sont égaux.

Soit al) perpendiculaire sur OB; on a

d'où

triangle bOa =

Oè.aD

et

Oa.Ob

Le rapport ^ est constant, quel que soit le point a

pris sur OA. Le rectangle Oa.Ob, et par conséquent Om.Om', qui lui est égal, est donc déterminé.

Ce qui démontre le Porisme.

Porisme CXCIV. — Si d'un point P pris sur le diamètre AB d'un demi-cercle, on mène une droite à chaque point M de la circonférence, et que parce point on mène à cette droite une perpendiculaire qui rencontrera en deux points m, m', les tangentes en A et B : le rectangle Am. B né sera donné.

Cela résulte du Lemme XXXI (proposition 1 5y) d’après lequel

A m . B m! = PA . PB.

PokismeCXCV. — Si autour d'un point fixe on fait tourner un côté d'un angle de grandeur donnée dont le sommet glisse sur une circonférence de cercle : l'autre côté de l’angle forme, sur deux certaines droites données de position deux segments dont le rectangle est donné.

( assoient Die point donné sur le diamètre A' B', et D1NK une position de l’angle mobile. Qu’on mène A'X faisant l’angle XA'D égal à DISK, et B'Y parallèle à A'X; puis par le point D une perpendiculaire à ces droites, qui les rencontre en A et B. Le côté INK de l’angle N fait sur ces droites les segments Am, B' m ' dont le rectangle est égal à DA.DB.

Cela résulte du Porisme précédent; car si l’on mène DM perpendiculaire sur le côté JNK de l’angle mobile, le point M sera sur le cercle décrit sur AB comme diamètre (ce qu’on démontre par le raisonnement déjà employé au Porisme CLXXVI). Donc, d’après le Porisine précédent,

Am.Bm'=DA.DB.

Po m sme CXCVI. — Si autour de deux points fixes D, D' pris sur le diamètre AB d'un demi-cercle à égale distance du centre, on fait tourner deux droites parallèles qui rencontrent la circonférence en deux K points , E, E' : la droite EE' forme sur les tangentes en A et B deux segments Am, Am' dont le rectangle est donné.

Ce rectangle est égal à DA .DB.

En elïet, les deux droites DE, EfE' étant parallèles et également éloignées du centre, l’angle DEE' est nécessairement droit. Car si l’on mène le diamètre perpendiculaire à ces droites, qui les rencontre en G et G', on a CG=CG'; par suite, d’après le Lemme XXXVI, la corde EE' est parallèle à GG'. L’angle DEE' est donc droit; et conséquemment, d’après le Porisme CXCIV, le rectangle Am. Am' est égal à DA.DB. c. q. f.

Autrement. Sans invoquer le Lemtne XXXVI, les cordes EF, EF' sont égales, comme parallèles également éloignées du centre; et comme le diamètre qui leur est perpendiculaire passe par leurs milieux, GE = GE' ; donc EE' est parallèle à GG'; et l’angle DEE' est droit. Donc, etc.

Porisme CXC\n. — Étant donné un demi-cercle ACB,

une tangente quelconque mm' fait sur les tangentes aux extrémités du diamètre AB, deux segments Am, B m! dont le rectangle est donné.

Ce rectangle est égal au carré du rayon

du cercle.

En effet, soient n le point de contact de la tangente, et O le centre du cercle. Les deux droites O m, O m' sont rectangulaires, parce qu’elles sont perpendiculaires respectivement aux cordes An, Bn. Le triangle mOm! est donc rectangle en O, et par conséquent on a mn.m'n = On = R’. Mais mn = Am, et m'n = B m.

A m .Am' = R* .

Ce Porisme pourrait être considéré simplement comme un cas particulier du précédent.

Porisme CXCV1II. — Quand un losange AIBJ' est circon-

scrit à un cercle, toute tangente au cercle fait sur les côtés AI, AJ' deux segments Im, J'm', dont le rectangle est donné.

Soit D le point de contact du côté IA, on aura

Im.J'm' = ID.J'A.

En effet, soit C le centre du cercle, et Ci, C j parallèles à AJ' et AI, respective-

ment. Les quatre droites CD, Cm, CI, C/, font entre elles

deux à deux, des angles égaux à ceux des droites CA, C tri , Ci et CJ'.

On en conclut par le raisonnement employé pour la démonstration du Porisme XCV11, qu’il existe entre les deux systèmes de points D, m, I, et A, ni, J' la relation

^ = ou Im.J'm' = ID. J'A.

Il) J m

Autrement . Les deux triangles ICm, \ tri C sont semblables, parce que les côtés IC, Cm, ml du premier sont également inclinés sur les côtés respectifs J 'm', ni C, CJ'du second. On a donc la proportion

et I m . l' ni = IC . CJ' = ÏC

ic y m

Ainsi le rectangle 1m. J'm' est donné.

Cette seconde expression du rectangle 1m. J'm' se ramène immédiatement à la première. Car dans le triangle ICA,