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• mm

C’est le cas prévu dans l’énoncé du XVI e Genre.

Observations. Si dans la figure sur laquelle nous venonsde démontrer le Porisme, le point M est pris sur l’arc iE, ou sur^'F, on trouve que l’équation devient

A m . B 'ni = AI . A'A -t- AI . mm'.

Pour les points de l’arc Eu ou de l'arc F b , elle prend

RüKSUNIVÊRSITflT GFÎÎT ^

'"i.WW'P HOGcftE HLETKÜHS*.

( 3oo )

une troisième forme

A m . B' ni -h AI . mm' = AI . A A'.

Ainsi la circonférence est divisée en six arcs, /E, Ea, ab , b F, F j, ij. Deux de ces arcs, nb , ij, qui sont opposés, se correspondent-, des quatre autres, ceux qui se correspondent sont d'une part a E, £>F, qui sont contigus à ni; de l’autre, l’E, j F, qui sont contigus à ij : et chacune des trois équations se rapporte à l’un de ces couples d’arcs correspondants.

Il n’en était pas entièrement de même dans la figure du Porisme CXCI, qui appartient au X 1 ' Genre, et qui ne se distingue de celle dont nous venons de nous occuper que par la position de la droite AA' en dehors du cercle. Les différentes positions du point M exigeaient aussi trois équations : mais la circonférence n’était divisée qu’en quatre parties. A deux parties ojjposées répondait une seule des trois équations. Chacune des deux dernières parties employait seule une des deux équations restantes.

Mais on voit que les équations qui expriment les X e et XVI e Genres se présentent ensemble dans une même question.

Toutefois dans l’ouvrage d’Euclidc les questions relatives à ces deux Genres n’ont pas été les mêmes. Ce géomètre, guidé par une considération théorique importante qui tient aux imaginaires, comme nous allons te dire, a dû introduire dans les énoncés des Porismes dont Pappus a formé le XVI' Genre une condition d’après laquelle ils s’appliquaient nécessairement à des questions, ou du moins à des figures, différentes des questions ou des figures qui ont fourni à Pappus son X e Genre. Celle condition, c’est que le rectangle v puisse devenir nul par suite de la position du point A, condition qui n’ existe pas dans le texte du X e Genre.

On reconnaît immédiatement dans la géométrie moderne, que cette distinction revient au cas où les points doubles des deux divisions homographiques formées par les couples des points ni, m! sont imaginaires.

Ce sont sans doute ces cas d’imaginarité dont Euclidc a voulu montrer les conséquences; en distinguant avec précision des questions qui conduisent aux mêmes relations entre les points variables que l’on considère, et il les a caractérisées si nettement, que Pappus en a fait deux Genres séparés.

Les Livres de la section de raison, de la section de l'espace et de la section déterminée , nous apprennent que ces cas d’imaginarilé avaient frappé vivement l'imagination des géomètres grecs. Apollonius y a trouvé le sujet de belles questions de maximum qui nous ont été conservées par Pappus, et qui suffiraient pour montrer la sagacité et le génie de celui que les Anciens avaient surnommé le grand géomètre.

La comparaison de ces trois ouvrages de la section de raison, de la section de l’espace et delà section déterminée, met aussi en évidence toute la hardiesse d’Euclide dans la conception de ses Porismes. Elle lait sentir combien il a eu à surmonter de difficultés pour donner toujours aux énoncés une rigoureuse exactitude.

Ces difficultés naissent pour la plupart de la diversité des positions relatives des points dans une figure, en d’autres termes, de la direction des segments; elles ont disparu dans la géométrié moderne par l’introduction des signes -+et — .

Si le seul problème de la section de raison, le plus simple qu’on puisse imaginer, puisqu’il s’exprime par l’équation à deux termes A m= X.BW, la plus simple aussi de toutes celles qui se trouvent dans les Porismes, si ce problème, dis-je, à raison de ces différences de positions rela-

tives des points et des lignes, a demandé à Apollonius 87 cas; celui de la section de l'espace 84, et celui de la section déterminée 83, on doit être ellrayé des obstacles multipliés qu’a dû rencontrer Euclide en introduisant dans la géométrie les équations à trois et à quatre termes qui font le sujet d’un grande partie des Genres indiqués par Pappus.

Sans doute la nature et le vaste ensemble des propositions variées auxquelles s'appliquent ces équations qui se rattachent à une ihéoiie unique, celle des divisions homographiques , forment le mérite principal de l’ouvrage d'Euclide. Mais on peut croire que la nouveauté hardie que présentaient les Porismcs, à raison des difficultés que nous avons signalées, a été aussi un des motifs de l'admiration de Pappus pour ce grand ouvrage, en tout si original et si

Peut-être s’étonnera-t-on qu’Euclide n'ait pas douné de Porismes susceptibles de former un Genre exprimé par la troisième des équations renfermées dans la formule algébrique

A ni . 15 'ni -+- v = p . mm' ,

savoir

A/w.B'm' 4- IA .mm 1 — IA. AA',

équation qui se présente dans les mêmes questions que les deux premières, comme ou l’a vu ci-dessus (Porismes

CXC, CXC1 et CXCIX).

Cette abstention s’explique naturellement; car cette équation répond précisément aux positions des points m, ml qui ne satisfont pas aux deux autres équations. Il • aura donc suffi à Euclide d’en faire la remarque dans quelque scolie, pour éviter de multiplier inutilement les exemples de Porismes. Une réserve de ce genre est bien dans l’esprit du grand géomètre et dans le caractère de son ouvrage, où il n’a voulu donner que des principes et les germes d’une foule de conséquences importantes.

XVII'' (Jenre. (Voir p. 184.)

Porisme CC. — Si autour de deux points P, Q d'un cercle on fait tourner deux droites qui se coupent en. M sur la circonférence et rencontrent en m et ni' une tangente fixe AI : le rapport du rectangle Am. Am' à l'abscisse mm' sera donné.

Qu’on mène Qi parallèle à la tangente AI; et Pi qui coupe celle tangente en I ; on aura

Am. Am' 1T

r- — AI.

En effet, soit P j parallèle à la tangente, et Q/ qui coupe cette droite en J'. On a, d après le Porisme CXXXIX,

A ml . I rn = A ni . AJ'.

Or AJ'= IA. Donc

Aw'.Im = Am.IA, on Par suite,

A m 1 Am

Am' Al

Am' — A ni Ai — ml*

Am' AT mm' A m

Am Am' mm'

= AI

Quand un cercle est circonscrit à un triangle ABC, si autour des deux sommets A, B, on fait tourner deux droites qui se coupent en chaque point M de la circonférence, et qui rencontrent une corde ef en m et m' :

le rectangle em.fm' est à V abscisse mm' dans une raison donnée.

Qu’on mène la corde Bt parallèle à ef, et Ai qui rencontre e/’en I, on aura

em .fm' mm'

el.

En effet, nous avons vu (Porisme CXXVI) que

em.fm' cD .fD' em . em'

cm' .fm rD'./D' JU fm fm'

Par conséquent, d’après le Porisme LXXXH,

em.fm'

mm'

si.

XXI' Genre. (Voir p. 201.)

Porisme CCII. — TJn cercle et une droite DE étant donnés , si de V extrémité A du diamètre perpendiculaire à DE on mène une droite qui rencontre le cercle en m et DE en n : le rectangle Am. An est donné.

En effet, les deux triangles Am B, ADn sont semblables, comme étant rectangles et ayant l’angle A commun. Par conséquent, on a

ou Am.An = AB.AD.

AB A n

Ce qui démontre le Porisme.

Porisme CCIII. — Étant donnés deux cercles dont T un a pour centre un point A de la circonférence de l'autre ; si une tangente au premier rencontre le second en deux points m, ni': /e rectangle des distances de ces points au centre du premier cercle est donné.

Soit AB le diamètre du second cercle -, AM le rayon du premier. On a

Ain. A rn' — A B . AM .

En elïet, les deux triangles rectangles AmB, AMm' sont semblables, parce que les deux angles ABm et Am'M sont égaux comme étant l’un et l’autre suppléments de l’angle min' A. Par conséquent,

ou Am. Am'= AB. AM.

AB A ni'

Deux points O, A étant donnés sur une droite, si l'on prend sur * cette droite, d’un même côté du point O, deux points variables m, m', tels, que l’on ait

Donc, etc. ’ Porisme CCIV. —

le rectangle Om.Om' est donné.

En effet, Om.Om' = OA .

Ce Porisme n’est que la traduction du Leramc XXVI, quand les deux points m, m' sont pris du côté opposé au point A, à partir du point O; et du Lemme XXVII, quand m et m' sont pris du même côté que le point A.

Porisme CCV. — Étant donnés un cercle et la tan-

gente en un point A, si l'on mène deux tangentes parallèles entre elles qui rencontrent la tangente fixe en deux points m, m' : le rectangle Am. Am 'est donné.

Ce rectangle est égal au carré du rayon du cercle.

En effet, .soient M, M', les points de contact des deux tangentes parallèles; l’angle MAM' est droit; par suite l’angle mCm', dont les côtés sont perpendiculaires aux cordes AM, AM', est aussi droit. Le triangle ni Cm 1 est

donc rectangle en C; et conséquemment Am. Am' = CA.

Porisme CCVI. — Si par deux points D, D" pris sur le diamètre d'un demi-cercle , à égale /y ’yn distance du centre , on mène deux droi- A LU — r n les parallèles Dm, D' m' terminées à la

\ \ j j circonférence : le rectangle construit sur

''' — n ces deux droites est donné.

Concevons que la circonférence entière soit décrite, et prolongeons la droite D/n jusqu’à la circonférence, en n. Je dis que Dn est égale à U m 1 . En effet, joignons Cu et Cm'. Les deux triangles CDn, CD'm' sont égaux, parce qu’ils ont des angles égaux en D et D', et deux côtés égaux chacun à chacun. Donc

Dn = DW.

D’ailleurs Dm.Dn = DA.DB.

Donc Dm. DW = DA.DB.

Ce qui démontre le Porisme.

Porisme CCVII. — Un triangle ACB étant donné , si

on mène deux droites parallèles MN, M'N' qui forment V une avec les deux côtés CA , CB et l'autre avec les prolongements de ces côtés au delà

du sommet C, les triangles MCN, M'CN' égaux en surface au triangle ACB : ces droites rencontrent la base AB du triangle en deux points m,m', cl le rectangle des distances de ces points au milieu de AB est donné.

Ce Porisme se conclut du Lemme XXXII (proposition i58), pris dans l’étal de généralité qu’il comporte, comme nous l’avons dit précédemment (p. 96 ). Soient D le milieu de AB, et n le point où MN coupe CD; on a, d’après le Lemme,

Dm = DB •