TABLEAU
VITK88B MOTBHMK
aALBNTlSSKlUIfT
RSSISTANCB
en mètre*
par seconde :
correspondant :
dt
de la carène:
aAPPonT :
0B8BKVATI0N8.
mètres.
tonnes. •
La surface immergée da maître coople était de
10lm>,95.
Moyenne
L'ensemble de ces différents faits conduit naturellement à considérer toute résistance éprouvée par un corps en mouvement dans F eau comme divisée en deux parties : T un frottement tangentiel à la surface et variable suivant la nature et le poli de cette surface, qui est à peu près proportionnel à V; 2^ une résistance normale à la surface, dépendant de la forme géométrique, qui est à peu près proportionnelle à V*. La résistance au roulis participe de ces deux forces, la seconde étant prépondérante.
On a justifié la loi de la proportionnalité de la résistance par rencontre au carré de la vitesse, par le raisonnement suivant : Le, corps en mouvement repousse ou aspire dans un temps donné un volume d'eau proportionnel à sa maîtresse section B* et à sa vitesse V ; la force vive imprimée à ce liquide étant, de plus, proportionnelle à V*, le travail de la résistance est proportionnel à Y' ; soit R cette résistanee, son travail est RV, on a
RV = R.B'V», d'où l'on tire
Le raisonnement suppose que les trajectoires de toutes les molécules d'eau par rapport au corps en mouvement sont les mêmes, quelle que soit la vitesse, ce qui est inexact ; il ne démontre donc rien, surtout si la vitesse varie dans des limites étendues. La force vive imprimée à l'eau par un corps qui la traverse dépend de trop de condititions inconnues pour qu'on puisse la calculer. Les mouvements d'écoulé? ment permanents, les oBcUlations régulières de la houle, les tourbillon-
nements autour d'un axe vertical dont les lois sont beaucoup moins connues que celles de la boule \ ne suffiraient pas sans doute à représenter toutes les formes d'agitation intérieure de l'eau, par lesquelles le travail dépensé se transforme finalement en chaleur au sein d'une masse liquide.
Dans ces conditions, il est sage de s'en tenir, pour l'expression de la résistance, aux données empiriques déduites de l'observation du mouvement des corps eux-mêmes. Nous dirons donc simplement qu'avec les vitesses habituelles dans le roulis, la résistance de la carène peut s'exprimer par la somme AV + BV* des deux premiers termes d'un développement en fonction des puissances successives de V ; cette somme, lorsque les angles et par suite les vitesses dépassent une limite très-basse, se réduit pour la pratique au terme BV*. On est libre, d'ailleurs, ^'admettre que AV représente le frottement, vet BV la résistance par rencontre. A de plus grandes vitesses, le frottement tendrait peut-être à son tour à devenir proportionnel à V*; il faudrait en même temps faire intervenir des termes en V ou V'' dans l'expression de la résistance. La valeur de R semble être en effet proportionnelle à des puissances de plus en plus élevées de V, à mesure que V augmente.
Les principaux mouvements dans lesquels on avait eu jusqu'ici l'occasion de considérer la résistance des fluides, étaient, ou uoiformes, ou soumis à des changements de vitesse extrêmement lents. Dans le roulis, au contraire, l'accélération, positive où négative, atteint des
* On admet que, dans nn tourbillon, la vitesse absolue V des molécules est inversement proportionnelle à leur distance x à l'axe du tourbillon. D résulte de lA une déformation très-rapide des éléments liquides et par suite un travail considérable des forces intérieures.
On démontre l'exactitude de cette loi pour la surface supérieure de l'eau, en supposant satisfaitv^s à la fois, la condition d'équilibre
d7j iohi dxT g
et l'équation qui exprime l'e'galité entre le travail de la pesanteur et la variation de la force vive
~ d («- as-) = 2g dy.
On a, en effet, en éliminant dy,
2u xdx — x^ià dw^ = 0,
«e qui conduit à dei^x solutions :
1° tax :r 0, cas du repos ;
2o ux^ =: constante, cas du tourbillon.
valeurs élevées. La résistance de l'eau dépend de l'accélération du mouvement, puisqu'elle est produite en grande partie par l'inertie de l'eau. Si l'expérience de décroissance des roulis permettait d'étudier bien exactement ce qui se passe dans une oscillation isolée, si l'on obtenait la valeur rigoureuse de la vitesse et de la résistance de l'eau aux divers instants de cette oscillation, on reconnaîtrait évidemment l'impossibilité d'établir une loi entre R et V, et la nécessité de faire intervenir l'accélération dans la formule. Si le résultat final des expériences a pu s'exprimer très-approximativement à l'aide de la rormule (82), cela tient à ce que les abscisses el les ordonnées, dans les courbes de décroissance de la planche VI, ne représentent que des résultats d'ensemble,,à ce que ces courbes donnent l'effet de la résistance pour une oscillation tout entière. Dans une oscillation, la vitesse passe par la valeur zéro; la vitesse et Taccélération dépendent l'une de l'autre, suivant une loi qui' est à peu près la même pour tous les roulis successifs ; par suite, toute fonction de ces deux variables peut être exprimée par une fonction d'un seule d'entre elles. Il est à remarquer aussi que la force d'inertie de l'eau, mise en jeu par la variation de vitesse dans le roulis, agit en sens inverse pendant les deux moitiés d'une oscillation simple, et qu'elle a par suite peu d'action sur les valeurs de Af telles que nous les avons déduites de la courbe de décroissance.
M. Froude, dans les premières expériences qu'il fit, vers 1872, pour mesurer la résistance au roulis, opéra sur de petits modèles de navires oscillant dans un capal artificiel dont ils occupaient à peu près toute la largeur. Dans ces conditions, il trouva que la résistance était sensiblement proportionnelle à la simple vitesse, ce qui n'est point en contradiction avec les expériences de Cherbourg, puisque la vitesse, dans les expériences faites sur de petits modèles, reste constamment trèsfaible. M. Froude voulut ensuite étendre aux grands navires la loi qu'il avait obtenue, en l'étayant à la fois sur des faits d'expérience et sur des raisons théoriques. Ce point fut l'objet, dans la revue trimestrielle Naval Science^ d'une controverse que l'on peut regarder comme terminée par l'article : Résistance to Rolling] inséré dans le numéro de janvier 1875 par les savants éditeurs de cette publication.
Je rappellerai brièvement quelques points de ce débat, parce que la Revue maritime a publié, dans son numéro de mars 1876, une traduction littérale du mémoire principal de M. Froude, lequel, pris isolément, ne donne pas une idée exacte des points mis en question.
Les faits d'observation invoqués par M. Fronde étaient déduits cette fois d'expériences faites sur des bâtiments véritables, Vînconstant, le Volage, le Sultan, et non sur de petits modèles. L'existence d'un terme en V dans la loi de la résistance était affirmée; j'avais, de mon côté, indiqué l'existence de ce terme, très-bien accusée lorsque la vitesse est faible. D'autre part, M. Froude admettait dans sa formule le terme en V*. Nous nous trouvions donc sensiblement d'accord. Seulement M. Froude, en cherchant à voir comment, se vérifie la loi (A9)t = Ny»*, rappliquait aux petites amplitudes de 2** ; il trouvait ainsi pour N une valeur trop forte, et il ne pouvait manquer de rencontrer des écarts considérables en arrivant aux décroissances des oscillations de grande amplitude ; c'est ainsi que, sur la planche VI, des lignes droites partant de l'origine des coordonnées et coupant, en un point voisin, les courbes tracées expérimentalement, s'écarteraient ensuite rapidement de ces courbes. Il y avait, sur ces points, malentendu plutôt que désaccord. Relativement à l'énoncé des faits observés, on peut dire avec les éditeurs du Naval Science, que les différences se réduisent à de très-faibles proportions *.
En dehors de l'expérience, M. Froude a pensé trouver une raison théorique pour que (Aç)i fût proportionnel à 9 plutôt qu'à ç*. Il a sup* posé que chaque roulis simple du navire soulève une onde liquide d'un volume proportionnel à y, et, de plus, que les ondes ainsi produites sont immédiatement soumises aux lois de la houle y les ondes se trouvent alors entièrement déterminées, deux de leurs éléments, le volume et la durée, étant connus. Le travail à dépenser pour vaincre la pesanteur et Tinertie de l'eau, en admettant que, pour chaque nouvelle onde, le liquide parte du repos et du niveau en eau calme, est proportionnel à (p*; ce travail, emprunté au navire, produit sur l'ampUtude une diminution (a<p)i proportionnelle à y. M. Froude a attribué à ce wave making power du roulis les réductions d'amplitude observées. Les objections sont que la houle consiste en un mouvement orbitaire très-différent d'un mouvement de va-et-vient, qu'elle est généralement produite par l'application à l'eau d'un certain travail mécanique et qu'elle dépend de ce travail. Le vent soulève la houle sans apporter nulle part d'afflux d'eau alternatif. Une seule pierre jetée dans l'eau soulève plusieurs ondes d'un volume bien plus gros que le sien, et ces ondes varient • ... ^ .
) Numéro d'ayril 1875, page 830.
selon la hauteur de chute de la pierre; de même, la houle soulevée par le roulis dépend du travail de la résistaiice dans l'eau. Au contact môme du navire, il n'y a pas de houle, mais seulement dés ondes solitaires. Ces ondes ont un volume inconnu, parce que l'eau a un mouve* ment propre et s*échappe d*ailleurs par tout le contour du plan longitudinal de la carène; elles ne se transforment en houle, après avoir parcouru un trajet de longueur inconnue, qu*en subissant des transformations non moins inconnues. De plus, tout travail moteur employé à agiter Teau produit des tourbillons, des remous, une agitation confuse dans laquelle le frottement se développe sous mille formes.
Une preuve assez palpable que le wave making poioer n*est pas Tagent principal de la décroissance d'amplitude du roulis se rencontre dans les expériences de rj&/orn,'qui ont été faites très-près d'un quai, et dans lesquelles, cependant, les décroissances sont les mêmes sur les deux bords, et suivent les lois observées au large, excepté pour les très-petites oscillations et dans quelques cas seulement. J'ai fait aussi des expériences sur la Navette, en m'approchant jusqu'à un mètre de distance du quai, sans trou ver de modification dans les lois habituelles ; le coefficient N, qui était égal à 0,0109 au large, dans l'état de chargement de la Navette de ce jour-là, est passé à 0,0105, variant ainsi d'une quantité qui sort à peine des limites d'erreurs de l'expérience.
Pour terminer la discussion des résultats obtenus dans les expériences en eau calme, signalons deux causes d'imperfection qui empêchent ces résultats de s'appliquer exactement à l'étude des roulis à la mer.
En premier lieu, les expériences se font généralement sur le navire immobile. La résistance, dans ces conditions, n'est pas la même que sur le navire en marche pénétrant à chaque instant dans de l'eau non encore troublée, dont il doit vaincre l'inertie tout entière. J'avais prévu dans mon mémoire de 1872, que la résistance devait être plus forte dans le second cas que dans le premier *; j'ai vérifié ce point dans une expérience directe faite sur la Navette^ dans laquelle la valeur du coefficient N a été trouvée de 0,0109 ati repos, de 0,0123 à 4 nœuds de vitesse et de 0,0150 à 8 nœuds de vitesse'.
En second lieu, les expériences portent sur des mouvements oscilla-
* Lsr note de Mt Froude sur la résistanoe fttf roalis^ reproâniie daas le numéro dé mars 1876 de la Êevue maritime, m'attribne, snr ce point, une opinion inverse % celle que j'avais wipnmée.
^ Communication faite en mars 1875 à la Société des sciences naturelles de Cherbourg.
toires de trop faible étendue. C'est surtout pour les amplitudes extrêmes atteintes dans les plus grands roulis, qu'il importerait de bien connaître les lois de la résistance. L'observation des lois de la décroissance jusqu'aux angles d'inclinaison de 25** ou 30° sur chaque bord, entreprise sur une série un peu complète de gros bâtiments, exigerait des dépenses d'installation première assez importantes, surtout si l'on voulait opérer loin des quais ; de semblables expériences mériteraient cependant d'être exécutées, et, jusqu'à ce qu'elles soient faites, la théorie du roulis ne reposera que sur des inductions.
35. La loi de la proportionnalité de la résistance au carré de la vitesse
étant acceptée, d'après les expériences exposées au n*" 33, on peut, en
. généralisant l'adoption de cette loi, approfondir par le calcul l'étude
du rôle de la résistance dans le roulis et tirer, des expériences déjà
faites, des conclusions assez étendues.
Si un plan oscillait dans l'eau autour d'un axe, la résistance exercée par le liquide sur une surface élémentaire dr dl située à la distance r de l'axe d'oscillation, serait
^Jr'drdi;
le moment de cette ïésistance serait
R.(|)%-Mrdi.
Le moment total de" la résistance, pour le plan tout entier, serait
. (88) M=lR.(g)yr-di.
les rayons r représentant, dans cette dernière formule, la distance du bord extérieur du plan à l'axe d'oscillation.
Sur le navire, il est permis de représenter le moment de résistance M par une expression analogue, en appelant r les rayons de cercles décrits, de l'axe d'oscillation comme centre, tangentiellement à tous les couples. Les points de contact des cercles et des couples forment sur la carène une courbe continue, que l'on peut considérejr comme la génératrice • d'une surface de révolution renfermant toute l'eau que la carène rencontre et refoule dans son mouvement. Il est évident, d'ailleurs, que le coefficient R, ne pourrait être considéré comme une constante, à moins que l'on ne suppose toutes les carènes des navires semblables entre
elles ; de plus, ce coefficient esl nécessairement bien plus petit pour une carène, qu'il ne serait pour une surface plane.
Les rayons r sont inconnus. Lors même que Ton pourrait déterminer la position de Taxe d'oscillation et tracer la génératrice de la surfaceenveloppe de l'eau rencontrée, la mesure de ces rayons exigerait un travail compliqué à joindre à tous ceux que l'on a déjà à faire sur le plan des formes. Il faut, pour arriver à des résultats pratiques, exprimer le moment de résistance en fonction des données que Ton possède généralement sur les navires. Nous considérerons que les rayons r dépendent à la fois de la largeur et de la profondeur de la carène, et nous prendrons pour M la valeur suivante ' : ^
(89) }i:=^{klp' + k,lm'
l étant la longueur du navire, m la largeur totale au fort, p le tirant d'eau moyen. Nous supposerons que les deux coefficients ft et A-, varient indépendamment l'un de l'autre, de telle sorte que leur rapport change lorsque les navires ne sont pas semblables.
L'équation (89) attribue au moment M,, qui figure dans l'équation (81), la valeur <^
(90) ^ U, = klp*-hklm\
Le coefficient M, est donné par les expériences en eau calme, car on a
%,=l^^imr4 ^ J/i,ûffjri h^x}. hCr- J-^ (^/^,
(60) . 2mr«= ^^yp(p— a),
d'où Ton tire x^ /U.é^^ZX>
3 /T„\* ^ ^lh^i 'î^^ (91) M«=TW NP(/>-a), / ^,i;//V^^^ .y^^UU^^ ^yt-C^ /tC^ /^
* Dans eette fonnnle, It^m^ se trouve snbstitné à une fonction de la largeur y en tous les points de la flottaison ; cela suppose que la somme A^v-^'^^A-C-t-^-*'*^ ^^ fiCé^^^tt-^c^ ^
est une quantité proportionnelle & Im* pour tous les navires. '7-»-'«-^^t*«-t*^r^ Cn^ t'<-^'^.'\„^-^
Remarquons aussi que la formule (89) exprime la résistance du navire par la somme des ^ résistances de deux plans perpendiculaires l'un à l'antre, qui seraient, l'un le plan de flot- ^ taisoui l'antre le plan de dérive ; seulement le coefficient de résistance général R( est supposé avoir, pour ces deux plans, des valeurs différentes.
en supposant que la demi-période T^ conserve dans l'eau la valeur qu'elle aiy ait dans le vide.
On a, en faisant entrer cette valeur de Mi dans celle de l'amplitude du roulis maximum ^^ l'expression
I /4 imr*
L*exaclitude de cette dernière équation est tout à fait indépendante, de celle de l'équation (60) ; en effet, si les valeurs de smr* sont entachées de quelque erreur, celles de M, se trouvent faussées dans le même rapport et les valeurs de * restent exactes.
Les valeurs de Mi étant connues, il reste à calculer ketk^. On devrait y parvenir en groupant deux à deux les navires expérimentés, et en déterminant, à l'aide des deux équations de la forme (90) qui s'appliquent à chaque groupe, les valeurs de A? et A?, ; ces valeurs devraient être les mômes pour tous les groupes. Si, sur les deux navires d'un groupe, le rapport de m à p ne diffère pas ou diffère très-peu, les équations (90) laissent k et A;, indéterminés et donnent seulement la
m* • quantité ^ -}- -7 A? ,* il faut donc grouper ensemble des navires de formes
très-différentes. D'un autre côté, la constance des deux coefficients k et kl suppose que la forme de toutes les carènes dérive d'une forme type, par un élargissement ou un rétrécissement général qui ne serait pas le même dans le sens de la hauteur et dans celui de la largeur ; c'est une condition bien rarement réalisée sur les navires qui présentent des rapports de m à p très-différents. Nous nous bornerons à accepter en principe les formules (89), (90), pour introduire l'expression du moment de résistance dans des équations théoriques ; nous nous servirons, pour le calcul numérique du moment de résistance en fonction des dimensions du navire, d'une autre valeur de M,, théoriquement moins exacte, tnais plus simple et d'une évaluation plus sûrcv
Si nous examinons les valeurs de M, pour les six navires expérimentés à Cherbourg, en laissant de côté le Crocodile à cause de ses quilles latérales, nous reconnaissons que les six valeurs du rapport deMj au produit Im* se rapprochent beaucoup les unes des autres. Nous trouvons-en effet : '
GJialand amphidrome. . .
Ohalaud charbonnier. .
Netûette . . «
Im*
jOrOetr
0,001T 0,0021 0,002ll 3 0,0022
o,oou
Oalv<xdo»
Birondélle
Suffren
Moyenne
IMH«05^ O.oQiq.
Le rapport de M, à /p^ ne présente aucune propriété de ce genre ; ainsi, sur le Suffren, il est quatre fois moindre que sur le Calvados et sur YHirondelle.
De ce qui précède, il résulte que klm* est le terme principal dans l'expression complète du moment de résistance (90), c'est-à-dire que, des deux plans perpendiculaires- Tun à Tautre, dont on pouvait assimiler la résistance à celle du navire, le plan horizontal aie rôle le plus important. Il est possible d'évaluer la résistance des navires non pourvus de quilles latérales, à l'aide de la formule
(93) M, = 0,0021» to% r
avec une erreur relative d'un quart environ.
Voyons maintenant à quelle valeur du coefficient de résistance R, cette valeur générale de M, correspond, pour un plan identique à la flottaison qui oscillerait dans Teau en rencontrant la môme résistance que le navire. Il faut supposer que la moitié d'une face est soumise ^ la pression, et l'autre moitié de la même face à la contre-pression due au mouvement; la face opposée du plan n'est soumise à aucune résistance, ainsi que cela a llçu pour le fond d'un navire. La résistance, sur un semblable plan, a pour moment
M. = R,Xj2yM/,
1/ étant la demi-largeur du plan en différents points de sa longueur. En faisant le calcul, on trouve que la quantité | sy* Ai est, pour les navires, égale à la centième partie environ de /m*. On a donc
«^5^026 /m^ = 0,01 R, /m*, d'où l'on tire
Le coefficient de résistance, pour la surface du maître couple, daus la marche en avant, est de 4,4, d'après l'expérience de ralentissement dont les résultats ont été donnés au n* 34. Le coefficient R, est donc 20 fois moindre dans le roulis que dans la marche.
Les résultats des expériences exécutées en disposant des quilles latérales sur le chaland amphidrome fournissent quelques autres indications sur la manière dont Teau résiste au roulis. ' Le moment de la résistance aMi. de ces quilles est donné en fonction de leur surface s et de leur-distance d à Taxe d'oscillation par l'équation
aM, = R,5d^
Le coefficient de résistance R, semblerait devoir peu différer de celui qui s'applique au mouvement de progression d'un plan dans l'eau et qui est dix fois plus fort environ que pour le R» du maître couple d'un navire. Si nous prenons les accroissements de résistance aM, mesurés sur le chaland après addition des quilles latérales, et si nous calculons, d'après leurs valeurs, celles de R,, nous trouvons un coefficient de résistance extraordinairemeut faible. Pour les premières .quilles ajoutées, les plus voisines de l'axe d'oscillation, le coefficient R» est de 0,49 ; pour les deux autres, il est de 0,30 seulement. A la vérité, on peut admettre que, dans cette expérience, les premières quilles étaient trop voisines de la quille centrale et trop voisines de l'axe pour avoir leur pleine action, et qu'après l'adjonction des autres quilles latérales, elles se trouvaient abritées de l'autre côté et ne produisaient plus guère d'effet. Sur YÈlorn, les conditions étaient analogues; les deux quilles immergées qui étaient placées à peu près comme les deux premières quilles du chaland ont porté le moment M, de 25 à 47, produisant ainsi une augmentation aM, égale à 22, pour une valeur de Sd* qui atteint 85 ; cela donne R, = 0,26. seulement. Sur le Crocodile^ la valeur de M, a été • trouvée par expérience égale à 652, tandis qu'elle aurait été de 244 seulement d'après la formule (93); on a donc aM, égal à 408, pour Sd* égal à 540, ce qui donné pour R, a valeur 0,76, supérieure à ce que Ton pouvait espérer d'après les expériences du chaland et de VÉlorn. Comme le Crocodile^ quoique bien plus gros que VÉlorn, est lui-même un petit navire, il est probable que la valeur trouvée sur lui pour M, serait dépassée pour de grands bâtiments munis de quilles établies dans
les mômes proportions; on pourrait, sans craindre de mécomptes, adopter, dans l'application, la formule
AM, = 0,8 sd\
Les constantes des deux équations (93) et. (95) seront sans doute modifiées, lorsqu'on possédera des données plus complètes relevées sur des navires de divers types à l'état de complet armement.
36. Les lois de la résistance passive permettent de se rendre compte de la position à bord du navire, dei l'axe de rotation variable autour duquel s'exécute le mouvement.
Soit R la projection horizontale de la résistance, soit z la distance inconnue et variable de l'axe de rotation A au centre de gravité G du navire oscillant en eau calme. A l'instant considéré, l'axe de rotation étant le point immobile, le centre de gravité est soumis à deux accélérations, l'une tangentielle, l'autre centrifuge, dont les valeurs sont
^«•Kiy-
dt'
Pour des oscillations assez petites la projection horizontale de la
. *. force d'inertie tangentielle
peut être regardée comme égale à cette force ellemême; la projection horizontale de la force d'inertie centrifuge est négligeable. La force exté* rieure à laquelle la force d'inertie, supposée appliquée en G, est égale et contraire, est^la résistance R de la carène dans l'eau;
P nous avons donc, — étant
la masse du navire, (96)
11 faut, pour évaluer R, revenir à la considération des deux plans rectangulaires auxquels la carène peut être assimilée au point de vue
de la résistance. Si le plan borizontal est considéré comme une planche à plat dont le centre de gravité est au milieu de la largeur, la résistance de cette planche forme un couple, pour lequel on a exactement R = et par suite z = 0. Il reste à voir reflfet du plan vertical. Supposons une planche placée debout, supposons son centre de gravité à la hauteur de la flottaison, position que ce centre occupe généralement sur les navires ; soit p la hauteur totale de la planche, égale au tirant d'eau du navire, et l sa longueur. La résistance sur le plan se compose de deux forces inégales ; l'une ft est appliquée au dessous de l'axe A, l'autre ft est au-dessus de cet axe; ft et f^ sont perpendiculaires au plan longitudinal du navire. Nous avons, en prenant les forces ft et/, au lieu douleurs projections horizontales,
La loi admise pour la résistance donne
Nous avons donc," en remplaçant R par sa valeur,
Donnons à la vitesse et à l'accélération angulaire les valeurs tirées de l'équation (59),
-^ = — yo e sm e^
l'équation du mouvement de translation du centre de gravité devient (99) zXcos et + ^\iP'- zy — 2'i sin» e« = 0.
Pour ef = et ® = ^o, l'équation (99) donne z = ; pour e« = ^^ »
et ^ = elle donne z = -^P- Sur la planche debout considérée, la
position de l'axe varie entre la flottaison comme point le plus haut, et la moitié du tirant d'eau comme point le plus bas. Si l'on considère le
- lu -
navire comme participant aux propriétés de la planche à plat et de la planche debout et se ^rapprochant davantage des conditions du mouvement de la première, la distance z varie, pour lui, entre zéro et un
maximum moindre que -j-
Nous n'avons pas tenu compte dans ce calcul de ce que, vers la mattrease partie du navire, les plans considérés forment une caisse el non UA T. Les calculs sont justes pour les faces verticales, mais non pour le fond de la caisse. Dans la réalité, la résistance exercée sur le plan horizontal a une résultante de translation analogue à 4^elle qui se produirait sur une portion imaginaire de plan de dérive desceûdant plus bas que le dessous de la fausse quille. Ainsi, pour déterminer la position de l'axe de rotation en assimilant la carène à deux plans formant le T, il faut considérer la branche verticale du T comme prolongée au delà du tirant d'eau, et prolongée d'autant plus que les fonds sont plus plats ; il ne serait donc pas impossible que les excursions de l'axe
d'oscillation atteignissent l'amplitude -y, ou môme une amplitude plus plus grande.
Si le centre de gravité est situé au-dessous de la flottaison, l'axe de rotation doit se trouver plus haut que dans le cas précédent ; c'était le cas sur VÈlom dans les expériences faites pour déterminer le point tranquille, point qui doit se rapprocher de la position moyenne de Taxe de rotation. Si, au contraire, le centre de gravité est au-dessous de la flottaison, son accélération horizontale doit être plus forte que les calculs précédents ne le supposent ; par suite, l'axe A doit descendre plus bas.
Nous ne calculerons pas le mouvement vertical du centre de gravité dû à la composante verticale de la résistance exercée sur les fonds. Ce mouvement, moins important que le mouvement horizontal, s'ajoute à celui qui est produit par la poussée hydrostatique et qui dépend de la forme de la développée métacentrique, suivant ce qui a été dit au n" 20.
37. L'effet produit par la résistance passive sur la demi-période T^ des roulis en eau calme ne consiste pas seulement dans l'action retardatrice à laquelle serait soumis, dans un milieu pesant, tout pendule suspendu à un axe fixe, action qui se manifeste surtout dans Taccroissement de T^ dû à l'addition des quilles latérales. Il y a, de plus, une
véritable augmentation du moment d'inertie, résultant de ce que Taxe de rotation se déplate en raison de la résistance passive et ne passe pas par le centre de gravité des bâtiments.
La valeur de Smr* déduite de la durée T., valeur qui est une moyenne entre les moments pris autour des axes successifs, peut différer d'une manière sensible du moment Tjmr^ par rapport au centre de gravité. Considérons, par exemple, un navire de 6,000 tonnes de déplacement et de 8 mètres de tirant d'eau; son moment d'inertie, calculé d'après la formule (60), sera d'environ 25,000 unités : sur un tel navire , le moment d'inertie imr^ autour du
centre de gravité et celui autour d'un axe placé à la hauteur ~- plus
bas, diffèrent entre eux de
soit du dixième du moment d'inertie autour du centre de gravité. Un effet de cette iûiportance peut se rencontrer souvent, car, sur les navires actuels et surtout les navires cuirassés, le centre de gravité est généralement placé très-haut, et par suite les excursions de l'axe d'oscillation sont très-étendues.
Nous pouvons obtenir une évaluation approximative de l'écart total qui parfois se rencontre entre le moment d'inertie réel autour du centre de gravité et la valeur de zmr* donnée par l'équation (60). Sur XÈlorn, le moment d'inertie exact, mesuré en faisant osciller le navire à sec, s'est trouvé inférieur du sixième à celui que donnait la valeur de T^. Cette différence comprend l'effet du déplacement de l'axe de rotation, mais elle est surtout due à l'action directe de la résistance ; les déplacements de l'axe étaient, en effet, très-faibles, parce que le centre de gravité était à 0", 19 au-dessous delà flottaison. Sur le Crocorfi/c, la valeur zmr^ déduite de T^ se trouve supérieure d'un dixième à ce que, par comparaison avec d'autres navires, on devait attendre des dimensions du navire et de la position des poids ; cette différence résulte surtout des grands déplacements de l'axe de rotation, le Crocodile ayant des quilles latérales très-résistantes et le centre de gravité élevé à 0"',19 au-dessus de la flottaison. Si les deux causes qui dominaient séparément. Tune sur VÈlorn^ l'autre sur le Crocodile, venaient à se superposer sur un même bâtiment, une différence d'un dixième environ s'ajouterait à
une différence de près du sixième et produirait une différence de plus du quart entre le moment d'inertie autour du centre de gravité Zmr^ et 1^ moment Smr^* déduit de Texpre^sion (60). On voit combien peu sont fondés les calculs qui servent, en supposant ces deux moments identiques, à calculer les demi-périodes !„ pour divers états de changement, d'après les demi-périodes observées dans l'expérience de stabilité.
Dans le roulis relatif sur la houle, l'axe de rotation occuperait à peu près les mômes positions succeçsives que dans le roulis en eau calme, si le mouvement relatif des couches horizontales et des couches verticales n'existait pas, c'est-à-dire si Ton pouvait négliger la résistance active. D'après cette hypothèse, en effet, les deux forces f^ et /i considérées plus haut dépendraient de 9 et de j?, de la même manière qu'en eau calme ; sous l'action de ces forces, le centre de gravité aurait les mômes mouvements de translation horizontale, indépendamment de son mouvement de translation circulaire.
On peut remarquer que, si dans l'équation différentielle du roulis, oo suppose les moments pris autour du centre de gravité G et non autour de A, il faut augmenter le bras de levier de la force d — /*, d'une quantité égale à z, et par suite augmenter le moment de cette force d'une quantité égale* à -
g rft*'
ce terme, ajouté au terme imr^ ^ de Féqualion (69), donne une
somme égale à imr^^ ^. L'amplitude du roulis relatif dépend ainsi
du moment d'inertie ^mr^ autour de l'axe de rotation moyen du roulis en eau calme.
Pour le roulis de vagues, au contraire, le moment d'inertie, qui
entre comme coefficient de ^ dans l'équation (69), est 2mrg*, lorsqu'on ne tient pas compte du déplacement de l'axe résultant de la résistance active \ mais il faudrait ericore augmenter un peu la valeur de ce moment d'inertie, pour tenir compte çle l'effet de la résistance active sur la position de Taxe de rotation.
38. La connaissance de la résistance passive permet d'aborder l'étude de la résistance active.
Soient, d'après la notation déjà adoptée, ô et 6' les angles des couches
Bbbtix. 8
horizontales et des couches verticales avec l'horizon ; ces couches ont, les unes par rapport aux autres, une vitesse angulaire égale à
d(e— ep dt
Un flotteur qui suivrait le mouvement de la normale à la houle sans aucun roulis relatif, aurait sa carène frappée par les couches verticales avec cette vitesse angulaire, tandis qu'il n'aurait aucun mouvement par rapport aux couches horizontales. La résistance active est donc proportionnelle à chaque instant à
Reprenons l'expression du moment de la résistance passive pour une vitesse angulaire égale à l'unité, (90) M, = hlp' H- kjm* ;
nous pouvons admettre que, dans cette expression, le terme klp* repré- sente la résistance du plan de dérive rencontrant les couches verticales immobiles en eau calme, et que le terme klm* représente la résistance du plan de flottaison rencontrant les couches horizontales. Si donc le mouvement angulaire des couches verticales par rapport au navire s'exécutait autour du môme axe de rotation que le roulis en eau calme, le moment de la résistance active serait
La position de Taxe de rotation pour la résistance active peut se calculer, comme celle de l'axe du roulis en eau calme pour une planche placée debout ; la résistance dépend de la même manière, dans les deux cas, de la vitesse angulaire ; elle imprime un mouvement analogue au centre de gravité du navire. Ainsi en appelant z^ la distance entre l'axe de rotation cherché et le centre de gravité supposé à la flottaison, nous trouvons, à l'aide d'une équation identique à (99), quQ z^ varie du mi-
mmum zéro au maximum •--. Il n'y a plus à assimiler une partie de
la résistance à celle exercée sur la planche à plat. Bn sijpposant ainsi
js, = -Y» le terme ,
auquel le moment de la résistance active est proportionnel, se trouve
égal au huitième dep\ tandis qu'il est environ le tiers de p* pour la résistance passive ; le moment de la résistance active est donc finalement
le coefficient k gardant la môme valeur que dans l'expression (90). Le moment total de la résistance tant passive qu'active devient alors
le signe + devant être pris quand le navire tourne en sens inverse des couches verticales, c'est-à-dire dans le môme sens que la normale à la houle, et le signe — dans le cas contraire. Telle est l'expression qu'il faudrait faire entrer dans l'équation (69), pour obtenir l'équation différentielle complète du roulis.
Le moment Mi est seul connu jusqu'à présent. En attendant que les expériences aient été faites sur des navires de formes assez différentes pour permettre de déterminer k, nous poserons, en appelant j3 iin coefficient encore indéterminé,
si Ap* était égal à A;,m^ nous aurions /3 = -Tg-
La valeur des angles ô^ et ô' est donnée par les équations (19) et (19'), d'où l'on tire facilement
(103) tai,g(9^e') = 5^5^;
le minimum de l'angle ô — e' est atteint au point de demi-hauteur *, on a en ce point
tang 01 tang e'j = 1, ce qui donne
cette égalité peut être mise sous les deux formes 0, — 0' 1 = 201 — -^"1
0.— (Y~0^) = 2 0/•, elle exprime ainsi que la normale à la superficie de l'eau fait, avec les
couches verticales, un angle variant de + 2 e, à — 2 e, et devenant nul, dans rintervalle, au passage des creux et des sommets.
39. La connaissance du moment de résistance active permet d'évaluer les effets de cette force quand on suppose les vagues synchrones avec le roulis. Dans ce cas, en effet, la résistance passive est la môme fonction du temps que la résistance active : les deux forces ne diffèrent entre elles que par le coefficient j3 et par Tamplitude des angleç y et (0j — 0',). De môme que la résistance passive, pour un roulis relatif fm' produit, en un coup de roulis, une diminution d'amplitude égale à
de môme la résistance active produira, pendant le passage d'une vague, un changement, en plus ou en moins, sur l'angle yn égal approximativement à
en substituante à 01.
La variation totale d'amplitude produite par les deu3^ résistances réunies est ainsi
D'après la valeur approximative de jS et la valeur habituelle de 0, on voit^que, dans les grandes oscillations, le terme qui dépend de la résistance active n'est guère que le dixième de celui qui dépend de la résistance passive. Ainsi la résistance aetiv-e, qui pourrait être prépondérante dans les très-petits roulis, n'a qu'une influence insignifiante sur la valeur du roulis maximum.
Pour approfondir le rôle de la résistance active et de la résistance passive, reprenons les quatre cas principaux qui peuvent se présenter dans la concordance du roulis et de la vague, et qui sont représentés planche V.
Si nous nous bornions à considérer le travail produit par le couple de stabilité et les forces d'inertie, la figure 1 représenterait, d'après ce que nous avons vu, le cas où le roulis croîtrait indéfiniment, par quantités égales à 0, jusqu'à ce que le chavirement s'ensuivît ; la figure 2 représenterait des roulis qui iraient en décroissant de quantités égales à par chaque oscillation complète. Les figures 3 et 4 représenteraient des cas où l'amplitude du roulis resterait constante; en effet, le mou-
vement de rotation du navire et celui de la normale à la houle étant constamment, soit de môme sens, soit de sens contraire, le travail du couple des forces d'inertie, comme celui du couple de stabilité, se trouverait nul pour chaque oscillation, en supposant Fabattée égale au rappel.
Si nous tenons compte de la résistance passive, le premier cas est comme nous l'avons dit, celui du roulis maximum ; le second cas présente une décroissance très-rapide des amplitudes qui diminuent d'une quantité égale à + Ny'm à chaque oscillation ; dans les deux derniers cas, il y a encore décroissance des amplitudes, mais la décroissance, est de Ny^m seulement. D'après ces considérations, le navire, ramené par la résistance à l'état de repos relatif, s'y trouve dans un équilibre instable ; il ne peut pas prendre le mouvement des figures 2, 3, 4, qui tendrait immédiatement à s'éteindre, mais rien ne s'oppose à la reproduction de la série croissante de la figure 1 et du retour au roulis maximum. L'état du flotteur peut être ainsi figuré par celui d'une pyramide quadrangulaire debout sur sa pointe et accorée sur trois faces, de manière à tomber infailliblement sur la quatrième face.
Si maintenant nous considérons la résistance' active, nous trouvons que, dans les deux premiers cas, le travail de cette force est de signe différent, d'après l'équation (104), pour les rappels etpour les abattées; les effets produits sur la valeur de à<f se neutralisent donc; la valeur de l'amplitude maximum et celle des plus grands accroissements ou décroissements d'une amplitude à l'autre restent les mômes. Pour le cas de la figure 3, le signe + doit être constamment pris dans l'équation (104) ; la raison de la décroissance des roulis est par suite augmentée et devient égale à
Dans le cas de la figure 4, il y a encore décroissance si l'angle Çm est considérable, mais le signe — devant être pris dans l'équation (104), la raison de la décroissance est seulement
la décroissance s'arrête à un certain moment, et le roulis garde la valeur . permanente
au lieu de devenir nul. C'est le mouvement qui pourra servir de point de départ à une nouvelle série croissante.
Il est à remarquer que le mouvement exprimé par Téquation (105) est celui que la résistance active tendrait à imprimer au navire, si celui-ci se trouvait, à l'instant initial, être absolument sans aucun angle d'inclinaison ni aucune vitesse de roulis relatif; les accroissements successifs qui conduiraient à ce roulis (1T)5), en partant du repos, seraient
Il peut ainsi se produire à la mer, entre les séries de grandes oscillations, des séries de faible amplitude ; il y a même une tendance particulière à ces dernières, comme si notre pyramide de tout à l'heure penchait légèrement sur l'une des faces accorées.
La tendance aux petits roulis est d'autant plus grande que le navire, en raison de ses formes, se trouve sollicité davantage par la résistance active. On peut donc penser que,, parmi des navires de tirant d'eau différent ayant môme roulis maximum, ceux à grand tirant d'eau doivent, sur leur houle synchrone, donner moins fréquemment les grands coups de roulis.
