L = VT

cette équation s'appliquerait en réalité aux ondes courantes d'un liquide parfait, qui auraient atteint la vitesse limite à laquelle elles ne subiraient plus aucune pression extérieure, aucun travail moteur. H pose aussi en principe que les vagues doivent avoir une durée plus brève dans les mers moins profondes, de même qu'une corde plus courte a des vibrations plus rapides. Il assimile enfin le mouvement absolu des particules liquides à celui des molécules d'une colonne d'eau oscillant dans un siphon renversé de section constante. Nous retrouvons donc ici les idées de Newton, d'après lesquelles les particules liquides auraient été soumises à de simples déplacements, sans déformation sensible des volumes élémentaires. Les calculs inspirés à BernouUi par cette hypothèse, de même que la discussion analytique sur les courbes sinusoïdales, n'offrent plus guère qu'un intérêt de. curiosité historique ; nous les rappellerons très-brièvement.

Soit 21 la longueur totale d'un siphon à branches verticales, la durée des demi-oscillations dans ce siphon est .

—kl-

Soit maintenant L la demi-longueur des vagues, comptée horizontalement de crête en creux; la longueur totale des siphons, tels que les comprenait Newton, peut être représentée par l'expression

2L + 4Lm,

en représentant par 2mL la longueur de chaque branche verticale ; m est un coefficient qui reste constant, si la profondeur à laquelle 86

propage l'agitation de l'eau est proportionnelle à la longueur 2L. On aurait ainsi, pour la demi-durée des vagues,

g (1 -f 2m) BemouUi, qui a admis d'autre part l'égalité

V étant la vitesse du vent, trouve, en éliminant T,

Cette expression, si nous transformons les calculs numériques de Bernoulli en prenant le mètre pour unité, s'écrit approximativement :

sous cette forme, elle est essayée dans le mémoire, en faisant m = 6 et V = 10, ce qui donne L = 325".

Daniel BernouUi complète cet essai de théorie conforme aux idées newtoniennes par quelques observations personnelles. Il remarque, d'une part, que l'entre-croisement obligé des siphons allant d'une vague à la suivante, blesse absolument l'imagination, et, d'autre part, que la partie supérieure des siphons ne saurait être verticale, excepté dans les sommets et les creux des vagues, parce que, sur les versants, l'eau a nécessairement un mouvement horizontal. Il répond à ces objections, en supposant que chaque vague se compose d'un faisceau de tubes qui lui est spécial, ce qui est un pas vers la vérité. Il remarque que ces tuyaux emboîtés les uns dans les autres doivent avoir nécessairement des longueurs l différentes les unes des autres, plus grandes pour les siphons verticaux qui aboutissent aux sommets et aux creux, moindres pour les siphons des nœuds qui forment une courbe fermée. Il suppose enfin que, sur le penchant des vagues, les extrémités des siphons font avec la verticale des angles B, tels que la durée d'oscillation, qui est pour eux •

2g sin |3 soit la même pour tous les siphons.

On peut remarquer que raccroissement de l'angle avec la verticale des trajectoires des molécules, lorsque l'on va du sommet au nœud, se rencontre réellement dans le clapotis.

5. Après avoir imaginé ainsi un mouvement de l'eau qui lui paraît satisfaire aux conditions physiques imposées, Daniel Bernoulli s'empresse de chercher à en déduire la valeur des pressions intérieures résultant de ce mouvement, afin de les appliquer au navire exposé aux vagues. .

Relativement à l'intensité de la poussée, Bernoulli tire des déductions excellentes ; il établit que, dans la moitié supérieure des vagues, l'eau, soit qu'elle s'élève, soit qu'elle descende, a son accélération verticale dirigée de bas en haut, et que, par suite, dans cette partie, la poussée est toujours moindre que le poids de l'eau ; dans la partie inférieure, au contraire, l'accélération est toujours de bas eU/haut, la poussée est donc plus forte que la pesanteur.

En considérant les pressions de l'eau appliquées sur uoe carène, Bernoulli fait remarquer que le navire, en supposant constant le volume de carène immergé, subit une pression plus forte vers le fond des vagues que vers le sommet ; il fait en môme temps l'observatâon judicieuse que « il n'en faut pas conclure^que le navire plonge plus « ou moins qu'à l'ordinaire lorsqu'il se trouve au-dessus ou au-dessous a du niveau moyen de la mer, parce que le navire aura lui-même à « peu près le môme mouvement que l'eau qu'il déplace ». En effet, le navire étant soumis à une accélération verticale dirigée de bas en haut sur les sommets et dirigée de haut en bas dans les creux, il doit subir une poussée totale inférieure à son poids dans le premier cas, supérieure dans le second, dans la môme proportion que la poussée de l'eau est supérieure ou inférieure au poids de l'eau.

Cette variation de l'intensité de la poussée dans les diverses parties des vagues et pour les diverses parties des carènes, doit faire varier le point d'application de la poussée résultante exercée sur le navire. D. Bernoulli reconnaît que cet effet pourrait être sensible sur des vagues fort courtes, mais il ne s'arrête qu'au cas des grandes vagues de l'Océan, « sur lesquelles le navire ne représentera qu'uQ assez petit in corps », et il admet avec juste raison que, dans ce cas, la poussée, malgré ses changements d'intensité, peut être considérée comme appliquée constamment au centre géométrique de la carène.

Après une appréciation si exacte des conséquences du mouvement

de Teau sur l'intensité de la poussée et son point d'application, Bernoulli, qui cependant a reconnu l'existence inévitable d'un mouvement horizontal de l'eau, ne se demande pas si la poussée a pu être déviée de la verticale ; il ne soulève pas la question de savoir quelle est la force horizontale qui fait osciller l'eau horizontalement, ni par l'effet de quelles pressions l'eau s'amoncèle suivant des surfaces inclinées. Pas plus que tous ses contemporains, qui n'avaient point approfondi comme lui l'étude des vagues, Bernoulli ne sort de l'hypothèse de la poussée verticale ; le navire, pour lui, se trouve en équilibre quand le centre de gravité et le centre de carène sont sur la même verticale ; c'est un axiome aussi indiscuté que le principe d'Archimède. Toutes les conclusions de Bernoulli, relatives aux positions d'équilibre du na- . vire placé sur le versant des vagues, sont donc erronées et, par malheur, c'est la partie de tout le mémoire qui a le plus attiré l'attention des praticiens et qui a fait le plus de disciples. Sur la foi de Daniel Bernoulli, la distinction entre le rôle de la stabilité de forme et celui de la stabilité de poids a été admise longtemps comme un principe fondamental de l'architecture navale.

Le théorème de Bernoulli, qui consacre la distinction de deux stabilités, est relatif à la position d'équilibre du navire sur une surface liquide inclinée. Soit 6 l'inclinaison de la surface, supposons un navire placé sur cette surface, dans une position normale, de manière à se trouver dans les li^es d'eau habituelles ; la distance comptée horizontalement entre les deux verticales menées par le centre de carène et par le centre de gravité est âô, a étant, suivant la notation habituelle, la distance du centre de carène au centre de gravité, et les angles étant supposés assez petits pour que les arcs soient substitués aux sinus. Dans cette position, le navire, soumis seulement aux deux forces verticales, la pesanteur et la poussée, ne peut se tenir en équiUbre ; il faut qu'il s'incline de manière à ramener son centre de carène au-dessous du centre de gravité. Soit I l'inclinaison totale pour laquelle cette condition d'équilibre est remplie ; l'inclinaison par rapport à la surface liquide est I — B et, en vertu de cette inclinaison, le centre de carène est dévié par rapport à la normale à la houle de l'arc

p étant la distance du centre de carène au métacentre ; Bernoulli admet que cet arc peut être substitué à sa projection horizontale. Les deux

quantités dont ie centre de carène s'est écarté puis rapproché du centre de gravité, devant être égales, on a, dans la position d'équilibre^

aô = (p — a) (I — e), €6 qui donne :

de là, la conclusion finale que I est supérieur à et que, pour le dinû* nuer le plus possible, il faudrait faire a = o, « réunir les deux centres de gravité en un seul et même point ».

La position d'équilibre, d'après le théorème constitué par l'équation (3) , ferait avec la verticale un angle en général beaucoup plus grand que celui de la vague avec l'horizon, et le navire, pour suivre seulement sa position d'équilibre, exécuters^it ainsi des roulis fort étendus. Daniel Bernoulli nomme o balancements d'équilibre » les roulis I, qu'il suppose indépendants des « balancements forcés » et des « balancements naturels », lesquels se superposent aux balancements d'équilibre ; il n'affirme pas nettement que les balancements forcés soient une conséquence des balancements d'équilibre, quoique cela paraisse ressortir de la valeur suiv,ante qu'il assigne au rouUs total après les recherches qui précèdent :

L'énormité des valeurs de l'angle * fournies par la formule (4) aurait pu prouver à Bernoulli l'inexactitude de cette formule, s'il eût été mieux familiarisé avec la pratique de la mer. Il reconnaît du reste que l'on doit être effrayé de l'étendue des seuls balancements d'équilibre, dans les cas où p se trouve beaucoup plus grand que /> — «*; il ne se rassure qu'en attribuant à T des valeurs beaucoup plus fortes que celles de T^. Si le théorème de Bernoulli eût été exact, la navigation n'eût pas été possible avec les navires tels qu'ils existent. En réalité,

la valeur de * ne dépend pas du rapport \ la poussée hydrostatique est normale à la superficie; la relation entre I et ô se réduit simplement à

'D. Bemoalli s'exagère du reste les valeurs de 6, qu'il suppose de 15" et de 20o.

lorsque, comme le faisait BernouUi, on a fait abstraction des impulsions de l'eau, ne considérant que l'effet de la pesanteur ». Bernoulli, à Tappui du théorème qui fait dépendre la valeur de I du

rapport — - — , invoque l'exemple d'une planche qui, mise à plat sur

p — CL

les vagues, suit exactement les mouvements de la surface de l'eau, et Texemple d'une poutre lestée de plomb à la partie inférieure qui semble au contraire rester verticale. Or, si, dans le cas de la planche, le théorème de Bernoulli est vérifié, c'est parce que le rapport de /> à /p — a disparait de lui-même ; on a

a=:o, d'où — ^— = 1.

C'est le. seul cas où le théorème se trouve exact. Quant à la poutre lestée, sa position d'équilibre diffère de celle de la planche, uniquement à cause de ces « impulsions de Veau » dont Bernoulli déclarait faire abstraction ; ces impulsions produisent un effet tendant à rapprocher la poutre de la verticale, à cause du pied qu'elle a dans l'eau, tandis qu'elles n'agissent pas de même sur la planche à plat. Si la poutre était remplacée par une planche mince, lestée, o&ant, avec moins de stabihté, bien plus de prise encore au mouvement de l'eau, cette planche dépasserait môme la verticale en s'inclinant sans cesse à contre-vagues.

6. En résumé, Daniel Bernoulli appartient à l'ordre des théoriciens purs ; de là les défauts saillants et les qualités précieuses de son œuvre.

Le manque de connaissances pratiques sur la question se manifeste surtout en ce que, dans la question du rouUs, l'amplitude des angles est seule considérée sans qu'il soit tenu un compte convenable de la vivacité ou de la dureté des mouvements ; aux yeux des marins, la dureté constitue, au contraire, le vice capital d'un navire et appelle d'abord l'attention. Les moyens proposés dans les Principes hydrostatiques et méchaniques pour diminuer le roulis, auraient sur la durée la plus fâcheuse influence ; ce mémoire n'a donc point répondu à tous les points du programme de l'Académie des sciences, qui demandait « la manière de « diminuer le plus qu'il est possible le roulis et le tangage dun navire, « sans qu'il perde par cette diminution aucune des bonnes qualités que a sa construction doit lui donner ». Toutes différentes étaient les idées sur la stabilité de Bouclé de Yillehuet, par exemple ; l'habile oflicier de la Compagnie des Indes a soin d'indiquer, dans son Traité de r arrimage

du navire, que, dans les cas où l'on a du lest en fer et où l'on craint que le roulis soit trop rude, il faut élever ce lest sur un lit de cailloux, «afin. que le lest ne soit pas trop mat, C'est-à-diré que le centre de « gravité du lest ne soit pas trop au-dessous de celui du vaisseau chargé « et. prêt à prendre la mer, parce qu'il le rappellerait trop vite et don- « nerait trop de vivacité au roulis ».

Pour la durée, des roulis à la mer, Daniel Bernoulli a rejeté à tort ' l'opinion de Bouguer, « son illustre guide », comme il l'appelle, suivant lequel le roulis garde une durée constante. L'hypothèse des vagues immobiles, oscillant sur place, est tout à fait contraire à la réalité. Enfin, l'énormité des roulis d'équilibre! aurait révélé, à un savant plus familier avec la navigation, l'inexactitude du théorème. qui donne la valeur de ces angles.

*A côté de ces défauts, se rencontre une somme de qualités telle que Daniel Bernoulli reste le fondateur de l'étude mathématique des qualités nautiques. La valeur de son travail ressort surtout du parallèle avec les œuvres de ses plus illustres contemporains. S'il s'est trompé, c'est sur des points que, ni le grand Euler, ni Jean Bernoulli, ni Bouguer, n'avaient osé aborder. 11 a le premier étendu, et avec raison, aux mouvements du navire sur les vagues les lois de Huyghens que l'on n'avait jusque-là appliquées qu'aux oscillations en eau calme. Il a poussé plus loin que Newton l'étude des vagues ; il a attribué très-judicieusement .à la mer un. profil ondulé d'une courbure continue, tandis que l'on paraissait jusque-là regarder les vagues comme des protubérances isolées. Son erreur sur la propagation du mouvement n'est pas absolue, puisque le clapotis a tous les caractères généraux qu'il a indiqués.

Il a le premier donné la notion exacte des causes du roulis et attribué l'origine de ce mouvement à une force continue, sous-marine, du genre des poussées hydrostatiques, agissant de manière à produire l'inclinaison, tantôt sur un bord, tantôt sur l'autre. Bouguer et Ghauchot, qui avaient la pratique de la mer, n'avaient vu que l'effet des crêtes de lames qui viennent, du côté du vent, produire une série de chocs distincts. Enfin, comme point capital, Bernoulli a découvert le remède le plus efficace pour éviter les grandes amplitudes de mouvement, en donnant comme règle, au constructeur et au marin, d'éviter le synchronisme des vagues et du roulis.

Après l'influence du mémoire de Bernoulli sur la science, si nous cherchons celle qu'il a exercée sur les tracés des navires, nous trou-

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vous qu'à aucune époque ses préceptes mal fondés en faveur des grandes stabilités n'ont égaré les constructeurs; sa recommandation, peu justifiée, de supprimer ]a rentrée de l'accastillage, est également restée lettre morte pour ses contemporains et leurs successeurs immédiats. On s'est trop peu occupé, d'un autre côté, de suivre ses excellents avis sur la nécessité d'éviter pour T^ les valeurs se rapprochant de la valeur habituelle de T ; mais il ne pouvait en être autrement, car les données numériques manquaient sur T et Ta ; aujourd'hui encore, on ne sait que bien peu de chose sur la valeur de T.

Au siècle dernier, la pratique avait du reste moins besoin qu'aujourd'hui de s'inspirer des règles précises de la science. Les types de navires se modifiaient lentement et Ton n'avait jamais qu'à suivre une voie préalablement frayée par l'expérience. Cet âge d'or des constructeurs est passé ; les chahgements dans les besoins de la marine et dans les ressources des chantiers jettent l'art dans des révolutions incessantes;, la valeur d'un type nouveau peut être suspendue à l'exactitude d'une déduction ou d'un calcul. Une telle situation impose des recherches* plus ardues et surtout plus précises, pour lesquelles il faut à la fois la hardiesse des spéculations pures et la garantie des expériences. Cette nécessité est partout sentie, comme le témoignent d'importants travaux publiés dans ces dernières années, il est trop tôt pour essayer de tracer l'histoire des recherches récentes, comme on peut tracer celle dès travaux du siècle dont Daniel Bernoulh est le plus illustre représentant. On peut réunir du moins un certain nombre de données nouvelles pour Tétude des qualités nautiques, dont l'ensemble constitue un grand progrès par rapport aux connaissances du siècle dernier ; c'est à cet objet que seront consacrés les chapitres^ suivants.