CHAPITRE II

Équations de la houle, du clapotis, des vagues de hauteur et de vitesse variables.

7. Nous avons vu comment on a déterminé les propriétés du navire et saisi lès lois de ses oscillations, bien avant de se rendre compte de la nature du mouvement oscillatoire qui constitue les vagues et de connaître, par suite, les forces intérieures qui s'exercent dans la houle, soit sur l'eau, soit sur une carène qui en prend la place.

La variété des mouvements que l'eau est susceptible de preadre, Fabsence de points de repère pour les observations faites au large, la complication des phénomènes que Ton peut ojbserver dans le voisinage des côtes , expliquent et justifient les retards que l'étude des vagues a subis. Les observateurs, qui rencontraient, les uns la houle, les autres le clapotis, ne pouvaient s'accorder entre eux, et leurs, longues controverses, faciles à expliquer aujourd'hui, reculaient le moment où les théoriciens devaient, à leur tour, analyser ces phénomènes.

Suivant la pensée de ceux qui s' occupèrent les premiers de la question, il ne devait exister qu'une seule sorte de mouvement fondamental de l'eau , qu'une seule espèce de vagues. Pour Daniel Bernouilli, comme nous l'avons vu, les vagues sont immobiles ; elles s'élèvent et retombent sur place. Bouguer, Ghauchot, Romme, attribuent aux vagues un mouvement de translation; mais en même temps ils semblent leur donner une masse , comme s'ils y voyaient un transport matériel du liquide; ils n'imaginent pas que les vagues agissent sur les flotteurs qu'elles rencontrent autrement que par un choc dans le sens de leur mouvement.

Plus tard, la. croyance se répandit généralement, d'une part, que les vagues se transportent parallèlement à elles-mêmes, et, d'autre part, qu'elles résultent d'un simple mouvement oscillatoire des molécules, la •forme affectée par le liquide se déplaçant seule dans ce mouvement apparent. La controverse porta alors sur la nature des oscillations ; elle fut surtout vive entre le colonel Émy, de La Rochelle, et M. Virla, alors ingénieur à Cherbourg ; le premier considérait le mouvement comawB orbitaire ; le second le regardait comme rectiligne ; tous deux s'appuyaient à l'envi sur des faits d'observation.

La question se trouve aujourd'hui résolue par la découverte des lois de deux mouvements oscillatoires, également simples, qui présentent les caractères tout différents des vagues d'Émy et de celles de Virla, et qui sont susceptibles de se combiner entre eux de manière à produire encore d'autres mouvements. Dans l'un, les vagues sont animées d'un mouvement de propagation • dans l'autre, elles restent immobiles ; dans le premier, les trajectoires des molécules sont orbitaires ; dans le second, elles sont rectilignes. C'est la houle et le clapotis. Les équations de la houle et du clapotis, en y joignant celles des vagues de hauteur et de vitesse variables qui s'en déduisent, donnent une intelligence générale bien complète des divers mouvements qui peuvent agiter la surface

de la mer, en laissant de côté les ondes solitaires, qui ne sont, en haute mer, qu'un phénomène tout exceptionnel.

Si Ton veut entrer dans le détail des causes qui influent sur le mouvement de l'eau, on se rend facilement compte dés variétés iofinies qui peuvent se rencontrer dans les ondulations de la mer. Toutes les superpositions des mouvements élémentaires sont possibles. Les conditions théoriques dans lesquelles nous nous placerons pour établir les équations des mouvements les plus simples, c'est-à-dire l'égalité rigoureuse de pression sur toute la superflcie, l'absence complète de viscosité, la profondeur infinie de l'eau, ne sont réalisées qu'avec une certaine approximation, dont le. degré varie et influe sur la nature des phénonjènes. La proximité et la configuration du rivage, la profondeur de la mer, la forme accidentée du fond , l'action du vent qui presse d'une manière différente sur les deux versants des vagues, enfin et surtout les changements de direction et d'intensité de la brise, altèrent ainsi, de mille manières, les conditions du mouvement. Enfin, on ne possède que les équations de mouvement parvenu à un état définitif et permanent, et celui-ci peut différer de l'ondulation qui s'étaJ)iit ou qui décroît et dans laquelle l'inertie et les forces moléculaires intérieures jouent un rôle dont le calcul ne tient pas compte «.

Des trois sortes de mouvement que nous allons étudier, la houle est de beaucoup le plus important; c'est réellement le mouvement fondamental dont les autres dérivent. La houle théorique, avec ses lois déterminées mathématiquement, est reconnaissable dans la succession des vagues soulevées dans un coup de vent ; elle se présente avec ses caractères exacts dans la houle de calme. Les vérifications expérimentales sont, sur ce point, d'autant plus certaines qu'elles sont fournies par les relevés d'observateurs qui ignoraient les lois théoriques.

8. Les équations des mouvements ondulatoires de l'eau ont été obtenues par diverses méthodes, et l'on doit citer en premier lieu les travaux de Gerstijer, en Autriche, puis, en Angleterre, ceux de sir Airy,et de Macquorn Rankine. Il est assez surprenant que Rankine ait fait ses travaux sans connaître ceux de Gerstner et que, en France, nous a\ ans ignoré les recherches de sir Airy, de M. Rankine et de Gerstner lorsque, en 1869, M. Reech , M. Roussinesq et m'oi, nous avons présenté ou publié nos premiers mémoires sur la même question.

* Des courbes relevées récemment à bord da CroeodiUf avec l'oscillographe double, montrent bien les grandes irrégularités du profil des vagues dans la Manche.

Le calcul consiste dans la recherche de certaines intégrales particulières des équations différentielles de l'hydrodynamique qui ne peuvent être intégrées, comme on sait, sous leur forme générale. On obtient ainsi les équations de mouvements ondulatoires qui satisfont aux équations exprimant les lois physiques des liquides. On ne démontre pas que ces mouvements soient ceux que le vent tend à produire dans la mer, mais bien que ce sont ceux que le liquide est, par sa nature, capable de prendre lorsqu'il est tiré de l'état de repos.

On a cherché, à diverses reprises, à fonder la théorie des vagues, non sur les propriétés des liquides, mais sur le mode d'action du vent*. Plus fiamilier avec l'étude des mouvements vibratoires desfluides en général, on comprend mieux aujourd'hui comment l'immobilité n'est qu'un état particulier et pour ainsi dire instable , et comment il existe certains autres états déterminés que le fluide, d'après ses propriétés, tend à prendre sous l'action d'un ébranlement. Les méthodes de calcul employées peuvent se ramener à deux principales , qui méritent d'être exposées l'une et l'autre , parce qu'elles font ressortir des propriétés différentes du mouvement théorique, dont elles donnent toutes deux les équations.

9. Rappelons les lois physiques auxquelles les liquides parfaits sont soumis dans leurs mouvements.

Ces lois sont au nombre de quatre :

1** Le volume de chaque particule liquide reste invariable; /

2** La force totale exercée sur chaque particule est la résultante de la pesanteur et des pressions hydrostatiques exercées par l'eau environnante, sans aucun frottement; >^

3** La pression par unité de surface , à la superficie du liquide, est constante et égale à la pression atmosphérique ;

4** La trajectoire des molécules inférieures est parallèle à la surfece du fond du liquide. Cette quatrième condition disparaît si on suppose la profondeur infinie.

Nous mettrons ces lois en équation de deux manières différentes pour l'étude de la houle et pour celle du clapotis.

10. Pour l'étude de la houle, les équations se simplifient beaucoup, si l'on rapporte le mouvement de l'eau à des axes de coordonnées mobiles animés d'une vitesse uniforme égale à la vitesse de propagation

< Par exemple Romme» dans son 4rt de la marinef page 35.

des vagues. Par rapport à ces axes, le mouvement relatif du liquide à tous les caractères d'un mouvement d'écoulement permanept à travef» des tuyaux fixes de forme invariable ; en un môme point géométrique , on rencontre à divers instants des molécnles matérielles différentes, mais les conditions de vitesse, de pression, etc., sont constantes.

Les molécules qui se suivent en formant un filet liquide par rapport aux axes mobiles, et qui parcourent ainsi une même trajectoire, ont, dans leur mouvement réel rapporté à des axes fixes, leurs centres d'oscillation situés à la môme profondeur; nous u^ommeronfe couàkes horizontales les surfaces ayant pour profil ces filets ou trajectoires. Nous nomtaerons couches verticales celles qui comprennent des molécules traversant simultanément, dans leur mouvement relatif, les plans Verticaux passant par les crôtes et les creux ; les courbes profilant ces diverses couchés comprennent des molécules qui, dans le mouvementabsolu de l'eaU, ont leurs centres d'oscillation sur une même lijgne verticale.

Soient x eXy les coordonnées d'un point d'une couche horizontale quelconque, soit ss la profondeur uniforme des centres d'osciliatiibii pour cette couche ; l'ensemble des couches horizontales , considérées comme courbes' géométriques, peut être représenté par une éqvialioti à trois variables,

chaque valeur de z correspondant à une couche particulière.

Si les diverses couches horizontales sont considérées comme étant les trajectoires des diverses molécules qui, à l'origine des temps, traversaient ensemble Taxe des y, l'ensenible de ces couches peut être représenté par deux équations à quatre variables :

en éliminant t entre ces équations, on retrouverait' l'équation (1); en éhminant J5, on aui^ait récfuation générale des couches verticales.

Soient maiûteûant e et ô' les angles que font les couches horizontales et les couches verticales avec l'axe des a; en un point quelconque de l'eau (fig, 1); l'angle de ces couches entre elles est 6 — ô'. Soit : de la surface d'un petit parallélogramme abcd^ compris entre deux arcs ds

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