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de couches horizontales et deux arcs ds' de couches verticales. Nous avons :
(3) dff = ds ds'- sin (0 — e') ;
en développant sin (6 — ô') et en introduisant les valeurs
sin 9 =
:^, sme
.dy -ds'
- COS ô =
dx
, dx
us
obtenons l'équation
dr,
dtdz'
dy dx " dz dt
dy dx Itlz'
La première des quatre conditions du n° 9 est que d(j soit indépen- ' dant de f, c'est-à-dire que l'on ait, quel que soit t,
d d^ dy d^ dx d^y dx dhj dy d^x __ « ^^ Il dtdz ~~'dzlF~dz'W'^lI dtdz "" li dt dz ~
Soient § le poids spécifique du liquide et g l'accélération produite par la pesanteur; soit P la pression par unité de surface en un point quelconque de la masse liquide. Les deux composantes de la résultante F des pressions ou poussée hydrostatique par unité de volume du liquide sont /Im7^\ XjT ^AcU.
Puisque le liquide n'est soumis qu'à la pesanteur et à la poussée, les deux équations du mouvement d'un petit volume dt? sont
, $ d*a7 ^ dP
d'o - -jûT = — dv -T-, g dt^ dx '
— dv-r dy
+ dv$\
on tire de là,
en
supprimant le facteur dv,
(dP
\dx — '
idP
{dy-~
gdf' S d'y 9 rff
ùlA-
*^< /L*. -/t-<rv. ^!^>(^^^ ^-
-rr
/rOt^
^''" — -^'^^^ ^£^2 , ^^'c^zr
fui (iyi M^ DigitizecKbyVaOOgie
Ces deux équations deriennent, en changeant de variables,
\ dt'^'^'g ySi dt^ + ^ rfî + ~dt WJ' ' ^ ^ » dp l fdxâ^x dy dy d^y\
dz g \dz dt^ ^^ dz^ dz dt^
En différentiant la première équation par rapport à ^ la seconde par rapport à \, et en égalant entre elles les deux valeurs ainsi obtenues
dP pour -j-j- , on a, pour expression de la seconde des conditiotis générales énoncées au n"* 9, l'équation
dx d^x dy d^y dx d^x %f^.
^^ H dz dt^ "^ dt dzdt^ "^ dz df '^didi''
cette équation exprime que P est uniquement fonction de z et de t.
Pour exprimer la troisième condition, il faut remarquer que la différentielle totale de la pression rfP, le long d'une couche horizontale telle que la superficie du liquide, se réduit à :
8 fdx d^x dy dy d^y\ ,
puisque dz est nul lorsque l'on passe d'un point de la couche à Un autre. La condition pour que l'on ait identiquement
rfP == 0, quand on fait z = 0,
peut donc s'écrire :
c") (f.).0).+»Ci).+(l).@).=V
quel que soit L Les indices zéro expriment qu*il s'agit des valeurs des dérivées de x et de y correspondant h z = 0. Cherchons si les trois équations (I), (H), (III), peuvent être satisfaites en donnant aux équations (2) la forme
" ,Q, j a; = — Uï H- a sin e^,
( y = — z -\-b coset,
c'est-à dire en supposant que le mouvement de chaque molécule, par rapport à des axes passant par son centre, soit simplement
a; = a sin gf,
1/ = 6 cos tt. ...-''
Tirons des équations (9) les valeurs des dérivées de a? et de ^ et portons-les dans l'équation (!) , ou plutôt, portons simplement les valeurs de ces dérivées dans l'expression (4) de da, et égalons à zéro les coefficients de cos it et de cos' et; nous obtenons les deux conditions
(10) U^+ae=0,
db da
faciles à intégrer; elles donnent, h et q étant deux constantes arbitraires,
a=:: he
tz
ô est la base des logarithmes népériens, 2,71828. /
En opérant de même avec l'équation (III), nous trouvons les deux nouvelles conditions
(14) a = ±zb -•
Il suffit, d'ailleurs, de prendre le signe -*- pour représenter les deux mouvements correspondant aux signes -4- et — , si l'on admet que « puisse être positif ou négatif.
Les paramètres qui entrent dans les équations (2) sont ainsi déterminés; ces équations représentent des trochoïdes, voir fîg. 6. Le mouvement se trouve complètement défini sans que l'équation (II) soit intervenue ; la vérification de cette équation (II) , facile à faire , constitue , dans cette première méthode, la preuve théorique de l'exactitude du système d'équations :
a? =2 — Uî + r sin «^,
