IV
I 1/ = — js + r cos gr,
qui a été essayé, et des équations finales
I a? = — - i-H /le ^ sin £/,
(V) , qui ont été obtenues.
1/ = — z + /le cos et
fA e. j:;j^ ^ ^^^^ ^^^ ^ ^ c:>
n^uA,
yC^L-L^
«/'^y^ Z^ic-t.*,-j,^.2!Z
/j-i^ vT"
^-«-^ f^^-^-iie,.^,^^
Les conséquences pratiques à tirer des calculs qui précèdent sont , d'abord une relation entre la demi-durée T et la demi-longueur des vagues; de Téquation (15) et des deux égalités évidentes L = UT, tr = gT, on déduit
TV
L*exactitude de cette équation, bien établie par les données sur les vagues recueillies par un grand nombre d'observateurs, M. lé viceamiral Paris opérant avec son trace-lames, M. Armand Paris, Scoresby, Wilkes et d'autres , fournit la vérification expérimentale des équations (V)\
L'équation (16) permet de se dispenser, dans l'observation des vagues, de la mesure de la longueur L, qu'il est souvent très-diflBcile d'obtenir; on peut se contenter de mesurer la durée T, ce qui est beaucoup plus commode.
L'équation (16) explique pourquoi, lorsque la houle se propage.au loin, la longueur des vagues reste constante, tandis que la hauteur va en s'éteignant. ]\ est clair que le nombre des vagues, qui passent en un point dans un temps donné, est constant et égal à celui des vagues produites sur le théâtre de l'agitation; T restant constant, L qui dépend uniquement de T est également invariable.
Pour la hauteur 2h des vagues comptée du creux à la tête, la théorie indique seulement, comme condition, l'existence d'un maximum. Pour que la surface do ne devienne pas négative et que les couches supérieures ne pénètrent pas dans l'espace déjà occupé par les couches inférieures, il faut que l'on ait : ' ,, ^ \
> ; ny < 1.
* tomn
l'ailleurs
omme les égalités L = UT et » = «T, jointes à l'équation (15), donnent d'ailleurs
* Les principales vérifications expérimentales sont réunies dans mon Éttide êur la lumle et le rouli» (1869) et snrtont dans son compliment [(1870). Voir aussi la Note êur Vitude expert' mentale des vagueêj Bévue mariftme, numéro de janvier 1874. J'ai eu, depuis lors, roccasion do reêonpaître H plusieurs reprises que l'équation (16) s'applique à de petites vagues produites artificiellement dans un canal d'une certaine longueur terminé par un plan incliné sur lequel les vagues brisent.
l'inégalité précédente peut s'écrire (17) t
elle signifie que les trochoïdes ne peuvent dépasser l'acuité de la cycloïde et devenir des courbes à nœuds.
Cette condition est sans intérêt lorsqu*on étudie les vagues de la haute mer, parce que la hauteur des vagues est bien loin d'approcher de la limite ainsi fixée; le maximum réel de hauteur dépend, non pas des propriétés des liquides, mais bien des lois de l'action du vent sur l'eau. Il ne faut pas perdre de vue que le calcul indique seulement les mouvements permis par la constitution intime des liquides; il reste à Tobservation à révéler quels sont, parmi ces mouvements physiquement possibles, ceux qui peuvent être produits par le vent.
Gomme donnée utile pour l'étude du roulis se déduisant de la théorie des vagues, nous avons d'abord la valeur en chaque point de la poussée hydrostatique F par unité de volume. Les deux projections de cette
poussée sont -r- et -r- , ce qui donne :
dy.
D'après les équations (6), en appelant r le rayon des orbites circulaires pour une profondeur quelconque, cette valeur devient :
En second lieu, il importe de connaître la vitesse angulaire et l'accélération angulaire des couches horizontales et des couches verticales dans leur mouvement de rotation. Tang 6 et tang 6' se déduisent immédiatement des équations (V) qyi donnent :
dy (19) tang 9 =
dx — y H- «V cos &t '
i \ dy
/,^/x , dz g -h î r cos st
Les vitesses angulaires des couches liquides , qui sont les dériviées des arcs tang 6 et des arcs tang ô', ont pour valeurs
d$ __ — s'^r* H- ge^r cos s^ ^ ^ Tt'^ g^-^ i'r' — 2g eV cos et'
^ ^ dt '^ g^ + e*r^ + 2g eV cos el*
Les accélérations, ou dérivées des vitesses, sont :
m\ d'e — ge*r (g^ — tV*) sin U
^^^^ dt' "" {g' + sV» — 2^6V cos 8^*'
.2|/x d*e' gt*r (g^ — gV') sin st
^ ^ dt^ (p* -h eV* + 2^£V cos ttf
Nous pouvons ajouter à ces données la valeur de l'inclinaison maxi- ^
mum de chaque couche horizontale.
d En égalant à zéro la dérivée -r; tang 0, nous obtenons :
cos «^ = — ; la valeur correspondante de tang e est, en remplaçant — par r- ,
tang =
En calculant la valeur de sin 0, d'après la formule . , tang*
nous trouvons l'expression très-simple 'Lr / / A«f/* ^
(22) sm0 = 7r-. ^ ^
— 2: V vd^ ^.r-* ^'^ ^
oC ^
/-f^ f'-i-c^ zZ/V /-/^-^-^^ ^-^^ 9^~ Z^ l.'-r c^ ^^ ->■ ^^?^
/^-*-**'^6'lu^.,*-
L*angle e est généralement assez faible pour qu'on puisse le rem^ placer par son sinus ainsi exprimé en fonction de la hauteur et de la longueur des vagues.
Llnclinaison maximum des vagues e ne doit pas être confondue
avec rinclinaison au point 4'inflexien-ei qui correspond à e^ =k ; on a pour cette dernière :
tang ©i = TT j- 1
et par suite
r sm ©i =
l/'+HT
Les formules qui donnent le rayon r des orbites des molécules en fonction de la profondeur z des centres d'oscillation et de la demihauteur h sont aussi intéressantes à consulter ; on a :
(23) r = he ^ ,
(24) log^ = -,rM^,
M étant le module logarithmique 0,434294.
Dans les formules qui précèdent, on peut introduire Tun ou l'autre des paramètres c , L , T ou U à volonté , car chacun d'eux peut s'exprimer en fonction de l'un quelconque des trois autres.
1 1 . Pour le cas où la profondeur de l'eau est limitée , il convient de substituer, aux équations qui précèdent, celles d'un inouvement dans lequel les orbites sont des ellipses. Les deux axes des ellipses, si nous appelons p la profondeur et si nous posons
jf{p — z) = f (p — js) = i3,
OP = LP=^a,
ont pour expression :
La relation entre la longueur et la durée est
Le mouvement défini par les équations précédentes satisfait complètement à la deuxième et à la quatrième condition du n° 9. Il vérifie aussi les deux équations (10) et (15); mais il est en contradiction avec les équations (11) et (14) ; D ne remplit donc qu'en partie la première et la troisième des conditions imposées.
Ce mouvement à orbites elliptiques peut être considéré comme représentant les ondes infiniment petites produites dans un bassin 'de profondeur Jimitée ; son approximation, pour ce cas, est d'un degré supérieur à celui du mouvement circulaire. Il pourrait aussi être appliqué, soit aux ondes dont la hauteur est d'un ordre de grandeur inférieur à celui de la longueur, soit aux ondes de hauteur et de longueur finies , produites dans un milieu dont la profondeur est très-grande , sans cependant être infinie. Dans ce dernier cas, qui se rapproche de celui de l'Océan , le degré d'approximation des orbites elliptiques ne devient notablement supérieur à celui des orbites circulaires que dans des circonstances où les différences entre les deux mouvements sont insignifiantes ; les orbites peuvent donc toujours être considérées comme circulaires pour l'étude des roulis.
12. Le clapotis théorique est un mouvement de l'eau caractérisé par Texislence de vagues qui sont dépourvues en apparence du mouvement de propagation propre à la houle et qui s'élèvent et s'abaissent sur place. Le cas le mieux défini, celui dont nous allons indiquer les équations approchées, s'observe particulièrement au vent d'un quai vertical, perpendiculaire à la propagation de la houle qui vient se heurter
* Ces éqnations ont été obtenues pour la première fois par sir Airy; elles sont données par M. Boussinesq dans son Mémoire sur le» onde» liquide» périodique»t présenté en 1S69 à l'Académie des sciences et publié en 1872.
/^ /^/ ,^v. -^iU
/lU.
^* "^ ^ "^ZT =""
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c'-^Ly
contre lui. Les lois du clapotis sont sans iutéréft pour rarchitecture navale; mais, au point de vue de Tétude générale des vagues, elles sont très-dignes d'attention ".
Pour analyser le clapotis, il faut rapporter le mouvement de Teau à des axes fixes , par rapport auxquels la forme des couches liquides puisse être regardée à la fois comme mobile et comme déformable. Il faut ainsi accepter pour les calculs trois variables indépendantes, à savoir : le temps t et les deux coordonnées x^ et z du centre d'oscillation de chaque molécule*.
Dans Texpression (3) de la surface d^ du petit parallélogramme liquide, on a :
sin :
dXo dx . ^, dz dx " ds dx,' ^^^^ ^'^ ds' dz'
cosô
^"^"^ody . dzdy, - ds dxo' ^^^^ - ds' dz'
on tire de là:
d(5 dy dx dx dy dx^z "~ cteo dz dXo dz'
La premier^ condition générale (i) devient donc, en égalant à zéro la dérivée de Texpression précédente par rapport à t,
dy d^x <^ d^y dx d^y dy d^x ^ * ' dXo dtdz dz dtdXo dx, dtdz It dtdXo "" '
Les dérivées de la pression P, par rapport à rc et à y, sont toujours déterminées par les équations (6), mais la pression P en un point quelconque est maintenant fonction des trois variables î, z,. a?^. On a :
dt - ~9\dt dt''^^ dt "^ dt 4ty'
dz "" ^g \dz W^^ dz'^ dz de)'
dP B fdx d^3) dy dy d*y \ (teo"" ^g \dXo dt^ "^ S' dXo "^ dx, dty '
* Les iqnations da olapotis ont été données par M. Bonssinesq dans le Mémoire ëur Ut ondM ; ses propriétés ont été étudiées par H. de Saint* Venant dans nne note insérée aux Comptée rendue de V Académie dee eciencee, 28 août, 4 septembre 18f 1.
* Dans le cas de la honle, tontes les molécules d'ane conehe horiaontale ont été supposées avoir des mouvements identiques mais en retard on en avanee les uns sur les autres* C'est U ce qui a permis de faire disparaître la variable «o par l'adoption des axes mobiles.
Beqtin. 3
Ou tire de là, au lieu de la condition unique {H), trois conditions distinctes, par Télimination de P entre les trois équations combinées deux à deux. Ces trois conditions sont :
^^\ Tt dzdt^ "^ dt dzdf "" dz dt* "^ dz dt* '
^" ^ dz dXodt^ ■+" dz dx^t" "" do?, dj^di* "*" da?o dzd(* '
,. dx d*x dy d'y da? d'à? dy d^y ^" ^ dt dSodt*'^ dt dx.dt^'^ dx^ df '^ dx, di* '
La condition particulière à la surface supérieure est d'avoir
dP
— = 0,pourz=:0,
c*est-à-dire, en désignant toujours par l'indice zéro les valeurs particulières des dérivées de a; et de y pour z = 0,
Ces équations se prêtent à Tétude des ondes immobiles aussi |)ien qu'à celles des ondes courantes. Elles permettent de yoir comment les mouvements simples peuvent se superposer les uns aux autres, et d'apprécier les modifications qu'ils doivent alors subir pour que les lois physiques soient toujours satisfaites.
Les équations de la houle par rapport aux axes fixes, lesquelles s'obtiennent, soit directement, soit par une simple transformation de coordonnées, sont
ix — oîo = r smeu — -ttI, (25) ^ ^ ^
y + z =rcost(t — ^Y
Si l'on superpose, à la houle représentée par ces deux équations, la houle égale et dirigée en sens contraire qui est représentée par les équations
a? — x, = -— rsineU+^ji
