f. js ïs= r cos e

on a, pour le mouyement total ou résultant, les équations

X — a?o = — 2r cos e^ sin g-Xo, (26) ^ ^

y + j5 == + 2r cos tt cossr a?o.

Ce mouvement est le clapotis (PI. II, fig. 2).

De ce que le clapotis théorique est ainsi obtenu en ajoutant terme à terme les équations de deux mouvements possibles du liquide, il ne faudrait point conclure qu'il soit lui-même possible; la forme des équations de condition prémunit de, suite contre cette erreur. Si, par exemple, x, y et «, p, sont les coordonnées du liquide dans deux mouvements distincts de Feau, il est certain que les deux. quantités

dy dx dx dy dXo dz dx^ dz *

d^ da doL dp lûcl dz dxl rfS '

sont, Tune et Tautre, indépendantes de t; mais, dans la somme des deux mouvements, la quantité correspondante,

^^^^ \dXo "^ dxoj \dz ^dz) \dx, "^ dxj \dz "^ dz) ' ne sera indépendante de t que si Texpressibn,

^'^ ' dXo dz dz dXo dXo dz"^ dz dx^

se trouve elle-même indépendante de t. D'une manière générale, la propriété que la somme de deux solutions particulières soit elle-même une solution, n'appartient qu'aux équaffons linéaires ; les équations de Fhydrostatique (1'), (11'), (11"), (II'"), (Ul'), ne sont point linéaires, elles ne doivent done pas jouir de cette propriété.

Deux houles ne peuvent pas se superposer sans modification. Si, des équations (26) du clapotis, on tire les valeurs des diverses dérivées de a? et de 1/ et qu'on les introduise dans les équations (I'), (H'), (II"), (II"'), (III'), on trouve que les deux équations (II") et (HI') sont seules satisfaites. L'expression du petit parallélogramme du est :

d/i dx / ^r\^

Les deux équations (U') et (II'") conduisit Tune et l'autre à

2re'8int«co8eï=0.

Les quantités à négliger, pour supposer que le liquide puisse réellement prendre le mouvement représenté par les équations (26), s'annulent quand on suppose les hauteurs infiniment petites par rapport aux longueurs d'ondes : on peut donc, le rapport iehkh restant assez faible dans les vagues de la mer, considérer le clapotis théorique comme représentant approximativement le clapotis réel.

Les principales propriétés du clapotis, tel qu'il est représenté par les équations (26), sont les suivantes :

Les équations des couches horizontales à un moment donné, lesquelles s'obtiennent en supposant t constant, représentent des trochoïdes dont le cercle générateur a pour rayon 2r cos. tt ; r étant le rayon des cercles, dans les deux houles superposées, à la profondeur considérée.

Les ondes s'élèvent et s'abaissent surplace, et leur hauteur maximum est 2/v.

Tous les sommets, ou plutôt les points qui sont alternativement creux et sommets, ont des centres d'oscillation dont les abscisses x^ sont déterminées par l'équation

(30) ^a?o==nit,

n étant un nombre entier quelconque. Par suite, la demi-longueur d'onde est :

(3f) L = 2^ = UT;

elle est égale à celle des houles primitives.

Les couches verticales ont pour profil des courbes logarithmiques comme dans la houle.

Chaque molécule oscille suivant une ligne droite dont l'équation est :

Ces lignes droites sont verticales pour les sommets et horizontales pour les nœuds ou points d'intersection d'une couche avec la ligne des

centf es d'oscillation. Il ne faut pas confondre les nœuds, dont le centre d*oscillation est constant et a son abscisse déterminée par Téquation

avec les points d'inflexion pour lesquels x^ est variable et déterminé par Téquation :

(34) cos 77 a?o = 2 Tj cos e^

L'amplitude des demi-oscillations, égale au maximum de la racine carrée de

(35) (y + zY + (a? — x^Y = 4r> cos* ef ,

est constante pour toute une couche horizontale et égale à 2r,

Enfin, il est à remarquer que Ton pourrait considérer la houle comme résultant de la superposition de deux clapotis, car en faisant la somme des oscillations horizontales

(26) a: — a?o = — 2r cos tt sin tt a?o,

(26') a? — a?o = 2r sin sr cos g tCp,

et la somme des deux oscillations verticales (26) y + z = 2r cos tt cos 4- a?o,

(26') y^z=s 2r sin gî sin g- a?o,

on obtient la houle

1 0? — a?o= 2r sin 6 U — -7^ j , I y + z = 2r cos « U — -j^ j .

Ici les deux mouvements composants ne pouvaient être qu'approchés, et le mouvement résultant est rigoureusement possible.

1 3 . La mer présente d'autres mouvements bien caractérisés, qui se rencontrent même beaucoup plus fréquemment que le clapotis pur et que, de môme que ce dernier phénomène, on peut considérer soît comme des mouvements élémentaires à cause de la simplicité de leurs lois,

soit comme des mouvements composés, parce qu'on les obtient par la superposition de plusieurs houles '.

Si deux houles de même longueur, de hauteur différente et de sens contraire, se superposent, le mouvement résultant peut être regardé comme la somme d'une houle et d'un clapotis. Prenons, comme équations dé deux mouvements composants :

la? — (Fo = rsine(r — 1^),

^^^^ / xi

ry-|-jg=rcosEU — -gj,

Sx — Xo = — r' cos ef sin y, a?o, fi/+j2f = r'cose«cos^a?o;

les équations du mouvement résultant sont, avec Tapproximation admise dans les calculs du n** 12,

IX — a?o = ^ sin eî cos j^ a?o — (r + r') cos e^ sin .y a?o, y+ z = r sin tt sm ^ Xo'\- [r '\-r') cos Btcos^Xo.

Appelons o^et j3 les coordonnées a;— x^, y+z des trajectoires par rapport au centre a?^, z ; nous avons

a cos îT a?tt -J- p sm U" a?o= r sm e^,

pcos-j^Xo — a sin jr a?o = (♦• + ^') cos tt ; Téquation des trajectoires est donc

(37) {r + f)^ («co8~aîo.+ p8in~a;oy+rs/pcoi^«8o--«Bîn-lajoy=r«(r + r')«.

Toutes les trajectoires sont des ellipses identiques, dont le petit axe est r et dont le grand axe, égal à r+r', coïncide en direction avec les trajectoires des molécules dans le clapotis.

* Voir une note insérée anx Comptée rendus de V Académie de» edeneeê, séance du 9 mars

La position des sommets et des creux des yagaes s'obtient en égalant à zéro la dérivée dey + z par rapport à Xo^ ce qui donne

(38) lang g a?o = ^r^ tang tt.

La vitesse de propagation r se déduit de l'équation (38) ; nous trouvons

dt r + r' ,cos*f( '

ou bien, en éliminant Xo,

Cette vitesse de propagation variable est égale à la vitesse des sommets et des creux, parce que la condition (38) rend x—x^ nul.

La hauteur H, égale à y+z pour les valeurs de Xo satisfaisant à réquation (38), est :

H = (r+rO^/cos*^r4-(^^

La hauteur et la vitesse sont les mômes pour toutes les vagues à un instant donné; on les trouve aussi toujours les mêmes au moment du jfassage en un point donné.

En faisant e/ = 0, = tt, = 27r, . . . = nw, on a le minimum de vitesse,

U , , et le maximum de hauteur, r + r'.

En faisant ef = ^ tt, = ^tt = — x — w, on a le maxunum de

vitesse,!! — - — ,. et le minimum de hauteur, r.

La longueur parcourue par une vague entre un maximum et un minimum de hauteur est égale à ^^ L.

La forme variable des profils et les différents orbites décrits par les molécules sont représentés sur la planche IlL

Considérons maintenapt la superposition de la houle et du clapotis,

après. avoir ajouté tt à g U — ~j dans les équations (25); le mouvement résultant ne pourrait plus, dans ce nouveau cas, être regardé commet la somme de deux houles.

Les équations du mouvement ré3ultant sont :

Ia? — a?o = — rsin. et cosrra?o-h(r — r') cos et sin f~a?o, y ^ z = — r sin£esin4-a?o — (r — r')cos€fcoSîTa?o. L'équation des orbites est : .

(37') r»(«Bin^aîo+pcos^a;oy+<r- /)*^«co8~aJo - p 8^^ »<.)*=♦■«(»• -O»;

elle représente des ellipses dont les demi-axes sont r et r—r'; les petits axes coïncident avec les trajectoires du clapotis. L'équation (38) devient

(38') tang g- x^ = ^rr^ tang tt.

Le maximum et le minimum de hauteur sont respectivement r et r — r'; le maximum et le minimum de vitesse sont U ? et U

la distance parcourue entre un maximum et .un minimum n'a pas changé.

La variation de hauteur des vagues s'observe fréquemment à la mer ; les ondes s'élèvent, puis vont en s'afifaissant pour renaître à quelque distance, le tout sans sortir du champ de vision de l'observateur. Gomme on estime mieux la vitesse au moment où la hauteur est grande, on s'est accordé à attribuer une moindre vitesse aux vagues de hauteur variable qu'à celles de hauteur constante; ces deux sortes de vagues ont été regardées à tort comme deux mouvements distincts, entre lesquels il fallait partager les ondulations de la mer par une division fondamentale.

Arrêtons-nous un instant sur le deuxième mode de superposition conduisant au mouvement (37') en considérant le cas ou r est égal à r\ Nous trouvons alors un simple clapotis identique à (26), dans lequel l'origine des temps et celle des abscisses ont simplement été déplacées. Le clapotis nous apparaît ainsi comme la limite du mouvement des

vagues de hauteur et de vitesse variables; ses ondes, en apparence isolées, se relient les unes aux autres par une propagation de vitesse infinie, au moment où la hauteur devient nulle.

Si le rapport de r à r' varie de zéro à 1, soit dans le premier mode des concordances des phases, soit dans le second, il en résulte une infinité de systèmes de vagues qui présentent toutes les variations possibles de hauteur et de vitesse. Il en est de même, si Ton considère entre les phases de la houle et du clapotis des concordances diverses, comprises entre les deux limites considérées. Chacun de ces deux systèmes se compose .d'ondes passant par des états identiques et atteignant simultanément les mômes phases.

Si les longueurs des ondes des deux mouvements composants diffèrent légèrement entre elles, on peut admettre, sans sortir du degré d'approximation des calculs précédents, que le mouvement de chaque molécule prise isolément est analogue à l'un de ceux qui viennent d'être étudiés ; mais, à un même instant, la concordance des deux phases n'est pas la même pour les différents points de la mer. On trouve ainsi des séries périodiques de vagues qui n'appartiennent pas au même système et qui ne présentent pas les mêmes variations de hauteur et de vitesse.

Si enfin les directions des deux mouvements ondulatoires font entre elles un certain angle, la concordance des phases varie non-seulement pour les différentes ondes, mais encore pour les différents points d'une même onde pris dans le sens des génératrices. Cela explique comment les vagues de hauteur et de vitesse variables paraissent avoir, en général, peu de longueur et se rapprochent souvent de la forme pyra- < midale.

Telle est, déduite des lois mathématiques de la houle, l'explication générale des formes habituelles et en apparence si complexes de l'agitation de l'Océan.

14. Les calculs des deux numéros précédents ont mcmtré combien l'emploi des axes mobiles simplifie les calculs à faire pour établir les équations de la houle. Nous allons maintenant, en revenant à ces axés, obtenir les équations (V) jpar une intégration directe en partant d'une propriété fondamentale et caractéristique de la houle*. Cette recherche présenterait, avec les axes fixes, des complications de calcul qui la rendraient très-laborieuse.

* Je reproduis mon ancien calcul de 1870. Xa démonstration s'est faite, depuis lors, par d'autres méthodes, mais sans rien ajouter, ni à sa rigueur, ni à son étendue.

Le mouyement de la houle iieprésenté par les équations (V) possède, outre la propriété de satisfaire à toutes les conditions imposées par la nature des fluides, la propriété de laisser chaque molécule liquide constamment soumise à la même pression par unité de surface pendant tout son mouvement. En d'autres termes, il y a coïncidence générale entre les couchés horizontales et les couches d'égale pression. C'est cette dernière condition qu'il s'agit de mettre en équations.

Une première conséquence de la constance de la pression en tous les points de chaque couche horizontale, est que Téquation

^^^^ dt dt'^^ dt^ dt dt*-^^

est générale et applicable à toute la masse liquide.

Considérons, en second lieu, une couche C qui est à la fois couche horizontale et couche d'égale pression; considérons en même temps la couche horizontale G' infiniment voisine : soit dvi, égale,^comme on Ta vu, à ds' 8in(0— 6'), la distance infiniment petite entre les couches G et G' en un point quelconque. Le volume d'une petite masse d'eau comprise entre ces deux couches a pour valeur

.. dsdyi.^^'

il est constant, quel que soit r, on a donc, en différentiant par rapport à t, l'égaUté

qui est l'équation de la courbe G\ Considérons maintenant une couche d'égale pression G" infiniment voisine de G, et soit dn la distance de ces deux courbés. La variation de la pression, en passant d'une couche de niveau à l'autre, est :

dP = Fd„',

F étant la poussée hydrostatique par unité de volume entre les deux couches considérées. Comme d^ doit être le môme partout entre les deux couches, on a encore, en différentiant par rapport à t, l'égalité

dt dt "^^ dt' - "' qui est l'équation de la courbe G". Or on peut regarder les deux

courbes G' et G", comme se coalondant en une seule, et, en identifiant leurs équations, on a une seconde condition du mouvement,

On connaît les projections, de ds et de F sur les deux axes de coordonnées, et, si Ton calcule les valeurs de F, de ds, et de leurs dérivées par rapport à /, à Taide des formules

dF

dt d's~

F ^ ds

dl*

dt

et. qu'on les substitue dans Téquation (}i)^ on ramène cette égalité, en simplifiant à Faide de (VI), après plusieurs transformations^ à

(^^) ^W-dfdF+dtW^^'

Les deux équations (VI) et (VII), qui expriment que, dans toutes les positions successives d'une môme molécule liquide, la pression hydrostatique par unité de surface à laquelle elle est soumise reste constante, peuvent s'intégrer une première fois ; elles deviennent

■ nw n^^ dx d^y dy d^x

A et B étant deux constantes arbitraires.

Si l'on tire de l'équation (VI) la valeur de ^ et qu'on la porte dans l'équation (IX), on a

de \\dt) ^\dt) y^^ dt dt ^dt ^' et, en simplifiant à l'aide de l'équation (VIII),

cett€[ dernière équation peut s'écrire ;

d^x , ^ ,^ . ^ dx dy dy

sous cette dernière forme, chaque terme est une différentielle exacte et l'équation devient, en intégrant :

dx

-2gy + k^ 2()f{— 2ay +A) " '''

G étant une nouvelle constante arbitraire.

dx On peut éliminer -^ entre les équations (VU!) et (46), et on a Té-

quation

(*^) -(§y-2?l'+A = JG(-2ffyH-A)-^|'.

où il n'entre que les deux variables y et t.

En développant et en substituant aux trois constantes A, B, G, trois autres constantes e, z, r, liées aux premières par les trois équations

BG + g — 2gAC'

VG* -*'

Téquation se réduit à

(|y=..lr.(y+z)«!, ou bien à

dy

3; %ai = /

L'intégrale est

±,%x = arc cos {^ ^ y ,

si Ton suppose que Torigiae des temps soit prise au moment où Tare est nul, pour a'avoir pas de nouvelle constante arbitraire. Cette dernière équation n'est autre que la seconde des équations de la houle, .

y = — z + r cos 8f ,

puisque, d'ailleurs, cos ef et cos ( — tt) sont égaux. Pour avoir la valeur de x, substituons, dans l'équation (VIII), la valeur

précédente de y, la valeur de -rr qui lui correspond et la valeur de A

tirée des équations (48) : nous obtenons, en extrayant la racine carrée,

et, en intégrant,

dx a

rt -j- 3= — - + ri cos tL

zt 05 = — - « + r sin ri,

l'origine des abscisses étant supposée telle que, pour t == 0, on ait X = 0.

En apparence il y a deux solutions :

!i/ = — z + r cos «r, X = — - « + r sm e«,

y = r— J8f + r cos «î, x = — — t — r sm ir,

en réalité il n'y en a qu'une, si Ton suppose que < puisse être indifféremment positif ou négatif. En effet, en remplaçant c par — s dans l'un des deux systèmes d'équations, on retrouve l'autre. Nous nous en tiendrons au premier système.

Le mouvement étant ainsi déterminé, il reste à vérifier que les deux équations (I) et (II) sont satisfaites moyennant la seule condition

Q dr

ce qui se fait sans difficulté.

Cette dernière équation donne pour r la valeur (23) ; en l'introduisant dans Téquation (50), nous obtenons les équations (V).

Si maintenant nous cherchons quel degré de certitude cette étude nouvelle ajoute à la vérification remarquable de toutes les équations fondamentales (1), (II), (IIl), (IV), parleô équations (V), nous pouvons faire le raisonnement suivant :

Supposons un mouvement des molécules liquides, dans lequel elles passent par des pressions variables P, pendant une oscillation complète. La variation de P ne peut pas avoir lieu à la superficie, qui est nécessairement une couche d'égale pression ; elle est donc infiniment faible au-dessous de cette superficie, mais elle pourrait, ensuite, aller en croissant. D*un autre côté, à mesure que la profondeur augmente, l'amplitude des oscillations diminue et le liquide tend vers un état dans lequel les couches horizontales se confondent avec les couches d'égale pression. En effet, ces couches se confondent les unes et les autres avec des plans horizontaux : les premières parce qu'il n'y a plus de mou-* vement vertical, les secondes parce qu'il n'y a plus de mouvement horizontal. Il y aurait donc d'abord tendance à s'éloigner, puis tendance à se rapprocher, entre les couches horizontales et les couches verticales. Cela exigerait, à une certaine profondeur, une révolution dans les conditions de mouvement à laquelle on ne peut trouver de cause.

Quand la profondeur est limitée, les pressions, constantes le long de la surface supérieure, peuvent ensuite, à mesure qu'on s'enfonce, présenter dans les diverses parties d'une couche horizontale des différences qui vont toujours en croissant; la couche voisine du fond, tout en étant couche horizontale, peut, en effet, présenter les plus gnandes variations dans les valeurs de la pression P, à laquelle le fond solide résiste en chaque point.

15. Je n'entreprends point l'étude de ï absence de rotation molécu^ laire, soit complète, soit limitée à l'immobilité, des directions de deux files de molécules orthogonales, que M. Charles Merrified a récemment mise en équation d'une manière très-simple, après avoir rappelé les recherches, dans cette voie, de Poisson, de Cauchy, et de M. Stockes de Cambridge V

* Note sur lea ihiorie* du mouvement de» fluides et de la houle de ta «ner, publiée dans le tome ZIX âei Mémoires do la SocUti des seienees naturelles de Oherb^rg.

L'absence totale de rotation moléculaire s'exprime par trois équa^ tions qui, combinées avec Téquation de continuité, représentent un mouvement de translation de la masse liquide d^ns lequel les vitesses seraient égales et parallèles en tous les points.-

L'absence de rotation moléculaire limitée à deux axes s'exprime par une équation unique, qui peut se combiner avec l'équation de continuité. Les mouvements qui satisfont à ces deux équations jouissent de cette propriété curieuse que les trajectoires du mouvement relatif des molécules infiniment voisines autour d'une molécule considérée comme centre, sont des hyperboles équilatères.

La condition d'irrotation , soit totale, soit partielle, ii'a d'ailleurs nullement besoin d'être remplie, ainsi que cela est évident en ce qui concerne llrrotation totale d'après ses conséquences, pour que toutes les lois physiques auxquelles le mouvement des fluides incompressibles est soumis soient satisfaites. Le changement de direction d'une file de molécules liquides libres et indépendantes ne constitue pas le mouvement angulaire d'un corps ; c'est simplement la conséquence géométrique du déplacement individuel des molécules. Une petite masse liquide passe d'une de ses positions à l'autre par une translation et une déformation, et, pour produire ce mouvement, la pesanteur et la ipression hydrostatique, telles que nous les avons étudiées, sans l'intervention d'aucune autre force tendant à faire tourner la petite masse, suffisent parfaitement, lors même que l'on ne rencontre pas deux files orthogonales de molécules de direction invariable. Si la petite masse considérée est une petite sphère qui ne donne prise par aucun point de sa surface à des forces tangentielles, elle n'en subira pas moins des déformations quelconques, parce qu'elle ne présente, pour résister à ces déformations, aucun moment d'inertie exigeant l'intervention de forces tangentielles.