CHAPITRE IIL

Indication des forces en jeu dans le roulis. — Étude de la poussée hydrostatique en particulier, soit sur l'eau calme, soit sur les vagues.

16. Nous avons vu, au chapitre premier, qu'à l'époque des premières recherches exactes sur les qualités nautiques des bâtiments de mer, Tétude du roulis a été regardée par Euler et Jean BernouUi comme un

problème rebelle à l'analyse mathématique. D'autres savaats, au contraire, rattachant le roulis à une cause unique ou du moins prédominante, se sont crus en mesure de faire découler les lois principales de ce mouvement de calculs presque élémentaires : pour Bouguer, la cause était une force hydrodynamique, résultant du clioc d^ Teau sur la carène; pour Daniel Bemoulli, elle était surtout une force hydrostatique, et le navire se trouvait sollicité à rouler en raison de sa stabilité de forme.

La connaissance des lois du mouvement de Teau établies au chapitre II permet maintenant d'établir les équations différentielles du roulis; les difficultés d'ïinalyse que présente le problème exactement posé ne justifient ni la défiance absolue ni la confiance exagérée entre lesquelles on balançait au siècle dernier! L'étude du roulis peut être poussée assez loin pour fournir des résultats non-seulement curieux, mais encore réellement utiles ; elle n'a pas reçu de solution mathématique complète, et on peut affirmer, de plus, que l'estimation des qualités des navires ne saurait jamais présenter ce degré de simplicité qui caractérise la solution des problèmes de science pure. En ce moment, la question a surtout besoin d'être abordée par ces observateurs ; l'analyse trace le programme- des expériences, elle en guidera l'exécution et en discutera les résultats.

Le roulis est produit par les changements à peu près périodiques qui affectent les forces diverses exercées sur une carène par l'eau environnante. Par suite de ces changements, la position d'équilibre du navire, c'est-à-dire l'incliaaison pour laquelle le moment de toutes les forces extérieures est nul, est soumise à une oscillation également périodique de la nature des mouvements pendulaires. En raison de son moment d'inertie, le navire ne peut suivre le mouvement de la position d'équilibre; il prend autour d'elle un mouvement propre qui deviendrait un mouvement pendulaire ordinaire, si, à un moment donné, la position d'équilibre restait immobile dans une certaine direction. On peut donc considérer, pour l'intelligence du phénomène, le roulis comme résultant de la superposition d'un roulis d'équilibre et d'un roulis propre. L'étude des vagues suffit pour faire connaître le roulis d'équilibre ; le roulis propre dépend des propriétés du navire.

A d'autres points de vue, il convient de faire dans le roulis une distinction un peu différente de la précédente. Il y a lieu de considérer le roulis total comme composé d'un roulis de vagues dans lequel le na-

Bertin. 4

vire se tiendrait exactement sur la normale à la vague, ce qui n'est pas tout à fait la position d'équilibre, et d'un roulis relatif ou roulis autour de la normale à la vague. Cette division du roulis est intéressante, parce que le roulis des vagues et le roulis relatif sont susceptibles d'être mesurés séparément à l'aide d'instruments convenablement disposés. De plus, le roulis relatif a des propriétés particulières ; il produit seul la dénivellation le long du bord et le danger de recevoir des coups de mer. ^,^ ;/ l^v.

17. Rappelons sommairement quelles sont les forces diverses exercées par l'eau sur les corps plongés.

La première est la résultante des pressions supportées par toutes les parties de la surface, qui sont, en chaque point, égales à la surface élémentaire multipliée par la pression intérieure du liquide en ce point. Cette résultante a été nommée pression hydrostatique^ parce que c'est la seule force qui se rencontre dans l'eau au repos agissant sur un corps au repos. Lorsque l'eau est agitée, la pression en chaque point dépend du mouvement des molécules; elle peut encore s'évaluer d'après les principes de l'hydrostatique, conformément au théorème général qui ramène les questions de dynamique à des problèmes de statique, moyennant l'introduction des forces d'inertie. On peut donc conserver le nom de poussée hydrostatique, même dans les phénomènes de l'hydrodynamique, à la résultante des pressions qui se calcule d'après le principe d'Archimède, afin de distinguer cette force de celles dues particulièrement au mouvement relatif de l'eau par rapport au corps immergé.

Un corps plongé, qui serait fluide et déformable comme l'eau ellemême, ne serait soumis sur la houle à aucune autre force que la poussée hydrostatique ; ce corps subirait la translation et les déformations successives représentées planche I, figure 2. Tel serait, par exemple, le cas d'un globule d'huile plongé dans un mélange d'eau et d'alcool de même densité que lui; sur toute la surface du globule, il n'y aurait aucun mouvement relatif entre l'eau et l'huile.

Si le corps plongé est un solide, il ne peut pas prendre le mouvement de l'eau qui l'entoure; il contrarie donc ce mouvement et il se . trouve soumis à une force semblable à la résistance qu'il éprouverait . à changer de forme dans l'intérieur d'un liquide au repos. La force ainsi produite par la déformation de l'eau et répartie sur toute la surface des corps plongés, tend constamment à imprimer à ces corps un

certain mouvement; elle a reçu le nom de résistance active. Il est à remarquer que le corps plongé, en modifiant par l'invariabilité de sa forme le mouvement de Teau qui Tentoure, doit, par là, modifier un peu les pressions hydrostatiques.

La poussée hydrostatique s'évalue très-simplement, d'après le principe qu'elle est la même sur le corps plongé que sur l'eau dont il tient la place, ce qui revient à dire qu'elle dépend uniquement du corps qui presse, non de celui qui est pressé. Ce principe reste vrai en eau agitée comme en eau calme, à cause de l'instantanéité avec laquelle les pressions s'exercent. La résistance active, au contraire, n'existe que sur le corps plongé et elle serait nulle sur l'eau qu'il déplace ; le principe d'Archimède est étranger à son évaluation.

La poussée hydrostatique est proportionnelle au volume du corps sur lequel elle s'exerce, et elle est indépendante de sa forme. La résistance active est proportionnelle à la surface, pour des corps de forme semblable, mais elle dépend surtout de la forme.

La résistance active est elle-même une force complexe. Dans la houle, les couches verticales et les couches horizontales tournent constamment dans deux directions opposées; le signe du moment de la résistance active à un instant donné dépend donc de la forine du flotteur, qui rend prépondérante l'action des unes ou des autres de ces couches. Sur une planche flottant à plat, Faction des couches horizontales prédomine et tend à faire suivre à la planche le mouvement de la superficie ; sur une planche placée debout, l'action des couches verticales prédomine et fait incliner la plamîhe à contre-vagues. Sur un flotteur de nature à subir à peu près également l'effet des mouvements des deux sys- • tèmes de couches, comme c'est le cas pour les navires, le moment de la résistance active reste assez faible.

La troisième force en jeu, beaucoup plus importante que la précédente, est la résistance passive, que l'on peut nommer simplement la résistance de la carène dans l'eau; elle s'oppose à tous les mouvements propres du navire, mouvements de translation et mouvements d'inclinaison, par rapport à la position d'équilibre. La résistance au mouvement de rotation résulte à la ^ois de la pression que le navire exerce sur l'eau pour la rejeter devant lui dans son mouvement de roulis, ef des frottements entre l'eau et la carène par suite de la vitesse relative que Teau conserve par rapport à cette dernière. On peut donc, dans la résistance passive, comme d'ailleurs aussi dans la résiçtance active, distinguer

une résistance par rencontre et une résistance par frottement'^ mais on n'a aucun moyen de déterminer séparément la valeur de ces deux parties *.

Considérons comme mouvement de rotation propre au navire, non pas le roulis autour de la position d'équilibre, mais bien le roulis relatif, tel que nous l'avons défini; ces deux mouvements se confondraient ensemble si la position d'équilibre dépendait seulement de la poussée. La résistance au roulis relatif comprend, et la résistance active, et la résistance passive. Les actions exercées par l'eau sont alors groupées simplement en forces hydrostatiques et en forces hydrodynamiques; ce classement est commode, parce que la résistance active, en raison de sa moindre importance, peut être représentée par un terme correctif introduit dans l'expression de la résistance passive.

La translation transversale du navire par rapport à l'eau, et la résistance passive qu'elle rencontre, prennent une certaine importance quand ce mouvement est produit par la propulsion même, quand il s'agit delà dérive dans la marche à la voile. Il semblerait, à première vue, que le couple constant formé par l'action du vent sur les voiles et la résistance à la dérive doive produire une bajide constante, s'ajoutant avec son signe à tous les angles de roulis sans modifier autrement la loi des oscillations : nous verrons cependant que, par suite des variations dans le couple de stabilité, le couple d'inclinaison de la voilure produit un véritable mouvement de roulis.

Les vagues peuvent produire aussi des mouvements de translation sur un bord et sur l'autre. Le navire, surtout le grand navire, en raison de son inertie, ne prend pas immédiatement sous l'action de la poussée le mouvement de rotation de l'eau qui Tenloure; il reste périodiquement en avance ou en retard sur ce mouvement; il est ainsi animé, relativement à l'eau attenante, d'un mouvement oscillatoire que 1^ résistance à la translation tend à éteindre , mais qui doit sans cesse renaître par suite des irrégularités de la houle. Cette translation relative donne lieu à une force de direction variable , appliquée au centre de dérive qui peut faire prendre au bâtiment une certaine inclinaison.

*La résistance par rencontre est la partie de la résistance qui dépend des formes de la carène; la résistance par frottement est celle qui dépend du poli de la surface. Elles sont dtMix fonctions matliématiques différentes de la vitesse. Les réactions correspondantes exercées sur l'eau se transforment d'allleurii, l'une comme l'autre, en frottements moleeulaireL< et finalement on production de chaleur dans le sein de la masse liquide.

— SS- II faut compter enfin, parmi les effets des mouvements de translation propre, les changements qu'ils peuvent apporter à la loi (Je la variation de la poussée hydrostatique en fonction de temps.

18. Les forces que nous venons d'énumérer et de définir sont les seules dont on conçoive Texistence. On a pu croire autrefois que, sur la houle, il y avait à faire une seconde application du principe d'Archimède, en vertu de laquelle l'eau produirait, en sus de la poussée résultante, un couple de rotation faisant tourner les carènes autour de leur centre géométrique. Il a été avancé qu'un volume d'eau, considéré par abstraction comme isolé au milieu des vagues, est animé à chaque instant d'un mouvement de rotation, et, par suite, est soumis à un couple extérieur proportionnel à son moment d'inertie. S'il en était ainsi, le moment du couple en question, quelle que fût son origine, connue ou inconnue, serait également appliqué sur le corps plongé qui se substituerait au liquide considéré. La théorie des vagues, a montré que l'eau ne tounie point, mais qu'elle se déforme; dans cette déformation, les différentes couches tournent en sens opposé. Les poussées ont une résultante unique; la somme de leurs moments est nulle par rapport au point d'application de la résultante. Du reste, cela pouvait s'établir à priori. En effet, la fluidité étant supposée parfaite, il y a équilibre, sur chacune des particules composant une portion d'un fluide, entre les deux forces extérieures, poussée et pesanteur, et la force d'inertie supposée transportée sur la molécule ; le moment de toutes les forces d'inertie par rapport à un point quelconque est donc égal au moment des forces extérieures; ce dernier moment est tout à fait nul par-rapport au centre géométrique du volume, lorsque le volume est assez petit pour que la poussée ait la même intensité et la même direction en tous ses points ; le moment des forces d'inertie est donc alors également nul par rapport à ce centre. Si le volume de liquide est grand, le point d'application de la poussée résultante ne coïncide plus avec celui de la pesanteur, mais les pressions hydrostatiques n'en ont pas moins une résultante unique quoique son point d'application ne soit plus exactement au centre du volume. Ainsi, il faut bien se garder de considérer dans le liquide un moment d'inertie, ce qui suppose le liquide solidifié, au lieu d'un moment des forces d'inertie, ce qui est le cas du, liquide.

19. Parmi les forces exercées par l'eau sur une carène, la poussée hydrostatique est la seule qui soit susceptible d'être calculée mathéma-

tiquement, soit pour le cas de l'eau calme, soit pour le cas de Teau

agitée. La stabilité des navires

en eau calme est le premier de

ses effets que nous ayons à

étudier.

Les principes élémentaires de la stabilité se présentent sous une forme plus claire lorsqu'on les établit d'abord pour un flotteur de forme cylindrique, et qu'on passe de là au flotteur quelconque.

Soient SSS, un segment de cylindre, M, son axe, AB, sa flottaison, et G, son centre de gravité situé au-dessous de M (fig^ 1). Le centre de carène C est situé audessous du point G; cependant le flotteur se trouve en équilibre sous l'action de son poids P, appliqué au centre de gravité, et de la poussée VF, appliquée au centre de carène. En effet, si le cylindre s'incline dans le sens de la flèche, ce que l'on peut représenter en faisant tourner en sens inverse l'eau et la verticale par rapport à lui, le centre de carène passe, dans la carène, du point G au point C, , la nouvelle poussée suit la direction CM ; cette poussée et le poids P forment un couple qui tend à ramener le flotteur à sa première position.

Nous remarquerons sur la figure que la courbe ÇG, formée par les centres des isocarènes correspondant à diverses inclinaisons, est un cercle concentrique au cylindre. Lorsqu'un point G, de cette courbe devient le centre de carène, la poussée qui passe en Ci à ce moment est normale, au point G,, à la courbe des centres de carène.

GherchonsTmaintenant l'expression du moment de couple qui tend à redresser le flotteur cylindrique, c'est-à-dire le moment de stabilité de ce flotteur. En appelant ç l'inclinaison, le bras de levier de ce couple est

— MG sin qr ; le moment est

(51) M=— PxMGsin?»,

ou en appelant p la distance MG et a la distance Jl^fi^ y ÇC.

(52) M = — PO» — a)sinf.

La distance a dépend de la distribution des poids dans le flotteur; la distance p peut se déterminer géométriquement. Prenons le moment ^p de la surface du segment ASB par rapport au point M, en rapportant la figure aux deux axes de coordonnées MZ et MY ; nous avons, en appelant I/o la demi-corde OB, z^ la distance MO, et R le rayon MS,

sp = 2 r

yzdz.

En vertu de l'équation du cercle

nous obtenons

5p = 2 / \/¥^'zdz,

ou, en effectuant l'intégration, ^

Soient l la longueur du cylindre et V le volume du segment immergé; nous avons V = Is, et l'expression précédente peut s'écrire

En appelant F la poussée par unité de volume, égale ici au poids spécifique du liquide, on peut remarquer que l'on a P =;= VF et écrire l'expression du moment de stabilité de la manière suivante :

M = — (jF^Î/'o — Va\ sinç.

Si, du flotteur cylindrique, nous passons au flotteur ayant la forme d'une surface de révolution quelconque dont Taxe est en M, l'axe M jouit encore de la propriété d'être rencontré par la direction de la poussée, quel que soit l'angle de déclinaison 9. Le moment de stabilité se calcule, comme précédemment, en supposant le solide de révolution

décomposé en une série de cylindres ayant tous la môme épaisseur Bx, La valeur de p est, en appelant V le volume de la carène,

Considérons maintenant un flotteur de forme quelconque, et supposons cette fois, au lieu d'inclinaisons finies, des inclinaisons infiniment petites. Les déplacements du centre de carène ne dépendent que du volume total de la carène et de la forme de la flottaison ; rînfluence de la forme des sections transversales s'annule pour des angles infiniment petits. Par suite , le petit arc de la courbe des centres de carène que nous avons à considérer a, pour cercle osculateur, le cercle des isocarènes d'un flotteur de môme flottaison, de volume immergé égal, qui serait un solide de révolution; la direction de la poussée passe par le centre de ce cercle. On peut donc conserver l'expression du moment de stabilité

(52) M = — P (p — a) sin <p,

en attribuant à p la valeur

2 ixzy\

Le métacentre M, ou point d'intersection de la direction initiale de la poussée avec les directions correspondant à des inclinaisons très-petites est, pour un flotteur quelconque, l'axe de figure du flotteur de révolution, auquel le flotteur considéré peut être assimilé au point de vue de sa stabilité initiaie.

Les formules précédentes ont été établies par Euler, en suivant une autre méthode, qui repose sur la considération de la stabilité de formé et de la stabilité de poids, et qui se trouve ainsi la source première des distinctions erronées que l'on a établies plus tard entre ces deux stabilités.

Considérons un navire en équilibre (PI. IV, fig. 1), et supposons qu'il prenne une inclinaison infiniment petite ç. Au lieu de chercher le nouveau point d'application du centre de carène, remarquons que la nouvelle poussée peut être remplacée par trois forces, en considérant la nouvelle carène comme composée de l'ancienne carène de volume V, plus le ménisque immergé AOA', moins le ménisque émergé BOB'. Gea trois forces sont.: la poussée VF appliquée en G, la poussée v¥ appliquée