PLANCHE IV

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Flg4

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Ti^6

en D au centre du ménisque immergé, une force égale et contraire à la poussée v¥ qui était précédemment appliquée en D' au centre de gravité du ménisque émergé. Le couple de stabilité se trouve ainsi remplacé par deux couples, Tun, composé des deux forces vF, qui tend toujours à redresser le navire et que l'on a nommé couple de stabilité de forme, Tautre, composé des deux forces P et VF, qui agit en général dans le sens du chavirement, comme c'est le cas sur la figure, et que Ton a nommé couple de stabilité de poids.

Le moment du premier couple, en conservant les notations précédentes, est, d'après une intégration très-simple,

' (55) |Fçsy«5a?;

le moment du second est

(56) + Va sin f.

En ajoutant ces deux couples, on retrouve pour le couple de stabilité total la valeur déjà obtenue, puisque Tangle 9 peut être substitué au sinus.

La décomposition du couple de stabilité total en couple de stabilité de forme et couple de stabilité de poids n*est qu'un moyen de démonstration, un pur artifice de calcul ; il aurait fallu n'y voir jamais autre chose.

20. Cherchons maintenant les lois du mouvement oscillatoire d'un navire sous l'action du couple de stabilité seul; ces lois doivent s'appliquer au cas où l'on supposerait les amplitudes infiniment petites, puisqu'alors les résistances passives ont un moment d'ordre inférieur à celui du moment de stabilité. Les forces en jeu constituant des couples ; le centre de gravité du flotteur G reste nécessairement immobile.

Le moment des forces appliquées sur le navire est :

(52) . M = — P (p — a) sin y.

Soit "Lmr* le moment d'inertie du navire autour de l'axe passant par le point 6, l'accélération angulaire est déterminée par l'équation

ûCiL^

'aI^]\ - '/^<,y . ^.' /^ ., .. ,.,,

f^y= -XeVV;.6 ^. ,/7r

Ol^^x-^

\ étant la distance du corps à Taxe d'oscillation. ^ ^

Si nous tirons de Téquation (59) Texpression de la vitesse angulaire:

(61) dT'^^'f^^^^''

d*où Ton déduit, en supposant p constant, en intégrant deux fois et en posant

la valeur des angles 9 en fonction du temps

(59) 9 = 9o sin el.

9o est rinclinaison maximum atteinte dans une oscillation sur un bord

ou la demi-amplitude totale. La durée T^ des oscillations simples, ou ^^^ ■"

demi-période du mouvement, est : ^^ ^"

Ces formules s'appliquent à l'oscillation autour d'un axe horizonta quelconque : les axes situés dans les divers plans azimutaux correspondent chacun à une valeur particulière de p et de smr*. L'axe du roulis est celui par rapport auquel la hauteur métacentrique et le moment d'inertie sont minima ; l'axe du tangage, celui par rapport auquel ils sont maxima.

Les équations qui précèdent sont d'un emploi fréquent, à cause de l'analogie habituelle révélée par l'observation, entre les oscillations en eau calme et les roulis à la mer. Elles permettent de se rendre compte, par exemple, des fatigues imposées aux personnes et au matériel par les forces d'inertie développées dans les roulis.

Les forces d'inertie dans le roulis se décomposent, en chaque point, suivant deux directions orthogonales, en forces centrifuges et en forces tangentielles.

La force centrifuge jpJc exercée par un corps de poids p sur ses appuis est : ^

et si. nous remarquons que g évalué en mètres est égal à 9,8088 et que son rapport à tc* peut être remplacé par 1, nous obtenons, pour valeur de la force centrifuge Je par kilogramme de matière,

'—iÏÏ

cos* et.

Le maximum de cette force est atteint lorsque et est égal à 0, ou à un multiple de «ru, c'est-à-dire lorsque Tinclinaison ç est nulle. En calculant ce maximum,

pour les valeurs de r et de Tn qui se rencontrent dans la pratique, on reconnaît que les forces centrifuges ne sont jamais égales quà une faible fraction de la pesanteur *; elles sont peu dangereuses d'ailleurs pour le matériel, parce qu'au moment de leur maximum elles agissent à peu près dans la direction des appuis prévus, pour les corps placés très-loin de Taxe de rotation.

Pour la force d'inertie tangentielle par kilogramme de matière Jt, on trouve, par un calcul analogue, Texpression

Jt = — ^ It sin e^

dont le maximum, atteint lorsque Ton a <p=9o, est

En faisant des calculs numériques*, on reconnaît que, dans la coque même, la force tangentielle peut atteindre le quart du poids sur de petits navires oscillant en 3% et le dixième seulement du poids sur les grands bâtiments oscillant en 10*. Au sommet de la mâturp, la force tangentielle pourrait devenir supérieure au poids. A la force d'inertie tangentielle, s'ajoute toujours une force statique; au moment, en effet, où cette force d'inertie est maximutii, le navire est à sa plus grande inclinaison et les points d'appui qui retiennent les objets dans le sens

* Voir les Données théoriques et expérimentales sur les vagues et le roulis, page 230,

* Idem, page 232.

transversal supportent, de ce chef, Teffort d'une composante de la pesanteur qui peut atteindre la moitié du poids.

Aux forces d'inertie précédentes s'ajoute à la mer, comme cause de fatigue, la force centrifuge engendrée par le mouvement de translation commun aii navire et à l'eau des vagues ; cette force est souvent bien supérieure aux deux autres.

21. Toutes les formules précédentes, déduites de l'équation (60), ne s'appliquent que d'une manière approchée, dans le cas général d'un flotteur non cylindrique ayant un mouvement d'amplitude finie. La valeur de p, donnée par la formule (54), représente le rayon de courbure variable de la courbe des centres de carène pouy le centre de carène correspondant à chaque inclinaison *, ou plutôt le rayon de courbure de la projection CGiC, de cette courbe sur le vertical ; mais ce rayon de courbure, ou rayon métacentrique, n'a plus de rapport avec le bras de levier du couple de stabilité, lorsque le navire n'est pas dans une position d'équilibre. C'est la distance CM, (PL IV, flg. 3) qu'il convient d'appeler hauteur métacentrique et de désigner par p, si l'on veut conserver à la formule

(52) M = — P(p— a)sinç

une signification générale, le bras de levier du couple de stabilité étant GP ou GM, sin ».

Le calcul de la position du point M, ne peut se faire qu'en déterminant celle du point G,, à l'aide des tableaux de déplacement de la carène pour les flottaisons obliques. Bien que les méthodes géométriques employées aient reçu dans ces dernières années de grands perfectionnements, dus surtout à MM. Dargnies et Risbec, le calcul est encore laborieux, et on a généralement avantage à le remplacer paruneexpé"rience de stabilité faite sur un petit niodèle du navire. Le modèle est muni d'un long pendule et d'un arc gradué pour la mesure des inclinaisons ; il porte un axe transversal fileté sur lequel court une lentille pesante qui sert à produire les inclinaisons. On obtient les valeurs trèsexactes des moments P (p— a) sin ç et des angles ç, d'où l'on déduit

' Kn effet l'expression (65) représente le centre de conrbure en question, à la position d'équilibre, quelle que soit la forme du flotteur. Or, cette expression purement géométrique est indépendante de la position du centre de gravité G ; «Ile est donc générale et convient, soit pour les positions où G est situé sur le rayon de courbure, soit pour tous les autrei angles d'inclinaison.

Développée métaeentrique.

celles de p — a, le poids P ayant été mesuré avec une balance ou pris sur le tableau de déplacement. On peut ainsi tracer la courbe ayant les angles 9 pour abscisses et les valeurs de p — a pour ordonnées; de plus la valeur initiale de p, pour <p=0, a été préalablement calculée ; on en déduit la valeur initiale de a pour le petit modèle, et, en ajoutant a, qui est constant, aux diverses valeurs de p — a, on a toute la série des valeurs de p.

La courbe enveloppe MM'M" des directions successives de la poussée, ou développée métacentrique qui est la développée de la courbe des centres de carène GC,Gâ , se trace quelquefois pour étudier la manière dont la stabilité varie quand le navire incline. Il est plus simple, pour se rendre compte des changements de stabilité et de l'approche des positions d'équilibre instable, de tracer des courbes analogues à celle dont 11 était question tout à Theure, dont les angles 9 sont les abscisses, et les valeurs correspondantes de p — a et de (p — a) sin 9, les ordonnées. Ces dernières courbes, appelées œurbes de stabilité, deviennent aujourd'hui d'un usage général.

Il est à remarquer que l'expression (6{)) a été obtenue en supposant le moment du couple de stabilité proportionnel à 9, non à sin 9 ; il résulte de là que cette formule n'est rigoureuse, et la valeur de T^ constante, quel que soit 9, que si les valeurs successives p^ des hauteurs naétacentriques présentent entre elles une certaine variation, de telle sorte que l'on ait, p^ étant la valeur initiale,

( pn — a) sin 9

^ =Po~«,

d'où on tire, pour pn, la valeur croissante quand 9 augmente,

Lorsque p est constant, la valeur théorique de Tn obtenue, en prenant

JU,-^"^*^** / A-^t^ ^e^-*u, ^

deux termes du développement de sin ç, est, pour les valeurs finies de l'angle ç,

^■="kvp^('+ft)-

En pratique, la constance des valeurs de Tn est suiBsamment exacte, pour tous les calculs à faire sur les causes et les effets du roulis.

Lorsque les angles ç ne sont pas infiniments petits, les mouvements d'incîinaisôn sont encore soumis à d*autres influences qui modifient les phépomènes très-simples considérés jusqu'ici. Les flottaisons obliques de là carène ne sont pas des courbes symétriques par rapport au plan longitudinal du navire ; toute inclinaison transversale produit donc un déplacement du centre de carène de l'avant à Farrière et, par suite, une inclinaison du navire dans le sens longitudmal, puisque le centre de carène doit rester au-dessous du centre de gravité. Ainsi, môme en eau calme, tout roulis fait naître un tangage, et réciproquement,* l'effet est bien plus sensible sur une mer à surface ondulée. De plus, le mouvement d'oscillation ayant lieu, non autour d'un axe longitudinal constant, mais autour d'axes obliques et yariables, les vitesses de rotation et le passage d'un axe à l'autre dépendent de la distribution des poids à bord, c'est-à-dire de la forme de l'ellipsoïde d'inertie et surtout de la direction de ses axes. On rencontrerait ainsi, dans une analyse complète duroulis, toutes les complications que présente l'étude du mouvement général des corps dans l'espace.

Les mouvements d'inclinaison se compliquent, môme dans le cas de l'eau calme, d'un mouvement de translation du centre de gravité, parce que les flottaisons successives qui détachent sur le navire des carènes d'égal volume ne sont point toutes à la môme distance du centre de gravité 6. Si le navire s'inclinait de telle sorte que la courbe enveloppe des flottaisons roulât sur un plan horizontal, ce qui laisse la poussée constante, le centre de gravité monterait et descendrait alternativement ; or, ce mouvement de translation ne peut, en raison de l'inertie, ôtre réalisé que si la poussée, c'est-à-dire le volume immergé de la carène, subit certaines variations. Le mouvement total se compose donc de deux mouvements oscillatoires distincts, ayant des périodes différentes, l'un de roulis, l'autre de translation verticale, qui réagissent Tun sur l'autre. Nous avons obtenu les lois du premier de ces mouve-

— ai —

menls considéré seul ; celles du second s'établissent de la manière suivante :

Soient S la surface d'une flottaison quelconque et z la hauteur du centre de gravité, au même instant, au-dessus de la position correspondant à l'égalité entre le poids P et la poussée V8 sur la carène ; l'équation du mouvement est

'»" -T!^ + S)ir = 0,

dont l'intégrale est exactement

z^sz-o sin \/ ^U

Les oscillations, sont donc isochrones, et ont pour demi-période

Le déplacement des navires peut se déduire de T^, la valeur de S étant connue, de même que leur moment d'inertie se déduit de T„, après que la valeur de P {p— a) a été obtenue.

22. Après avoir ainsi rappelé brièvement les principes de la stabilité et des oscillations en eau calme, il faut appliquer au cas de la boule les principes qui ont servi à étudier le mouvement sur l'eau calme<

La poussée hydrostatique F, par unité de volume, varie sans cesse de direction et d'intensité sur une particule d'eau considérée dans la houle. Elle est constamment normale aux couches horizontales ; son angle avec la verticale est l'angle Ô donné en fonction du temps t parles équations (19), (20), (21). Son intensité est formulée par l'équation (18). Il reste, pour avoir à chaque instant la valeur de la poussée totale VF qui s'exerce sur le flotteur, à savoir, d'une part, comment varie avec le temps la position du navire sur la houle ; d'autre part, quelle est la valeur de V, c'est-à-dire suivant quelles lois s'établit le degré d'immersion.

Si nous remarquons, d'une part, que la carène doit toujours être immergée de telle sorte que la poussée totale soit égale et contraire à la résultante du poids et de la force d'inertie du flotteur dans son mouvement de translation, et si nous remarquons, d'autre part, que la poussée est égale à la résultante du poids et de la force d'inertie de l'eau déplacée par le flotteur, nous apercevons de suite la solution de notre

double problème. Toutes les conditions sont satisfaites, si la force d'inertie par unité de masse est la même pour le liquide et pour le flotteur, ce qui suppose le mouvement de translation identique pour tous deux, et si, en même temps, le volume de Teau déplacée est constant et tel que la masse de cette eau soit égale à la masse du flotteur- La dernière condition signifie que le degré d'immersion est le même qu'en eau calme. Cette solution peut' encore être établie plus simplement, en- remarquant que le mouvement du centre de gravité d'un corps ou d'un ensemble de corps ne dépend en rien de la propriété du système en mouvement d'être rigide ou déformable; les pressions du liquide, quelles qu'elles soient, doivent donc imprimer au navire le môme mouvement de translation qu'à l'eau dont il tient la place.

Dans l'hypothèse, où nous restons jusqu'ici, d'un liquide n'opposant aucune résistance au mouvement des corps flottants, les raisonnements qui précèdent prouveraient seulement que le flotteur conserve définitivement le mouvement de l'eau et l'immersion constante , lorsqu'il les a eus à un instant quelconque ; le flotteur pourrait osciller indéfiniment autour de ce mouvement et de cette immersion comme états moyens, sans jamais s'y arrêter. Considérons maintenant, par anticipation, l'effet de la résistance passive qui combat tout mouvement relatif d'un flotteur par rapport à l'eau. La résistance tend, comme la poussée, à faire participer le navire au mouvement de l'eau, mais, de plus, elle s'oppose à tout écart, alternatif aussi bien que permanent, du mouvement du flotteur par rapport à celui de l'eau, et elle agit sans trêve jus^ qu'à ce que les oscillations qui pourraient naître au départ aient disparu. En anéantissant tout mouvement de translation relatif par rapport à l'eau, la résistance passive supprime en même temps les variations alternatives du volume immergé, auxquelles, de plus, elle s'opposerait directement. Nous sommes ainsi conduits à reconnaître que les navires roulant sous l'action d'une houle du travers participent au mouvement circulaire moyen de l'eau déplacée, et qu'ils ont un volume de carène immergé constant, le même qu'en eau calme.

Soit alors V le volun\e immergé, soit P le poids di\navire, égal à V5, soient toujours h la demi-hauteur et L la demi-longueur des vagues; l'expression de la poussée totale VF- en fonction du temps est, d'après l'équation (18)

Bertik.

VF = P^l+-p- — 2^ cose^

La poussée étant dirigée suivant la nonnale à la houle, son bras de levier ne dépend que de l'angle de Taxe GG du navire avec cette normale ; désignons cet angle de roulis relatif par la lettre 7, qui représentait sur l'eau calme l'inclinaison du navire par rapport à la verticale ; la distance du centre de gravité à la poussée est

(p — a) sin 9.

Le moment de la poussée, par rapport au centre de gjavifé, est donc, en fonction du temps t et de l'angle 9,

(68) — P (p — a) sm 9 ^ 1 + -jT — 2 -j- cos tt.

Ce moment devient nul quand le navire est normal à la houle. Dans un liquide non r.ésistant, un flotteur dépourvu de moment d'inertie suivrait exactement la normale à lahoule, ou, du moins, il ne s'en écarterait jamais que de l'angle infiniment petit nécessaire pour produire le moment qui le ramènerait aussitôt à cette position d'équilibre.

Pour retrouver sur la houle le couple de stabilité sous la forme ordinaire, il suffit de tenir compte des forces d'inertie. Si l'on suppose appliqués au centre de gravité G, le poids P, la poussée VF et, de plus, la force d'inertie PJv développée dans le mouvement circulaire (PI. Jff;'îî^ fig. 3), ces trois forces se font équilibre. Le poids P peut ainsi être décomposé en une force centripète, égale et opposée à PJy, qui produit le mouvement de translation, et une force égale et contraire à la poussée VF, qui forme avec cette dernière le couple de stabilité.

Nous avons supposé ici le flotteur assez petit relativement aux vagues pour que la poussée eût la môme intensité et la même direction en tous les points du liquide qu'il déplaçait; nous verrons dans les n** 26, 27, 28, les corrections que doivent subir les équations (67) et (68) pour tenir compte des dimensions des navires.

23. La force F, dont les variations sont exprimées par l'équation (67), est égale et opposée à la pression qu'un corps quelconque de poids 8, , animé du mouvement de translation commun à l'eau et au navire, exerce à bord sur ses appuis en vertu de son poids et de son inertie. En divisant F par 5, on a le poids sensible d'un kilogramme de matière, l'effort qu'exercerait, sur un dynamomètre, un poids d'un kilogramme

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piacé dans le navire près de Taxe de rotation instantané du roulis. Les variations dans la direction, et l'intensité des pressions exercées par les corps les uns sur les autres, qui sont ainsi produites par la force centrir fuge dans le mouvement orbitaire de Teau, méritent d'être calculées exactement. Le rapport de /i à L qui entre dans les expressions (18) et (67) varie de zéro jusqu'à un certain maximum qui paraît être différent pour des houles de longueurs différentes. On a trouvé, pour ce rapport, des valeurs s'élevant jusqu'à 0,15 sur des vagues de 70 mètres de demi-longueur; cependant il dépasse rarement 0,05 sur les vagues de grande longueur capables de produire les grands mouvements de roulis. Si nous attribuons au rapport de /t à L la valeur 0,10, les deux valeurs extrêmes de la poussée, f

î(l-4) et 8(l+4),

sont entre elles comme 0,686 et 1,314 ; elles seraient entre elles comme 0,529 et 1,471 si le rapport de A à L était 0,15. En nombres ronds, la valeur de F varie, dans le prunier cas, d\i simple au double ; dans le second, du simple au triple. En admettant que celte dernière valeur de la variation de F soit un maximum très-rarement atteint, on n'en trouve pas moins que la force centrifuge développée dans le mouvement de translation dépasse, sur la plus grande partie du navire, Fintensité des forces d'inertie dues au roulis; nous reviendrons sur ce point au chapitre V.

Les changements de valeur de F affectent directement la bande quq prend le navire sous l'action du vent.

La pression exercée sur la voilure et les œuvres-mortes a un moment sensiblement constant; si les deux forces constituant le couple de stabilité varient, la bande mesurée par rapport à la normale aux vagueb varie en raison inverse.

Ces changements de valeur du couple de stabilité et de la bande produite par une force extérieure constante augmentent le danger de chavirer; il faut d'autant plus se prémunir contre une bande exagérée sur la houle, que cette bande se produirait par des temps où les grands roulis sont à craindre, et que, par la superposition des deux inclinaisons relativement à la surface de l'eau, on pourrait avoir le long du bord des dénivellations tout à fait exagérées. 11 faut bien tenir compte d'ailleurs de ce que la bande due à l'action du vent, par cela seul

qu'eUe est variable, n'est pas exactement atteinte par le navire. L'inertie retarde les changements d'inclinaisoé. Gomme la stabUité n*est minimum que pendant nn instant, ii y a, pendant cet instant senlement, accélération maximum du mouvement angulaire dans lie sens de l'inclinaison, puis cette accélération diminue et change de seas. Certains bâtiments, par exemple, mettraient à prendre la bande maximum le temps nécessaire pour que la stabilité redevienne elle-même maximum ; ils sont donc loin de pouvoir atteindre cette bande.

En raison des changements d'intensité de la poussée, le navire à voiles prend un mouvement oscillatoire propre autour de sa position d'équilibre variable, en même temps qu'il a son roulis relatif proprement dit résultant du mouvement angulaire de la direction de la poussée. Nous pouvons assimiler les effets de la variation, de bande à ceux d'une houle, en remarquant que la bande a sa valeur moyenne sur les points d'inflexion de la houle, là où la poussée F est égale à S, et qu'elle a ses valeurs extrêmes sur les sommets et sûr les creux. La houle qui imprimerait le rouUs propre occasionné par la variation de bande aurait donc ses creux et ses sommets sur les points d'inflexion de la houle réelle, et ses points d'inflexion sur les creux et les sommets de cette dernière ; son inclinaison serait égale aux écarts de la bande, par rapport à la bande moyenne.

' Le roulis propre total du navire , dû aux actions réunies de la houle et de la variation de bande, étant ainsi assimilé à celui qui résulterait de l'action de deux houles superposées, on peut voir, représentées sur la figure 2, planche 111, les deux houles en question et la houle résultante produite par leur superposition. Dans cette figure, la houle réelle a une hauteur h égale au dixième de la longueur L, la houle imaginée pour figurer l'effet de la variation de bande a une inclinaison maximum de 5*, ce qui suppose une bande de 15* en moyenne, variant de 10" à 20® : la bande a été supposée un peu forte, pour rendre la figure plus claire et l'effet à exprimer plus saisissant

24. Étudions maintenant les effets du couple de stabilité (68) au point de vue des mouvements angulaires qu'il imprimerait au navire si la pesanteur et la poussée hydrostatiques étaient les seules forces en jeu.

Soit, en gardant toujours la même notation, ^ H- ç le roulis absolu ou l'angle du plan diamétral du navire avec la verticale à un instant quelconque, soit imr* le moment d'inertie du navire autour de l'axe lon-

gitudinal passant par le centre de gravité. Le moment des forces d'inertie dans le mouvement angulaire est

L'équation différentielle du mouvement angulaire est :

ou, en développant et en divisant par imr^ :

d'Q d\ P(p — «)| A . \'^* c h elle peut aussi s'écrire :

/ TT Si nous remplaçons la dérivée seconde de par sa valeur (21) :

dr*=-''^UT — jir-—h — v'''''^'

(1 '+"^ j}—,^^r cos st 1 Ujous obtenons l'équation

d»9 P (p — fl) I /. .h'' ^ h . . ,

( 1 + ^ rî' — 27r =- cos en .

dans laquelle il n'entre pas d'autre variable que ç et t.

S'il était possible, comme on Ta souvent cru, d'obtenir les lois du roulis ù un premier degré d'approximation, sans tenir compte de la résistance de l'eau, l'équation (70) serait l'équation exacte de ce roulis approché. Comparons cette équation aux plus connues de celles que l'on a obtenues, en faisant, sur le mouvement de l'eau et sur la translation du navire, diverses hypothèses plus ou moins différentes des lois que nous a données l'équation (70).

Dans la théorie de Daniel BernouUi, qui suppose verticale la poussée

sur les vagues, le terme en sin f est tout d'abord multiplié par le rapport de p à p — a. La direction de la poussée n'étant plus l'objet d'aucune controverse, nous pouvons considérer ce facteur comme abandonné.

Un point commun à toutes les théories établies pour obtenir par intégration l'équation du roulis en grandeur finie, consiste dans la substitution à l'écpiation (70) d'une équation linéaire à coefficients constants, de la forme

(70bis.) -^ + Sç + Q sin 8f = ;

nous allons voir que cette équation diffère radicalement de l'équation (70), lorsqu'il n'est fait aucune hypothèse particulière sur les valeurs de L et du rapport P (p -r- a) à zmr*, c'est-à-dire sur la valeur des périodes d'oscillation T et T^. [ »^. r c*' -- ^' , • j

Posons, en effet, dans l'équation (70),

calculons les variations de ces deux coefficients que l' équation (70 bis) suppose constants, en adoptant successivement pour le rapport de /i à L les trois valeurs de 0,05, 0,10 et 0,15. Les deux valeurs extrêmes de S sont, à un facteur constant près,

ainsi que nous l'avons vu déjà ; les deux valeurs extrêmes de Q sont entre elles, dans le même rapport que

En calculant numériqiiement ces valeurs de S et de 0, que nous nommerons S,, S„ Q,, Qj, nous obtenons le tableau suivant :

▼AtlATION DX 8.

▼▲aiATioN SI Q. 1

St

Qt

à celle du roulis du navire