O.ZZ

/^/\^fâ

Nous voyons que, même sur les vagues au rapport 0,05, le coefficient S et surtout le coefficient Q sont essentiellement variables, et nous sommes ainsi conduits à abandonner complètement Téquation (70 hii).

Les équations (69), (70) , dans lesquelles la résistance de Feau ne figure pas, sont applicables, en toute rigueur, au mouvement dans le vide d'un pendule dont le point de suspension aurait exactement le mouvement de translation du navire ; il faut seulement substituer la demi-période du pendule

Très-approximativement, les équations (69), (70), s'appliquent encore au mouvement dans Tair d'un pendule suspendu à peu de distance de l'axe du roulis du navire. Gela posé , supposons dans l'équation (69) que Tp ait une valeur infiniment grande, l'équation se réduit à

d%^ "*" àx^ — "' ou simplement à

si les constantes introduites par l'intégration sont nulles, c'est-à-dire si, à l'instant initial, le pendule est vertical et immobile. Un pendule d'une période très-longue par rapport à la durée des vagues peut donc servir, à bord, à marquer constamment la direction dfe la verticale absolue.

Si la demi-période Tp est au contraire infiniment petite par rapport à L, l'équation (69) donne :

sin ç = ;

un très-court pendule reste donc constamment normal aux vagues, s'il occupe cette position à l'instant initial.

Cette direction normale à la houle, que conserve un petit pendule , n'est autre que la position d'équilibre d'un pendule quelconque, autour de laiquelle s'exécutent les oscillations propres lorsqu'elles se produisent. Dans cette position d'équilibre, la tension du fil est, comme nous l'avons vu, égale et opposée à la résultante du poids et de la force d'inertie du corps suspendu ; le pendule infiniment court est donc celui qu'il faut prendre, pour mesurer à l'aide d'un dynamomètre la valeur de la poussée hydrostatique à chaque instant, et en déduire l'inclinaison des vagues. Le rapport de la tension du fil au poids p du pendule est égal à celui de la poussée par unité de volume F au poids spécifique de l'eau S , ou à celui de la poussée totale V5 au poids P du navire. Si l'on mesure ainsi le maximum p' et le minimum p" de la tension du fil, on peut déduire de l'équation

une valeur approchée du rapport de /i à L ou de Tinclinaison des vagues.

Deux pendules, l'un infiniment grand, l'autre infiniment petit, installés l'un vis-à-vis de l'autre, jouissent, d'après les principes précédents, de la propriété de faire sans cesse entre eux un angle égal à l'angle avec l'horizon de la portion de vague sur laquelle se trouve le navire à ce moment. Ils constituent l'oscillographe double employé pour relever simultanément les vagues^et le roulis. Le principe de cet oscillographe est une des données intéressantes que la théorie a fournies pour arriver à la connaissance pratique des lois du roulis.

Les équations (69) et (70), qui donnent, sur le mouvement dans l'air d'un pendule placé à bord , des indications si importantes, ne peuvent ' servir à l'étude du mouvement pendulaire du navire lui-même, parce qu'elles ne tiennent pas compte des résistances passives, qui ne sont pas du tout négligeables sur le navire. L'étude du roulis ne peut être abordée qu'après l'exposition des lois expérimentales de la résistance opposée par l'eau au mouvement de la carène. Il nous reste à demander à la théorie les effets de certaines conditions secondaires du mouvement de l'eau qui , sur les navires de dimensions assez fortes par rapport aux vagues, modifient la poussée telle que nous l'avons calculée, et exercent sur l'amplitude des roulis une influence directe.

25. Dans ce qui précède,, nous avons admis que la poussée hydrostatique F avait la môme direction et la même intensité en tous les points de la carène immergée, de telle sorte que la poussée totale sur le navire s* obtenait en multipliant simplement, par le volume de la carène V, la poussée F au point de la vague où se trouve le navire. Or, dans la portion d'une vague qui peut être déplacée par la carène d'un navire , la poussée varie d'un point à l'autre à un instant donné, de même que, sur une molécule d'eau, elle change avec le temps. Par exemple, si la carène est assez grande pour occuper une demi-vague tout eutière, la poussée en ses différents points présentera toutes les directions, depuis la verticale jusqu'à l'angle © avec la verticale, çt toutes les intensités, depuis le maximum jusqu'au minimtim de F. Il résulte de. là que la direction, l'intensité, le point d'application de la poussée totale, ne peuvent être exactement calculés qu'en tenant compte des changements d*intens\té et de direction, soit pour les différents points d'une môme couche horizontale, soit pour les différentes couches horizontales, dans le volume déplacé.

L'influence des dimensions relatives des navires et des vagues devient capitale et peut dominer toute la question, lorsque les navires sont trèsgrands et les Vagues très-petites ; si le navire repose sur plusieurs vagues à la fois, la moyenne de toutes les poussées par unité de volume auxquelles il est soumis , a sensiblement la même direction et la même intensité que la poussée en eau calme, et le roulis reste à peu près nul.

Dans les conditions habituelles , les corrections à faire, pour tenir compte de l'effet des dimensions, présentent encore un sérieux intérêt'.

26. En premier lieu, il faut tenir compte delà courbure des couches horizontales. La moyenne des angles entre la verticale et les poussées élémentaires aux divers points d'un certain arc de trochoïde, est moindre que^ l'angle maximum qui se rencontre sur l'arc considéré, et peut être regardé comme égal à celui de la corde de l'arc avec l'horizon ; l'angle maximum de la poussée résultante avec la verticale est , par suite, moindre que l'inclinaison e des vagues au point d'inflexion.

Considérons un navire ayant son axe sur le point d'inflexion d'une

"^' vague (pi. ,Hf*, fig. 4), Soit dans la carène un petit prisme transversal

^ quelconque , ayant ime longueur d d'un bord à l'autre de la carène ;

* Les calculs relatifs à ces corrections, que nous allons résumer, se trouvent développés dans le Complément à V étude »ur la houle et le rouUêj et dans les Donnée» théoriqueê et expérimentales sur la houle et le roulis. ^-*-f -«^f»".

appelons ii le coefficient par lequel il faut multiplier rinclinaison e de la vague, pour avoir Tangle de la poussée résultante sur ce prisme avec laverticale.il s* agit de connaître la moyenne des valeurs de f* pour toute la carène. Le calcul étant fait pour le passage du flotteur au point ' d'inflexion, il est permis d'admettre que, dans toutes les autres positions du flotteur, l'angle de la poussée résultante VF avec la verticale est réduit, par rapport à l'angle- de la. normale à la vague, dans la même proportion qu'au point d'inflexion, c'est-â-dire que la valeur du coefficient p est indépendante du temps dans l'équation du roulis; la même remarque s'étend aux coefficients calculés dans les numéros qui suivent.. Le tableau suivant, déduit de l'équation des trochoïdes pour des vagues présentant les deux valeurs usuelles du rapport de /i à L, donne les valeurs de f* correspondant à divers rapports de d à L ; il permet 'de tracer des courbes d'interpolation donnant toutes les valeurs intermédiaires.

TAMOtS DO COBIFICIBUT (A. 1

l« cas, ■— = 0,06

la

2» cas, — = 0,10 Là

Les courbes d'interpolation étant tracées, le calcul de f*, pour une carène tout entière , consiste à prendre la valeur de /* pour une série d'ordonnées équidistantes réparties en nombre suffisant sur toute la carène, à multiplier chaque valeur de f* par l'ordonnée d correspondante, à faire la somme des produits, i:du , à là diviser par la somme des ordonnées srf.

Le tableau ci-dessus montre qu'avec les rapports de h à L les plus

intéressants pour Tétude du roulis, le coeJGficient ^ change peu en fonction de l'inclinaison des vagues; une seule courbe de valeurs de Il suffit donc pour les diverses inclinaisons de vagues que Ton peut considérer. D'après cette remarque, il est permis de calculer la valeur de fz sur une houle donnée , en opérant comme si toutes les couches horizontales avaient la môme inclinaison \ l'influence du défaut de parallélisme des différentes couches est exprimée tout entière par le second coefficient ;*' étudié au numéro suivant.

En raison de la courbure de la flottaison en particulier, le volume immergé de la carène comprend, du côté des sommets ^ un petit segment, situé au-dessus du plan de flottaison moyen qui aurait pour profil la corde de la trochoïde supérieure; de môme, du côté des creux, le volume de carène ne comprend pas un petit segment au-dessous de ce même plan. Dans le calcul du coefficient /*, j'ai jusqu'ipi négligé cet effet, le considérant comme d'un ordre inférieur à ceux ^ont il est tenu compte*

27. L^inclinaison des couches rencontrées par la carène d'un navire diminue quand la profondeur augjnente (pi. 111, flg. 5). L'angle de la poussée iivec la verticale est donc moins grand qu'il ne serait si toutes les coucjies étaient parallèles à celle de la superficie. Pour calculer exactement cette seconde correction, il faudrait, à la rigueur, refaire, pour \eé trajectoires orthogonales des couches horizontales , la môme opération qui a été faite pour les couches horizontales dans le calcul de fx; cela exigerait un travail considérable, parce que l'on ne possède pas d'avance de tableaux des ordonnées de la carène des navires perpendiculairement à la flottaison.

On simplifie le travail en remarquant qu'il s'agit, en somme, de prendre une moyenne entre les inclinaisons des couches horizontales qqe la carène traverse, après avoir attribué à chacune un coefficient d'importance proportionnel au volume occupé par la carène dans cette couche. Cette opération, si l'on admet que les inclinaisons diminuent proportionnellement à la profondeur, donne comme résultat l'inclinaison de la couche qui passe par le centre géométrique de carène. Si donc on nomme ©m l'inclinaison corrigée, z étant la distance du centre de carène du navire à la flottaison, on tire immédiatement des équations (22) et (24), ^^ .

sin &n sin

^ sm © L

La hauteur des vagues h n'entre pas dans cette formule; le rapport des deux sinus est indépendant de Tinclinaison 8.

En substituant le rapport du sinus à celui des angles qui n'en difiFère pas notaBlement et en appelant /*' le coefficient correcteur égal au rapport de 001 à 0, on a

(72) logV= — 'tM^ = — 1,3643705^.

La valeur de z est donnée par les calculs de déplacement faits pour tous les navires; on obtient donc f*' par un calcul très-simple. Le tableau suivant contient une série de valeurs toutes calculées, assez rapprochées pour permettre de tracer une courbe qui fournisse les valeurs intermédiaires :

28. En troisième lieu, la poussée par unité de volume étant plus grande sur chaque couche de niveau, près du fond des vagues que près du sommet, le centre de poussée, pour le volume compris entre deux surfaces voisines parallèles à la superficie, n'est pas situé à mi-largeur; il tombe plus près du fond et plus loin de la crête que le centre géométrique du volume. Soient c' le point d'application de la poussée sur une petite tranche horizontale de volume aV et c le centre géométrique de ce volume (pL III, fig. 6): appelons Ç. la distance oc', La poussée F aV appliquée au point o' peut être remplacée par la poussée FaV appliquée en c, plus un couple ayant pour bras de levier la distance Ç et pour moment F. aV. Ç; ce couple agit en sens inverse de l'inclinaison des vagues, c'est-à-dire dans le sens du redressement des navires.

Si l'on considère la carène tout entière d'un navire placé sur le poiril d'inflexion des vagues et que Ton nomme Ç la dislance G G' pour la poussée résultante VF, on voit que l'effet du couple de redressement considéré équivaut à une diminution ^ de l'angle de la poussée avec la verticale, qui est donnée par l'équation

VF(p — a)siri^ = VFS;

en substituant l'arc au sinus, on tire de là

• p — ^ L'inclinaison e des vagues doit être remplacée par

en d'autres termes, elle doit être multipliée par le coefficient de réduction pi" donnée par l'équation

En remplaçant l'angle e par son sinus -r-, cette expression devient :

(73) ^"=='-èljér-a

11 faut calculer les valeurs de Ç. Soit toujours d la longueur de la corde d'un arc de trochoïde pris sur une couche horizontale moitié à droite, moitié à gauche du point d'inflexioQ ; le rapport de Ç à d pour cet arc est une fonction du rapport de d à L, la loi entre ces deux quantités dépendant d'ailleurs de Tinclinaison des vagues. Le rappori de Ç à L est également fonction du rapport de rf à L. G'est le rapport de Ç à L qui peut le mieux se déterminer et qui sert ensuite à déterminer Ç. Le tableau suivant donne une série de valeurs numériques obtenues par des procédés graphiques, suffisamment rapprochées pour permettre

Ç de tracer une courbe donnant toutes les valeurs intermédiaires de -r-

d en fonction de |-dont on peut avoir besom :

pour - rr: 0,10

pour — = 0,06

Là

La première partie de ce tableau est celle qui doit servir le plus souvent dans la pratique, les ordonnées des carènes ne dépassant guère le quart des demi-longueurs de vagues.

La valeur de Ç pour l'ensemble d'une carène se déduit des valeurs particulières pour toutes les ordonnées équidistantes d, en prenant une moyenne proportionnelle aux valeurs de d, comme on a fait pour obtenir p.

29. Le calcul de l'influence des dimensions relatives du navire par rapport aux vagues considérées consiste, d'après ce qui vient d'être vu, dans l'estimation des trois coefficients fA, f*', f*", très-différents d'importance, par lesquels il faut multiplier l'inclinaison de la vague ; on substitue ensuite, à la vague réelle ©fif*'/', la vague inclinée de l'angle. Cette correction faite, la poussée hydrostatique suit les lois établies pour le cas d'un flotteur inflniment petit.

Nous ferons observer que, si ^' est facile à obtenir, le calcul de f* et de f*" est au contraire très-laborieux; il faut relever sur une courbe une ordonnée particulière convenant à chacune des ordonnées d de la carène prises d*un bord à l'autre ; il faut ensuite établir une moyenne proportionnelle entre toutes les valeurs de f* et de Ç, en tenant compte de la fraction du volume de carène à laquelle chaque valeur de p ou de ç s'applique. Quand on a obtçnu, en faisant les calculs pour divers navires, un certain nombre de valeurs particulières de f* et de Ç, on

peut trouver approximativement toutes les autres par interpolation, en admettant, ce qui est assez exact grâce à l'analogie des formes entre toutes les carènes, que pi et 5 sont des fonctions continues de la largeur moyenne de la carène /„ et des dimensions des vagues; la largeur 1 moyenne /^ est égale au quotient du volume de la carène par la surface j du plan longitudinal immergé. J

Remarquons, en terminant, que nous n'avons considéré que des corrections portant sur la direction et le point d'application de la poussée, parce qu'elles sont les seules qui aient une influence sur la position d'équilibre à chaque instant. L'intensité de la poussée présente sans doute, elle aussi, de légers écarts par rapport à la valeur donnée par l'équation (67), mais ces écarts, d'ailleurs très-faibles, influent sur le degré d'immersion et sur le mouvement de translation, sans modifier en rien la position angulaire pour laquelle le moment du couple de stabilité est nul. Si le navire ne'suit pas mathématiquement le mouve^ ment circulaire des molécules de la surface, mais bien une certaine trajectoire moyenne entre celles des molécules qu'il.déplace, il en résulte une très-légère modification dans la relation entre e et « et par suite dans les lois du roulis; la correction à faire de ce côté ne paraît pas mériter l'attention.