I.f.ttsf. III, page
« Pour estimer la probabilité du retour d'un événement qui déjà s'est reproduit périodiquement plusieurs fois de suite, il faut diviser le nombre de fois que l'événement a été observé , augmenté de T unité, par le même nombre augmenté de deux unités, a
Cela revient à dire que, si nous représentons le nombre de fois que l'événement est arrivé, par un même nombre de boules blanches que nous jetons dans une urne, en y ajoutant encore une boule blanche et une boule noire; la probabilité de la reproduction de l'événement sera égale à celle du tirage d'une boule blanche.
Chaque reproduction de l'événement observé équivaut, par conséquent, à la mise d une nouvelle boule blanche dans une urne, où se trouvaient déjà, avant le commencement des épreuves, une boule blanche et une boule noire.
Page 21.
« Pour calculer la probabilité qu’un événement, observé nn nombre quelconque de fois de suite, se reproduira encore plusieurs fois, nn doit suivre cette règle : La probabilité vaut une fraction qui a, pour numérateur, le nombre des observations faites plus i ; et, pour dénominateur , le même nombre plus i , et plus encore le nombre de fois que / événement doit se reprotluire. »
En usant de la comparaison faite précédemment , nous dirons que les choses se passent comme si chaque reproduction de l'événement observé répondait à la mise d’une boule blanche dans une urne, où se trouvaient déjà, avant le commencement des épreuves , une boule blanche et autant de boules noires que l'événement observé est supposé devoir encore se reproduire de fois.
Quand un événement a été observé m fois de suite, par exemple, on a, pour la probabilité que cet événement se reproduira encore n fois,
P = OT - 4 m -+- n -t- i
La probabilité est la même, comme nous l’avons vu, que celle de prendre une boule blanche dans une urne qui contiendrait autant de boules blanches que l’événement a été observé de fois plus une, cl autant de boules noires que l'événement attendu doit se reproduire de fois.
Si, dans la formule précédente, on regarde les quantités P, m et n comme trois variables, on aura l'équation d’une surface du second degré. Cette surface est du genre de celles qu’on nomme surfaces réglées; car on peut y appliquer une ligne droite dans toute son étendue, parallèlement au plan des coordonnées m et n. En faisant, en effet, P constant, il ne reste plus que l’équation d'une ligne droite, qn'on peut écrire de la manière suivante
d'oü
= constante.
Pour que la probabilité que l'événement, arrivé m fois, se reproduise encore n fois, reste toujours la même, il faut donc qu'on ait cette relation très-simple.
Lettre IV , page 25.
« En général , la probabilité qu'il existe une cause qui nécessite la reproduction d'un événement observé plusieurs fois de suite, croit beaucoup plus rapidement que la probabilité du prochain retour de cet événement. »
NOTES
Nous essaierons île démontrer mathématiquement cette proposition. Quand un événement a été observé x fois de suite, on a, pour la probabilité de la reproduction de cet événement ,
Cette équation appartient à une hyperbole dont voici la forme :
Pour i = ce , on a y = 1 ; c'est-à-dire qu’après nn nombre infini d’ob servations, la probabilité se change en certitude. Pourx — o. c’est-àdire avant d'avoir commencé les épreuves, la probabilité est j ; ce qui caractérise l’état de doute sur ce qui va arriver.
Pour la probabilité que l'événement n'a pas été produit au hasard, mais qu'il a été facilité par des causes, on a
C'est l'équation d'une logarithmique. Pour x = ao , on a y = I ; ainsi, après la reproduction indéfinie de l'événement, il V a certitude que cet événement dépend de certaines causes. Pour x=o. on a y = J , ce qui caractérise également le doute où l'on se trouve, avant les épreuves, sur l'existence ou la non-existence d'une cause favorable à la reproduction de l'événement.
NOIES
Les deux probabilités convergent donc vers ta certitude , à mesure que l'événement se répète plus de fois , mais d'une manière inégalement rapide. I-a dernière probabilité croit le plus rapidement.
En effet, pour une même valeur de y, on a
ou bien
- — -t -, d’où 2' M " = x + 2;
Celte équation entre les deux variables x et x', est encore celle d’une logarithmique.
L«s probabilités sont donc égales :
Pour l'riiiIrMe d*«M eau se : fuir le retour 4* l'evenement :
Après
événement.
Après
2 événements.
Id.
id.
Id.
id.
Id.
id.
Id.
id.
Id.
id.
Id.
id.
Id.
id.
id.
On peut voir dans l'ouvrage de M. Cournot , Exposition de la théorie des chances et des probabilités, Paris, 1813, p. 133, les observations qui ont été faites par ce savant contre la formule
que l'on a nommée la règle de Bayes.
Letthe VII, page 40.
• C'est auprès d'une table de jeu qu elle a reçu le jour. »
Voici ce qu'on lit dans le discours sur la vie et les ouvrages de Pascal, par Bossut, auteur de l'Essai sur l'histoire générale des mathéma-
NOTES
tique». « Les memes principes donnèrent naissance à une nouvelle branche de l’analyse, qui a été très-féconde dans la suite, et c'est encore à Pascal qu'on en doit les éléments. Cette branche est le calcul des probabilités dans la théorio des jeux de hasard. Le chevalier de Méré, grand joueur, nullement géomètre, avait proposé sur ce sujet deux problèmes à Pascal. L’un consistait à trouver en combien de coups on peut espérer d'amener sonnez avec deux dés; l'autre, à déterminer le sort de deux joueurs après un certain nombre de coups, c’est-à-dire, à fixer la proportion suivant laquelle ils doivent partager l'enjeu, supposé qu'ils consentent à se séparer, sans achever la partie. Pascal eut bientôt résolu ces deux questions. Il n'a pas donné l'analyse de la première; on voit seulement par l'une de scs lettres à Fermât, que, suivant le résultat de son calcul , il y aurait du désavantage à entreprendre d'amener, en vingt-quatre coups, sonnez avec deux dés; ce qui est vrai, en effet, comme il est également vrai qu'il y aurait de l'avantage à tenter la même chose en vingt-cinq coups. Mais il nous a laissé relativement à la seconde question , un écrit pour déterminer en général les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties; et il a encore traité la même matière dans ses lettres à Fermât. Le chevalier de Méré, qui avait résolu , avec le secours de la logique naturelle, quelques cas particuliers et faciles de ces problèmes, incapable d’apprécier les recherches de Pascal , mais enorgueilli d'y avoir donné occasion , se cnit en droit de les rabaisser ; et poussant à l'excès la risible liberté que la plupart des gens du monde s'arrogent de tout juger, de tout improuver, sans avoir rien approfondi , il osa écrire à Pascal que les démonstrations de la géométrie sont le plus souvent fausses; qu elles empêchent ([entrer dans des connaissances plus hautes qui ne trompent jamais ; qu elles font perdre dans le monde l'avantage de remarquer à la mine et à [air des personnes ipi on voit, quantité de choses qui peuvent beaucoup servir, etc. Si cette lettre ridicule a quelque sens, on entrevoit que l'auteur regarde l'art de saisir les faiblesses des hommes et d'en profiter , comme la suprême science; opinion d'une Aine vile et dépravée que personne n'oserait énoncer ouvertement; on sent que le juge-
ment du chevalier de Méré sur les découvertes de Pascal ne pouvait exciter que la pitié, et non pas l'indignation. Fermât, lloberval et les autres grands géomètres du temps, applaudirent à ces mêmes découvertes, et leur suffrage eût consolé l'auteur, s'il avait eu besoin de l'être. »
NOTES
Lettre VII, page 43.
o II faut, dans toute espèce de jeu ou de pari équitable, que les espérances mathématiques des joueurs soient égales. »
Soient p et p' les probabilités de gagner des deux joueurs; » et »' les sommes qu'ils exposent respectivement; on doit avoir, pour que la partie soit équitable, la proportion
Et on en déduit p. *'=p'. ». La quantité p. »' est l’espérance mathématique du premier joueur, et p'. s est l’espérance mathématique du second joueur. Ces quantités sont donc toujours égales si les mises ont été proportionnelles aux probabilités de. gagner qu’avaient les joueurs.
Quand on joue à la loterie, cette égalité n’existe pas. En nommant s la somme exposée par le joueur, et s' la somme qu’il espère gagner, on trouve que «’ est toujours moindre que la valeur exigée pour l'égalité, et d'autant moindre que le rapport de s’ à * est plus fort. Le tableau suivant l'indiquera suffisamment; il est construit d'après les bases qui règlent la loterie de France.
