n — n'c~" Y / 'im ( 1 -jj- h- — — — \ etc

r est le rapport de la circonférenee au diamètre, et e est la base des logarithmes népériens. Or, dans l’usage que nous ferons de cette formule, nous supposerons toujours n assez grand pour qu’on puisse réduire le second membre de cette formule h son premier terme. Le terme général du développement du binôme deviendra ainsi

ni" tr~ V irm

n" e~" V 2 xn X (ni — nj* ’ e~" f “ V ir ( m — n)

Telle est la formule qui fait connaître le nombre des chances que

* Cette formule, due à Slierlinp, est fréquemment employée dan» le calcul des probabilités. Voyc* Laplace, Théorie analjrtu/ue des probabilités , |». 129 j et Poisson, Recherches sur les probabilités des jugements , p. 175.

NOTES

chaque événement présente en sa faveur; elle se rapporte ici an nombre des chances de l'événement composé où A arrive m— n fois . et U un nombre n de fois.

Examinons d’abord quelle serait la valeur du terme maximum dans notre développement. Ce terme se trouvant à égale distance des extrêmes, on auran = — ; et, en substituant dans la formule précédente, il viendra

terme moyen = 2"

Or, cette quantité, divisée par somme de toutes les chances, donnera la probabilité du terme moyen P, qui sera

On voit que celte probabilité décroît en raison inverse de la racine carrée de m. Cest-à-dire que la probabilité que les deux événements sont en même nombre et se contre-balancent, se trouve être en raison inverse de la racine carrée du nombre des observations. Plus le nombre des observations augmente et plus la probabilité du terme moyen diminue.

Comparons maintenant la probabilité d'un événement composé quelconque , à celle du terme moyen , on aura

m" e~" Ÿ inn

n“e "V ira x (m — K2v(wi- «)

En réduisant, on trouve

Taisons m =n + «’ et remarquons que le numérateur multiplié par P

NOTES

est uno quantité constante que nous pouvons représenter par C, l'équation prendra cette forme plus simple

Cette dernière expression montre que la probabilité d’un événement composé quelconque est inversement proportionnelle au produit de ses distances aux deux extrémités du développement du binôme, ces distances étant élevées respectivement aux puissances désignées par leur rang plus 1 s.

Pour tout autre développement du binôme à la puissance n, on aurait également

Posons /*= ma, et faisons aussi y=na et/=n’a; l'ordonnée qui représente le terme général, sera élevée, sur l'axe des abscisses, au point correspondant h celui occupé par l'ordonnée de la première ligne. Or, ces substitutions dans la formule donneront

/ \ mi-

Les quantités n et m étant très-grandes en comparaison de l’unité, on peut écrire

' n" - *" * . n' nV!

Cette dernière quantité n’est autre que la valeur de —y— élevée à

NOTES

la puissance a. On a donc

A cause de « = mi, on a encore

Dans notre table C de la page 373, nous avons calculé toutes les valeurs appréciables de

ou P-+I ,

en prenant P pour unité. Ces rapports conviennent donc, pour une autre courbe quelconque, après qu'on les a élevés à la puissance a, et ils répondent respectivement à des ordonnées semblablement situées sur les aies m et <«.

Dans cette même table, nous avons pris, pour unité, la plus grande ordonnée, rien netupéche d'en faire autant pour une autre courbe, et l’on a

Nous allons voir maintenant comment on peut effectuer le

passage du fini à l'infini, ou substituer & la considération d'un nombre de chances limité un nombre de chances infiniment grand. Nous avons vu que, pour passer d'une ordonnée à la suivante, il fallait écrire

or, »> est l’axe entier des abscisses que nous représentons par 9m, , en comptant à partir de l'ordonnée du milieu ; et, en comptant aussi de là les abscisses, nous aurons n—m, — x, ce qui donnera

De l’ordonnée y„ , , retranchons celle qui suit immédiatement,

Le signe du second membre dépendra de ce qu’on aura y^, plus ou moins grand que y„; nous prendrons ici le signe — .

En considérant la différence des ordonnées du premier membre , dans le passage du fini à l’infini, comme exprimant la tangente de la courbe, leur distance étant prise pour unité, on aura

dy 2x

dx m, — x

en remarquant d’ailleurs que m, et x sont des quantités infinies par rapport à notre unité. Mais ces quantités différent considérablement entre elles; les ordonnées n’ont une valeur appréciable que dans le voisinage de l’ordonnée du milieu , quand on suppose les éprouves infiniment multipliées; on peut donc , dans le dénominateur , négliger x sans erreur sensible, en présence de m,; on a définitivement

dy

dx

Pour intégrer, on écrira

d'nù

lng. y =

'Ixilr

-f- constante.