DE LA NOTION DE L'ÉTENDUE

Mais ces philosophes ne s'aperçoivent pas des suites fâcheuses qui découlent naturellement de la différence qu'ils mettent entre les objets formés en abstraction et les objets réels; et s'il n'était pas permis de conclure des premiers aux derniers, aucune conclusion et aucun raisonnement ne sauraient plus subsister , puisque nous concluons toujours des notions générales aux particulières.

Or, toutes les notions générales sont aussi bien des êtres abstraits que l'étendue géométrique; et un arbre en général, ou la notion générale des arbres, n'est formé que par abstraction, et existe aussi peu hors de nos esprits que l'étendue géométrique. La notion de l'homme en général n'existe nulle part; tous les hommes qui existent sont des êtres individuels , et répondent à des notions individuelles ; l'idée générale qui les renferme tous n'est formée que par abstraction.

Le reproche que ces philosophes font continuellement aux géomètres , qu'ils ne s'occupent qu'à des choses abstraites , est donc bien mal placé, puisque toutes les autres sciences roulent principalement sur des notions générales, qui ne sont pas plus réelles que l'objet de la géométrie. Le malade en général que le médecin a en vue, et dont l'idée renferme tous les malades réellement existants, n*est qu'une idée abstraite ; et même le mérite de chaque science est d'autant plus grand qu'il s'étend à des notions plus générales, c'est-à-dire plus abstraites.

L'ordinaire prochain , j'aurai l'honneur de marquer à Voire Altesse à quoi aboutissent ces reproches que les philosophes font aux géomètres, et pourquoi ils ne veulent pas permettre qu'on attribue aux êtres étendus réels, c'est-à-dire aux corps existants, les propriétés qui conviennent à l'étendue en général, ou à l'étendue abstraite. Ils craignent que leurs principes de métaphysique n'eu souffrent.

26 avril 1761.

LETTRE LV

Sur la divisibilité à l'infini de l'étendue.

La controverse entre les philosophes modernes et les géomètres, dont j'ai eu l'honneur de parler à Votre Altesse, roule sur la divisibilité des corps. Cette propriété est sans doute fondée sur l'étendue; et ce n'est qu'en tant que les corps sont étendus qu'ils sont divisibles, et qu'on les peut diviser en parties.

Votre Altesse se souviendra qu'en géométrie on peut toujours partager une ligne en deux parties égales, quelque petite qu'elle soit. On y enseigne encore comment on doit diviser une petite ligne, comme ai, en autant de parties égales qu'on veut; et la construction de cette division y est démontrée en sorte qu'on ne saurait pas douter de sa justesse.

On n'a qu'à tirer à la ligne ai (fig. 90) une ligne parallèle AT, a 9 p p E ,F f F 7 grande et à quelque distance qu'on veuile,

et y transporter autant de parties égales, AB, BC, CD, DE, etc., en combien de parties égales la petite ligne donnée doit être divisée, par exemple en huit. Ensuite on tire, par les extrémités A, a, I, t, les lignes droites AoO, ItO, jusqu'à ce qu'elles se joignent en 0; et par ce point 0 on mène, vers Fig. 90. tous les points des divisions B, C, D, E, etc., les lignes droites OB, OC, OD, OE, etc, qui couperont en même temps ia petite ligne ai aussi en huit parties égales.

Cette opération réussit , quelque petite que soit la ligne proposée a*', et quelque grand que puisse être le nombre des parties. Il est bien vrai que l'exécution ne nous permet pas d'aller trop loin ; les lignes que nous tirons ont toujours quelque largeur par laquelle elles se confondent, comme Votre Altesse peut le voir dans la figure près du point 0; mais il est question ici de ce qui est possible en soi-même , et non de ce que nous sommes en état d'exécuter. Or, dans la géométrie les lignes n'ont aucune largeur, et ne se confondent par conséquent jamais. De là il s'ensuit qu'une telle division n'e3t limitée par aucune borne.

Dès que Votre Altesse m'accorde qu'une ligne peut être divisée en mille parties , en partageant chaque partie en deux , elle sera aussi divisible en deux mille parties , et par la même raison en quatre mille parties , et puis en huit mille , sans qu'on parvienne jamais à des parties si petites qu'on ne puisse plus diviser. Quelque petite qu'on conçoive une ligne, elle est divisible en deux moitiés, et ensuite chaque moitié encore en deux, et chacune de cellesci encore en deux, et ainsi de suite à l'infini.

Ce que je viens de dire ici d'une ligne s'applique aisément à une surface, et encore à plus forte raison à un solide doué de toutes les trois dimensions en longueur, largeur et profondeur. De là on dit que toute étendue est divisible à l'infini, et cette propriété est nommée la divisibilité à Y infini.

Quiconque voudrait nier cette propriété de l'étendue serait obligé de soutenir qu'on en viendrait enfin à des parties si petites, qu'elles