DU GROSSISSEMENT DES LUNETTES

doute sera dissipée ; pour cet effet, je renfermerai ce que j'ai à dire dans les propositions suivantes :

I. Soit Ee {fig. m) l'objet situé sur l'axe de la lunette qui traverse les deux verres perpendiculairement par leurs milieux. Or, il faut considérer cet objet Ee comme infiniment éloigné.

Fig. 174.

II. Donc , si l'œil placé en A regarde cet objet, il le verra sous l'angle EAe, nommé son angle visuel. Et ainsi il faut prouver qu'en regardant ce même objet par la lunette , il paraîtra sous un plus grand angle , et exactement autant de fois plus grand que la distance de foyer du verre objectif PAP surpasse celle de l'oculaire QBQ.

III. Comme l'effet de tous les verres consiste à représenter les objets dans un autre lieu et avec une certaine grandeur, nous n'avons qu'à examiner les images qui seront successivement représentées par les deux verres , dont la dernière est l'objet immédiat de la vue de celui qui regarde dans la lunette.

IV. Or, l'objet Ee étant infiniment éloigné du verre convexe PAP, son image sera représentée derrière le verre en F/", de sorte que AF soit égal à la distance de foyer du verre; et la grandeur de cette image Ff est déterminée par la ligne droite f\e, tirée de l'extrémité de l'objet e par le milieu du verre A : par où l'on voit que cette image est renversée , et autant de fois plus petite que l'objet que la distance AF est plus petite que la distance AE.

V. Maintenant cette image Ff tient lieu de l'objet, par rapport au verre oculaire QBQ; puisque les rayons qui tombent sur ce verre sont ceux mêmes qui voudraient presque former l'image F/", mais qui sont interceptés dans leur route par le verre concave QBQ ; de sorte que cette image n'est qu'imaginaire : l'effet en est cependant le même que si elle était réelle.

VI. Cette image Ff, que nous regardons à présent comme un objet, se trouvant à la distance de foyer du verre QBQ, sera transportée presque à l'infini par la réfraction de ce verre. La figure précédente marque celte nouvelle image on Gg , dont la distante AG doit être

:>28 TROISIÈME PÀfcTIfc. — LETTRE LXXÎII.

conçue comme infinie, et les rayons réfractés pour la seconde fois par le verre QBQ tiendront la même route comme s'ils venaient effectivement de l'image Gg.

VII. Cette seconde image Gg étant donc l'objet de celui qui regarde par la lunette, on en doit considérer la grandeur. Pour cet effet, puisqu'elle naît de la première image Ff par la réfraction du verre QBQ, suivant la règle générale, on n'a qu'à tirer par le milieu du verre B une ligne droite qui passe par f de la première image, et la ligne marquera en g l'extrémité de la seconde image.

VIII. Que le spectateur tienne à présent son œil en B; et puisque les rayons qu'il reçoit tiennent la même route, comme s'ils venaient effectivement de l'image G<;, elle lui paraîtra sous l'angle GB#, qui est visiblement plus grand que l'angle EAe, sous lequel l'objet Ee paraît à la vue simple.

IX. Pour mieux comparer ces deux angles, il est d'abord clair que l'angle EAe est égal à l'angle FA/", qui lui est opposé par la pointe ; de la même manière l'angle GBg est égal à l'angle FBf, puisqu'ils sont aussi opposés par la pointe en B. Il s'agit donc de prouver que l'angle FB/ surpasse la ligne FXf autant de fois que la ligne AF surpasse la ligne BF, dont celle-là AF est la distance de foyer de l'objectif, et celle-ci BF la distance de foyer de l'oculaire.

X. Pour prouver cela , il faut recourir à certaines propositions tirées de la géométrie sur la nature des secteurs. Votre Altesse se souviendra qu'un secteur est une partie d'un cercle renfermée entre deux rayons CM et CN, et un arc ou portion de la circonférence MN. Et ainsi, dans un secteur, il y a trois choses à considérer : 1° le rayon du cercle CM ou CN ; 2° la quantité de l'arc MN ; et 3° l'angle MCN.

XI. Considérons maintenant deux secteurs MCN [fig. 475) et racn, dont les rayons CM et cm soient égaux entre eux ; et il est prouvé, dans les éléments de géométrie, que les angles C et c tiennent entre eux le même rapport que les arcs MN et mn; ou bien l'angle C est autant de fois plus grand que l'angle c, que l'arc MN est plus grand que l'arc mn; mais, au lieu de celte façon de parler peu commode , on se sert de celle-ci : les angles C et c sont proportionnels aux arcs MN et mn, lorsque les rayons sont gaux .

Fig. 175. ' Xll. Considérons aussi deux secteurs MCN et

mcn {fig. 176), dont les angles C et c soient égaux entre eux, mais les rayons inégaux ; et il est prouvé, dans la géométrie , que Tare MN est autant de fois plus grand que l'arc mn que le rayon CM est plus grand que cm; ou bien on dit que les arcs sont proportionnels aux rayons, lorsque les angles sont égaux. La raison en est évidente, puisque chaque arc contient autant de degrés que son angle, et que les degrés d'un grand cercle sont plus grands que ceux d'un petit cercle autant de fois que le grand rayon surpasse le petit.

XIII. Considérons enfin aussi le cas où, dans les deux secteurs MCN et mcn (fig. 477), les arcs sont égaux entre eux , savoir , MN = mn , et les rayons CM et cm inégaux.

Dans ce cas l'angle C, qui répond au grand rayon CM, est plus petit; et l'angle c, qui répond au petit rayon cm, plus grand, et cela dans le même rapport que les rayons : ou bien l'angle c est autant de fois plus grand que l'angle C, que le rayon CM est plus grand que le rayon cm : ou bien, pour parler en géomètre, les angles sont réciproquement proportionnels aux rayons lorsque les arcs sont égaux.

XIV. Cette dernière considération me conduira à mon but en y ajoutant cette réflexion, que, lorsque les angles sont fort petits, comme cela arrive dans les lunettes de poche, alors les arcs MN et mn ne diffèrent pas sensiblement de leurs cordes, ou des lignes droites MN et mn.

XV. Cela remarqué, retournons à la fig. m : les triangles FA/1 et Fftf peuvent être considérés comme des secteurs où l'arc F/ est le même de part et d'autre. Par conséquent l'angle FBf surpasse autant de fois l'angle FA/" que la distance AF surpasse la distance BF : ou bien l'objet Ee paraîtra dans la lunette sous un angle autant de fois plus grand que la distance de foyer de l'objectif AF surpasse la distance de foyer de l'oculaire BF; ce qu'il fallait démontrer.

9 février 1762.

LETTRE LXXIV

Sur les défauts de eea lunettes de poche, et sur le champ apparent.

Votre Altesse comprend aisément qu'on ne saurait prétendre de trop grands avantages de ces petites lunettes, et j'ai déjà remarqué qu'elles ne grossissent les objets que de dix fois. Si on voulait pousser leur force plus loin, non-seulement la longueur en deviendrait trop grande pour pouvoir les porter dans la poche, mais il y aurait encore d'autres défauts plus essentiels auxquels elles seraient sujettes; ce qui a obligé les artistes de renoncer tout à fait à cette espèce de lunettes dès qu'on demande de plus grands effets.

Le principal de ces défauts consiste dans la petitesse du champ apparent, ce qui me conduit à expliquer à Votre Altesse cet article important qui regarde toutes les lunettes. Quand on dirige un télescope ou une lunette vers le ciel, ou vers d'autres objets fort éloignés sur la terre, l'espace qu'on découvre paraît sous la figure d'un cercle, et on ne voit que les objets qui se trouvent dans cet espace ; de sorte que , si l'on veut voir d'autres objets , il faut changer la position de l'instrument. Cet espace circulaire qui se présente aux spectateurs est nommé le champ apparent, ou simplement le champ de l'instrument : et Votre Altesse conviendra aisément que c'est uu grand avantage lorsque ce champ est fort grand, et qu'un trèspetit champ est au contraire un grand défaut dans ces sortes d'instruments. Considérons deux lunettes qu'on ait dirigées vers la lune, et que par lune on n'en découvre que la moitié, pendant que par l'autre on la voit tout entière avec les étoiles voisines; le champ de celle-ci est donc beaucoup plus grand que celui de celle-là. Celle qui présente un plus grand champ nous dispense non-seulement de l'embarras de changer si souvent de position , mais on jouit aussi d'un avantage très-grand , qui est qu'en voyant en même temps plusieurs parties de l'objet on les peut comparer entre elles.

C'est donc une des plus grandes perfections d'une lunette ou d'un télescope lorsqu'il donne un plus grand champ; par cette raison, il est très-intéressant de mesurer le champ de tous ces instruments. Dans cette vue , on se règle sur le ciel , et on détermine l'espace circulaire qu'on voit à travers une lunette, en mesurant le diamètre en degrés et minutes. Ainsi , comme le diamètre apparent de la pleine lune est environ d'un demi-degré, si une lunette ou un télescope ne découvre que la lune, on dit que le diamètre de son champ

est un demi -degré ; si l'on ne voyait à la fois que le quart de ta lune, le diamètre du champ serait un quart de degré.

La mesure des angles nous fournit donc le moyen de mesurer le champ apparent, et la chose est d'ailleurs claire d'elle-même. Supposons dans la fig. 478, que par l'instrument AB on ne voie que respace POP et les objets qui y sont con- p A tenus; cet espace étant un cercle, son diamètre sera la ligne POP, dont le mi- o lieu O se trouve dans l'axe de l'instrument. Tirant donc des extrémités PP les p lignes droites PC PC , l'angle PCP ex- «g. us.

prime le diamètre du champ apparent , et la moitié de cet angle OCP est nommée le demi-diamètre du champ apparent. De là Votre Altesse comprendra parfaitement ce qu'on doit entendre lorsqu'on dit que le diamètre du champ apparent d'un tel instrument est d'un degré, que celui d'un autre est de deux degrés, etc.; ou bien, en le marquant par minutes, de 30 minutes, qui font un demi-degré ; ou de 15 minutes qui font un quart de degré.

Mais , pour bien juger du mérite d'une lunette ou d'un télescope par rapport au champ apparent, il faut aussi avoir égard au grossissement de l'instrument, où cette maxime a généralement lieu, que plus un télescope ou une lunette grossit, plus le champ apparent doit nécessairement être petit : ce sont des bornes que la nature même prescrit. Concevons un semblable instrument qui grossit 4 00 fois ; il est évident que le diamètre du champ ne saurait être de deux degrés; car puisque cet espace nous paraîtrait 400 fois plus grand , il ressemblerait à un espace de 200 degrés, et ainsi plus grand que le ciel tout entier , qui d'un bout à l'autre ne contient que 480 degrés, et dont nous ne saurions découvrira la fois que la moitié tout au plus, ou bien un espace circulaire de 90 degrés en diamètre. Par là Votre Altesse voit qu'un télescope qui grossit cent fois ne nous saurait même découvrir un champ d'un degré, Vu que ce degré multiplié 100 fois ferait plus que 90 degrés; et ainsi une semblable lunette qui grossit 4 00 fois serait excellente si le diamètre de son champ était un peu moindre d'un degré, et la nature même de l'instrument ne souffre pas un effet plus grand.

Mais une autre lunette ou un télescope qui ne grossirait que 4 0 fois, serait bien défectueux s'il ne découvrait qu'un champ d'un degré en diamètre, puisque ce champ, étant multiplié 40 fois, ne ressemblerait qu'à un espace de 4 0 degrés dans le ciel; ce qui serait bien peu de chose, et bornerait trop notre vue : nous aurions grande raison de rejeter tout à fait un tel instrument. Il sera donc

f>32 TROISIÈME PARTIE - LETTRE LXX1V.

fort aisé , par rapport au champ apparent, déjuger de l'excellence ou du défaut de ces sortes d'instruments, quand on a égard à leur effet. Ainsi , 'lorsqu'il ne grossit que 1 0 fois , on peut bien conjecturer qu'il découvre un champ de 9 degrés, puisque 9 degrés pris 40 fois font 90 degrés, que notre vue est capable d'embrasser; et si le diamètre de son champ n'était que 5 degrés ou encore plus petit, ce serait toujours un instrument fort défectueux. Or, j'aurai l'honneur de prouver à Votre Altesse que , si l'on voulait faire de cette espèce de lunettes dont j'ai donné la description, qui grossiraient plus de 10 fois, elles auraient ce défaut, et que leur champ apparent, multiplié par le grossissement, serait fort au-dessous de 90 degrés , et ne montrerait pas même la moilié. Mais pour de moindres effets ce défaut n'est pas si sensible; car si une telle lunette ne grossit que 5 fois, le diamètre de son champ est environ de 4 degrés, qui, étant grossi 5 fois^ ressemble à un espace de 20 degrés, dont on veut bien être content : mais si l'on voulait grossir 25 fois, le diamètre du champ ne serait que d'un demidegré, qui, étant pris 25 fois, ne donnerait que 42 degrés, ce qui serait trop peu. Par cette raison, quand on veut grossir beaucoup, il faut se servir d'autres arrangements de verres, que je prendrai la liberté d'expliquer dans la suite.

13 février 1762.

LETTRE LXXV

Détermination du champ apparent pour les lunettes de poche.

Le jugement sur le champ apparent étant de la plus grande importance dans la construction des télescopes et lunettes, j'en vais faire l'application aux petites lunettes, sur lesquelles j'ai eu déjà l'honneur d'entretenir Votre Altesse.

Dans la fig. 474, le verre PAP est l'objectif, QBQ l'oculaire, et la droite EF l'axe de la lunette sur lequel, à une dislance très-grande, se trouve l'objet Ee, vu par l'instrument sous l'angle EAe, qui représente le demi-diamètre du champ apparent, puisqu'il s'étend autant de l'autre côté en bas. Le point E est donc le centre de l'espace vu par la lunette, dont le rayon EA, puisqu'il traverse perpendiculairement les deux verres, ne souffre aucune réfraction ; et ainsi, pour que ce rayon entre dans l'œil, il faut fixer l'œil quelque part sur l'axe de la lunette BF derrière l'oculaire , en sorte que le centre de la prunelle se trouve dans la ligne BF, ce qui est

une règle générale pour toutes les lunettes. Considérons à présent l'extrémité visible de l'objet e, dont les rayons remplissent exactement toute l'ouverture du verre objectif PAP; mais il suffira de n'en considérer que le rayon EA qui passe par le milieu de l'objectif A , puisque les autres rayons l'entourent et ne font presque que renforcer ce rayon : de sorte que, si ce rayon entre dans l'œil, les autres, ou au moins une bonne partie, y entrent aussi; et si ce rayon n'entre point dans l'œil, quoique peuUêtre quelques-uns des autres y entrent, ils sont trop faibles pour exciter dans l'œil une impression assez vive. Et ainsi nous pourrons ûxer cette règle, que l'extrémité e de l'objet n'est vue qu'en tant que le rayon eA, après avoir passé les deux verres, entre dans l'œil.

Tout bien considéré, il faut donc examiner avec soin la route de ce rayon eA. Or, premièrement , puisque ce rayon passe par le milieu de l'objectif A, il n'y souffre aucune réfraction, conformément à la règle établie au commencement, que les rayons qui passent par le milieu d'un verre quelconque ne sont pas détournés de leur route, ou ne souffrent point de réfraction. Donc ce rayon eA, après avoir passé par l'objectif , continuerait la même route pour se réunir avec les autres rayons sortis du mêmepoint e, au point f de l'image représentée par l'objectif en Yf, le point fêtant l'image du point e de l'objet : mais le rayon, rencontrant en m le verre concave hors de son milieu , sera détourné de cette route ; et au lieu d'aboutir en fy il prendra sa route en mn, plus divergent de l'axe BF, comme c'est l'effet naturel des verres concaves de rendre les rayons toujours plus divergents. Pour connaître cette nouvelle route win, que Votre Altesse veuille bien se souvenir que le verre objectif représente l'objet Ee dans une situation renversée en F/", de sorte que AF est égal à la distance du foyor de ce verre , qui transporte l'objet Ee en Yf. Alors cette image Yf tient lieu de l'objet à l'égard du verre oculaire QBQ , qui à son tour le transporte de nouveau en G#, dont la distance BG doit être aussi grande que celle de l'objet même ; et, pour cet effet, il est nécessaire de placer l'oculaire de sorte que l'intervalle BF soit égal à sa distance du foyer.

Pour la grandeur de ces images, la première Yf est déterminée par la droite eA/", tirée de e par le milieu A du premier verre; et l'autre Gg, par la droite /%, tirée du point f par le milieu B du second verre. Cela marqué, le rayon Am dirigé vers le point f ett réfracté, et sort en mn ; et cette ligne mn étant continuée en arrière, passe par le point g, puisque ce rayon mn produit dans l'œil le même effet que s'il venait effectivement du point g. Maintenant, comme cette ligne mn s'éloigne de plus en plus de Taxe BF, où le

centre de la pupille se trouve, le rayon mn ne saurait entrer dans l'œil qu'en tant que l'ouverture de la pupille s'étend jusque— là : et si l'ouverture de la pupille était réduite à rien, le rayon mn serait exclu de l'œil, et ainsi le point e de l'objet ne saurait être vu de l'œil, ni même aucun autre point de l'objet hors de l'axe AE : il n'y aurait donc point de champ apparent, et l'œil ne verrait par cette lunette que le seul point E de l'objet qui se trouve dans son axe. Par là il est clair que cette espèce de lunette ne découvre un champ qu'autant que la pupille est ouverte ; en 6orte que plus l'ouverture de la pupille est grande ou petite, plus aussi le champ apparent sera grand ou petit. Dans ce cas, le point e sera donc encore visible à l'œil, si le petit intervalle Bm n'excède point la demi-largeur de la pupille ou bien son demi-diamètre, a6n que le rayon mn y puisse entrer ; mais aussi dans ce cas il faut approcher l'œil du verre oculaire autant qu'on le peut ; car, puisque le rayon mn s'éloigne de Taxe FB, il échapperait à la pupille dans un plus grand éloignement. Maintenant il est aisé de déterminer le champ apparent que ces lunettes nous découvrent sur le verre oculaire : on n'a qu'à prendre l'intervalle Bm égal à la demUlargeur de la pupille , et tirer par ce point m et le milieu du verre objectif A la ligne droite mÂe, alors cette ligne marquera sur l'objet l'extrémité e, qui sera encore visible par la lunette, et l'angle EAe donnera le demi-diamètre du champ apparent. Par là Votre Altesse jugera aisément que, dès que la distance des verres AB surpasse de quelques pouces , l'angle BAm doit devenir très-petit, puisque la ligne ou distance Bm n'est qu'environ la vingtième partie d'un pouce. Or, si l'on voulait grossir beaucoup, il faudrait que la distance des verres devînt très~ considérable, et de là résulterait que le champ apparent deviendrait inûniment petit. C'est donc la nature des yeux qui met des bornes à cette espèce de lunettes, et qui nous oblige de recourir à d'autres espèces dès qu'on souhaite des effets considérables.

16 février 1762.

LETTRE LXXVI

Sur les lunettes astronomiques, et de leurs grossissements.

En passant à la seconde espèce de lunettes, qui sont ce qu'on appelle lunettes astronomiques, quelquefois tubes, je remarque que ces instruments ne sont composés que de deux verres, comme ceux de la première espèce; mais ici, au lieu de l'oculaire concave, on

DU CHAMP APPARENT. 53S se sert d'un convexe. Je commencerai donc à donner à Votre Altesse une idée de la construction de ces lunettes astronomiques.

L'objectif PAP {fig. 179) est, comme dans les autres, un verre

Fig. 179.

convexe dont le foyer étant en F, on fixe sur le même axe un plus petit verre convexe QQ, de sorte que son foyer tombe dans le même point F. Alors, tenant l'œil en 0, de sorte que la distance BO soit à peu près égale à la distance de foyer de l'oculaire QQ, on verra les objets distinctement, et grossis autant de fois que la di* stance de foyer de l'objectif AF surpassera celle de l'oculaire BF : mais ce qu'il y a à remarquer, c'est que tous les objets paraissent dans une situation renversée , de sorte que si Ton dirige ces tubes vers des maisons, On voit les toits en bas et le pavé en haut. Comme cette circonstance n'est point agréable pour les objets terrestres, que nous ne saurions pas voir renversés, l'usage de ces instruments est borné aux objets célestes, qu'il nous est fort indiffèrent de voir dans un sens ou dans un autre ; il suffit à l'astronome de savoir que ce qu'il voit en haut se trouve réellement en bas, et réciproquement. Cependant rien n'empêche qu'on ne se serve aussi de ces lunettes pour les objets terrestres; et on s'accoutume bientôt à voir les objets renversés , pourvu qu'ils paraissent distinctement et fort grossis.

Après cette description , je dois prouver trois choses : la première , que par cet arrangement des verres les objets doivent paraître distinctement; la seconde, qu'ils doivent paraître grossis autant de fois que la distance de foyer de l'objectif surpasse celle dePoculaire, et cela dans une situation renversée; la troisième chose à prouver est qu'on ne doit pas appliquer l'œil immédiatement contre le verre oculaire, comme dans la première espèce; mais qu'il l'en faut éloigner à peu près à la distance de foyer de l'oculaire.

1 . Pour le premier article, la chose se prouve de la même manière que dans le premier cas : les rayons eP, eP, qui sont parallèles entre eux avant que d'entrer dans le verre objectif, se réunissent par la réfraction dans le foyer de ce verre en F, et ainsi il

faut que le verre oculaire rétablisse le parallélisme entre ces rayons, attendu que la vision distincte exige que les rayons partis de chaque point soient à peu près parallèles entre eux lorsqu'ils entrent dans l'œil . Or te verre oculaire, ayant son foyer en F, est placé de sorte qu'il rend les rayons FM, FM, par la réfraction, parallèles entre eux ; et conséquemment Pœil recevra les rayons No, No, parallèles entre eux. 2. Pour le second article, considérons l'objet en Ee (fig. 480),

p mais en sorte que la di-

c A <( stance EA soit presque

déterminée par la droite eXf tirée par le milieu du verre. Cette image F/", qui est renversée, tient lieu d'objet par rapport au verre oculaire; et puisqu'elle se trouve dans son foyer, la seconde image sera de nouveau éloignée à l'infini par la réfraction de ce verre , et tombera par exemple en G</, la dislance AG devant être conçue comme infinie, de même que AE. Or, pour déterminer la grandeur de cette image, on n'a 'qu'à tirer, par le milieu B du verre et l'extrémité f, la droite Bfg. Maintenant cette seconde image Gg étant l'objet immédiat de la vision de celui qui regarde dans la lunette , il est d'abord clair que cette représentation est renversée ; et, puisqu'elle est infiniment éloignée , elle paraîtra sous un angle GBg. Mais l'objet lui-même Èe paraîtra à la vue simple sous l'angle EAe; où Votre Altesse comprend, sans que je l'avertisse, qu'il est indifférent de prendre les peints A et B pour avoir les angles visuels EAe et GB</, à cause de l'éloignement infini de l'objet. A présent Votre Altesse voit ici, comme dans le cas précédent, que les triangles FAf et FBf peuvent être regardés comme des secteurs circulaires, la ligne Ff étant l'arc de l'un et l'autre, puisque les angles mêmes sont si petits , qu'on ne se trompe pas sensiblement en prenant la corde pour les arcs. Donc, puisque les rayons de ces deux secteurs sont les lignes AE et BF, les arcs étant égaux entre eux, il s'ensuit, de ce que j'ai prouvé ci-dessus fort amplement, que les angles FAf (ou bien EAe) et FB/* (ou bien GB#) tiennent entre eux le même rapport que les rayons BF ét AF. Donc l'angle GB<j, sous lequel on voit l'objet par la lunelte, est autant de fois plus grand que l'angle EAe, sous lequel on voit l'objet à la vue simple autant de fois que la ligne AF surpasse la ligne BF; et c'est la dé-

Fig. 180.