DE LA NOTION DE L’ÉTENDUE

duit donc à très-peu de chose, puisqu'il en faut exclure tous les caractères qui distinguent un corps des autres.

Il est donc fort ridicule d’avancer, comme font quelques philosophes, que l’essence des corps en général nous est inconnue. Si cela était, nous ne serions jamais en état de dire avec assurance que telle chose est un corps, ou qu’elle ne l’est pas : et puisque nous ne saurions nous tromper à cet égard, il faut bien que nous connaissions suffisamment la nature ou l’essence des corps en général. Or, cette, connaissance se réduit à l’étendue, l’impénétrabilité et l’inertie.

(25 avril 1761.)

Sur la vraie notion «le l’étendue.

J’ai déjà eu l’honneur de prouver à V. A. que la notion générale d’un corps renferme nécessairement ces trois qualités, l’étendue, l’impénétrabilité et l’inertie, sans lesquelles aucun être ne saurait être rangé dans la classe des corps. Les plus scrupuleux même ne sauraient disconvenir de la nécessité de ces trois qualités pour constituer un corps, mais ils doutent si ces trois caractères sont suffisants. Peut-être, disent-ils, y a-t-il encore plusieurs autres caractères qui sont également nécessaires pour l’essence d’un corps.

Mais je leur demande : Si Dieu créait un être dépouillé de ces autres caractères inconnus, et qu’il n’eût que les trois rapportés, douteraient-ils de donner le nom de corps à cet être ? Non , sans doute ; car s’ils avaient le moindre doute là-dessus, ils ne sauraient dire avec assurance que les pierres que nous rencontrons dans la rue sont des corps, puisqu’ils sont incertains si les prétendus caractères inconnus se trouvent dans ces pierres ou non?

Quelques-uns s’imaginent que la pesanteur est aussi une propriété essentielle de tous les corps, puisque tous les corps que nous connaissons sont pesants ; mais si Dieu les dépouillait de la pesanteur, cesseraient-ils pour cela d’étre des corps ? Ensuite , qu’ils considèrent les corps célestes, qui ne tombent pas en bas, comme il devrait arriver s’ils étaient pesants comme nos corps que nous touchons, et pourtant ils ne doutent pas de les nommer corps. Et quand même tous les corps seraient pesants , il ne s’ensuivrait pas que la pesanteur soit une propriété essentielle des corps, puisqu’un corps resterait corps, quoique sa pesanteur fût détruite par un miracle.

Mais ce même raisonnement n’a pas lieu dans les trois propriétés essentielles que je viens d’alléguer. Si Dieu anéantissait l’étendue d’un corps, il ne serait plus certainement un corps; et un corps dépouillé de l’impénétrabilité ne serait plus nommé corps, ce serait un spectre, un fantôme; et il en est de même de l’inertie.

V. A. sait que l’étendue est l’objet propre de la géométrie, ou l’on ne considère les corps qu’en tant

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qu'ils sont étendus, en faisant abstraction de l’impénétrabilité et de l’inertie; donc l’objet de la géométrie est une notion bien plus générale que celle des corps, puisqu’il renferme non-seulement les corps, mais aussi tous les êtres simplement étendus sans impénétrabilité s’il y en avait. De là il s’ensuit que toutes les propriétés qu’on déduit dans la géométrie de la notion de l’étendue, doivent aussi avoir lieu dans les corps, en tant qu’ils sont étendus; car tout ce qui convient à une notion plus générale, par exemple à celle d’un arbre, doit aussi convenir à la notion d’un cerisier, d’un poirier, d’un pommier, etc.; et ce principe est même le fondement de tous nos raisonnements, en vertu desquels nous affirmons et nions toujours, des espèces et des choses individuelles, tout ce que nous affirmons et nions du genre.

Cependant il y a des philosophes , et même la plupart d’aujourd’hui, qui nient hautement que les propriétés qui conviennent à l’étendue en général , c’est-à-dire, comme on les considère en géométrie, aient lieu dans les corps réellement existants. Ils disent que l’étendue de la géométrie est un être abstrait, des propriétés duquel on ne saurait rien conclure sur les choses réelles : ainsi, quand j’ai démontré que les trois angles d’un triangle sont ensemble égaux à deux angles droits, c’est une propriété qui ne convient qu’à un triangle abstrait, et point du tout à un triangle réel.

Mais ces philosophes ne s’aperçoivent fias des suites fâcheuses qui découlent naturellement de la

différence qu’ils mettent entre les objets formés en abstraction et les objets réels; et s’il n’était pas permis de conclure des premiers aux derniers, aucune conclusion et aucun raisonnement ne sauraient plus subsister , puisque nous concluons toujours des notions générales aux particulières.

Or, toutes les notions générales sont aussi bien des êtres abstraits que l’étendue géométrique ; et un arbre en général, ou la notion générale des arbres n’est formée que par abstraction, et existe aussi peu bors de nos esprits que l’étendue géométrique. La notion de l’homme en général n’existe nulle part; tous les hommes qui existent sont des êtres individuels , et répondent à des notions individuelles ; l’idée générale qui les renferme tous n’est formée que par abstraction.

Le reproche que ces philosophes font continuellement aux géomètres, qu’ils ne s’occupent qu’à des choses abstraites, est donc bien mal placé, puisque toutes les autres sciences roulent principalement sur des notions générales, qui ne sont pas plus réelles que l’objet de la géométrie. Le malade en général que le médecin a en vue, et dont l’idée renferme tous les malades réellement existants, n’est qu’une' idée abstraite; et même le mérite de chaque science est d’autant plus grand , qu’il s’étend à des notions plus générales, c’est-à-dire plus abstraites.

L’ordinaire prochain, j’aurai l’honneur de marquer à V. A. à quoi aboutissent ces reproches que les philosophes font aux géomètres, et pourquoi ils ne veulent pas permettre qu’on attribue aux êtres étendus

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réels, c’est-à-dire aux corps existants, les propriétés qui conviennent à l’étendue en général, ou à l’étendue abstraite. Ils craignent que leurs principes de métaphysique n’en souffrent.

(38 avril 17(11 )

Sur la divisibilité à l’infini de l’étendue.

La controverse entre les philosophes modernes et les géomètres, dont j’ai eu l’honneur de parler à V. A., roule sur la divisibilité des corps. Cette propriété est sans doute fondée sur l’étendue; et ce n’est qu’en tant que les corps sont étendus qu’ils sont divisibles, et qu’on les peut diviser en parties.

V. A. se souviendra qu’en géométrie on peut toujours partager une ligne en deux parties égales, quelque petite qu’elle soit. On y enseigne encore comment on doit diviser une petite ligne, comme ai, en autant de parties égales qu’on veut; et la construction de cette division y est démontrée en sorte qu’on ne saurait pas douter de sa justesse.

On n’a qu’à tirer à la ligne ai (Jig. i ) une ligne parallèle AI, quelque grande et à quelque distance qu’on veuille, et y transporter autant de parties égales AB, BC, CD, DE, etc., en combien de parties égales la petite ligne donnée doit être divisée, par exemple en huit. Ensuite on tire, par les extrémités ii. 3

A, a, et I, i, les lignes droites AaO, I/O, jusqu’à ce qu’elles se joignent en O ; et par ce point O on mène, vers tous les points des divisions B, C, D, E, ete., les lignes droites OB, OC, OD, OE, etc., qui couperont en même temps la petite ligne ai aussi en huit parties égales.

Cette opération réussit, quelque petite que soit la ligne proposée ai, et quelque grand que puisse être le nombre des parties. Il est bien vrai que l’exécution ne nous permet pas d’aller trop loin ; les lignes que nous tirons ont toujours quelque largeur par laquelle elles se confondent, comme V. A. peut le voir dans la figure près du point O; mais il est question ici de ce qui est possible en soi-même, et non de ce que nous sommes en état d’exécuter. Or, dans la géométrie les lignes n’ont aucune largeur, et ne se confondent par conséquent jamais. De là il s’ensuit qu’une telle division n’est limitée par aucune borne. .

Dès que V. A. m’accorde qu’une ligne peut être divisée en mille parties, en partageant chaque partie en deux, elle sera aussi divisible en deux mille parties, et par la même raison en quatre mille parties, et puis en huit mille, sans qu’on parvienne jamais à des parties si petites, qu’on ne puisse plus diviser. Quelque petite qu’on conçoive une ligne, elle est divisible en deux moitiés, et ensuite chaque moitié encore en deux, et chacune de celles-ci encore en deux, et ainsi de suite à l’infini.

Ce que je viens de dire ici d’une ligne s’applique aisément à une surface, et encore à plus forte raison à un solide doué de toutes les trois dimensions en

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longueur, largeur et profondeur. De là on dit que toute étendue est divisible à l’infini, et cette propriété est nommée la divisibilité à F infini.

Quiconque voudrait nier cette propriété de l’étendue serait obligé de soutenir qu’on en viendrait enfin à des parties si petites, qu’elles ne seraient plus susceptibles d’une division ultérieure; et cela, parce qu’elles n’auraient plus d’étendue. Cependant toutes ces particules prises ensemble doivent reproduire le tout, par la division duquel on y est parvenu ; donc, puisque la quantité de chacune serait rien ou zéro , plusieurs zéros pris ensemble produiraient quelque quantité, ce qui est ouvertement absurde. Car V. A. sait bien, par l’arithmétique, que deux ou plusieurs zéros joints ensemble ne donnent jamais quelque chose.

Ce sentiment est donc absolument insoutenable, que, dans la division d’une étendue ou d’une quantité quelconque, on parvienne enfin à des particules si petites, qui ne seraient plus divisibles à cause de leur petitesse, où il n’y aurait plus de quantité.

Pour en rendre l’absurdité plus sensible, supposons qu’une ligne d’un pouce de longueur ait été divisée en mille parties , et que ces parties soient si petites qu’elles n’admettent plus de division. Chaque partie n’aurait donc plus de grandeur; car si elle avait encore quelque grandeur, elle serait encore divisible. Chaque particule serait par conséquent rien, et même un vrai rien. Or, si toutes ces mille particules ensemble faisaient la longueur d’un pouce,

donc, la millième partie d’un pouce serait rien ; ce qui est aussi absurde que de soutenir que la moitié d’une quantité ne soit rien. Or, s’il est absurde que la moitié d’une quantité ne soit rien , il est aussi absurde que la moitié d’une moitié, ou le quart de la quantité même, ne soit rien; et ce qu’on m’accorde à l’égard du quart, on doit aussi me l’accorder à l’égard de la millième partie, et aussi à l’égard de la millionième partie. Enfin , quelque loin qu’on ait déjà poussé en imagination la division d’un pouce, il est toujours possible de la pousser encore plus loin; et on ne parviendra jamais si loin, que les dernières parties soient absolument indivisibles. Ces parties deviendront sans doute de plus en plus petites, et leur grandeur approchera de plus en plus de zéro, mais elles n’v atteindront jamais.

De là on a bien raison de dire, dans la géométrie, que toute grandeur est divisible à l’infini , et que dans une telle division on ne saurait jamais arriver si loin, qu’une division ultérieure soit impossible en elle-même. Or ici il faut toujours bien distinguer ce qui est possible en soi-même, de ce que nous sommes en état de faire actuellement. Notre pratique a bien des bornes. Après avoir divisé, par exemple, un pouce en mille parties, ces parties sont si petites, qu’elles échappent à notre vue, et une division ultérieure nous serait certainement impossible.

«Mais on n’a qu’à regarder cette millième partie d’un pouce par un microscope qui grossit, par exemple, mille fois , et chaque particule nous paraîtra aussi grande qu’un pouce à la vue simple : d’où l’on