LETTRE XXIX

PROCÉDÉS POUR l'enseignement DU CALCUL.

S'il y a une connaissance indispensable, aux yeux même des gens les moins éclairés, c'est assurément celle du calcul. Nous avons tous intérêt à nous rendre compte de nos recettes et de nos dépenses, et il n'y a si petit ménage qui n'ait besoin de connaître les nombres et les opérations dont ils peuvent être l'objet.

On ne s'éloignerait peut-être pas de la vérité en ajoutant que les habitants de la campagne ont, plus encore que la plupart de ceux de la ville, l'instinct et le goût du calcul. Le paysan est intéressé, souvent chicaneur sur les marchés qu'il conclut, sur les affaires d'argent qu'il traite. Celui qui saura mieux calculer que son compère l'embrouillera dans les chiffres et le trompera avec une feinte naïveté. Il importe donc à chacun, au village, de savoir les éléments de la science des nombres, non-seulement pour se reconnaître dans ses affaires, mais pour se défendre contre la finesse de ses voisins. A la ville, ceux qui étudieront l'arithmétique voudront la pousser plus loin ; ils arriveront jusqu'aux derniers chapitres, soit parce qu'ils auront à suivre une

f camèi

SUR LA rnOFESSIOTÎ D INSTITUTEUR.

carrière comnierciale d'une certaine importance, soît parce que l'instruction un peu complète exige cette condition ; mais la nécessité sera moins générale. L'avocat, le médecin, le prolesaeur, oublieront souvent l'arithmélique aussitôt qu'ils l'auront apprise, parce qu'ils ne tarderont pas à trouver des gens qui prendront la peine de calculer pour eus. Au village, on n'a pas besoin d'en savoir autant, mais 11 faut savoir et retenir le nécessaire, parce qu'on en fera un usage personnel et journalier.

Quelle est donc la limite de ce que j'appelle le nécessaire ? Ici, il faut que le maître se préserve du trop et du trop peu.

Ze trop , ce aérait , par exemple , les démonstrations compliquées et savantes, appliquées aux opérations (ondamentales, l'étude des proportions ou de la tenue des livres. Tous ces objets ont une grande valeur. Sans démonstration, la science du calcul ne serait plus qu'une habitude aveugle, dans laquelle U y aurait raille chances d'erreur ; l'étude des proportions est le moyen le plus sûr de comprendre et de résoudre des questions qui, sans celte méthode, exigent une suite d'opérations laborieuses ; la tenue des livres, au moins en partie simple, est essentielle dans un ménage d'une certaine importance. Néanmoins, à la campagne, il est fort difficile de pousser jusque-là le travail des écoliers. Les démonstrations qu'on voudrait rendre complètes excéderaient leurs besoins réels. Us deviendraient de petits I raisonneurs, à qui la simplicité de leur position ne suffirait I plus, et qui se déclasseraient en s'înstruisanl outre mesure. Les moyens de calcul, très-utiles sans être indispensables, comme les proportions, supposent un exercice de l'intelli- I gence plus actif et plus persévérant qu'on ne peut l'attendre ' d'enfanlsenlevésordinairement à l'école vers leur quinzième j année.

\ La tenue des livres, régulièrement observée, d'après des

principes certains, et moyennant des écritures bien alignées, est une excellente chose ; mais dans la vie des petites communes. Tordre s'établit dans les comptes à moins de frais, et un journal dont on fait le relevé en recettes et en dépenses à des époques fixes, suffit d'ordinaire aux plus soigneux.

Le trop peu, ce serait de se borner, comme autrefois, aux premières opérations, ou, pour mieux dire, à l'habitude toute matérielle des premières opérations. Un peu d'addition, de soustraction, de multiplication, peu ou point de division, des fractions le moins et le plus tard possible, voilà ce qu'on appelait calculer dans les mauvaises écoles de nos pères. Quel sera donc, pour l'enseignement de l'arithmétique, le légitime et véritable milieu ?

Je voudrais d'abord que la numération fût enseignée avec beaucoup de soin. On dirait que certains maîtres d'école regardent comme au-dessous de leur dignité ces connaissances préliminaires, sans lesquelles pourtant il est à peu près impossible de comprendre les quatre grandes opérations de l'arithmétique, impossible surtout d'atteindre cette pratique facile qu'on pourrait appeler l'âme du calcul. La formation, renonciation et la représentation correcte des nombres seront bien sues, bien appliquées, avant que vos élèves entendent parler de l'addition. Il faut qu'ils soient rompus à prononcer comme à écrire des nombres compliqués, que l'absence d'un ou de plusieurs ordres d'unités, et leur remplacement par des zéros, ne les arrêtent pas, ne leur présentent pas de difficulté sérieuse ; qu'ils connaissent parfaitement la valeur de tout chiffre placé à la gauche d'un autre, le partage en tranches de trois chiffres, pour la facilité de renonciation, l'accroissement et la diminution des nombres par l'addition ou le retranchement d'un ou de plusieurs zéros placés à leur droite. Vous ne sauriez trop multiplier les exemples, en les graduant avec

attention, avec patience, ni vous assurer par de trop fréquentes interrogations que tout a été compris, retenu.

Dès que les enfants connaissent la figure des chiffres et',! peuvent la tracer, faites usage du tableau noir qui h plusieurs avantages. D'abord, pour le calcul, comme pour l'analyse grammaticale, le tableau occupe toute la classe, ou du moins toute une division à la fois. Les yeux des écoliers sont dirigés vers un seul point, leur attention est fixée sur le travail d'un seul qui devient le travail de tous. Les ardoises, les cahiers ne donnent pas le même résultat. Ce qu'on y écrit sous la dictée du maître prend un caractère plus individuel et qui parle moins aux sens. En outre, la présence de l'élève devant le tableau le force à chercher avant de parler, à parler avant d'écrire, et, ne flt-il qu'indiquer successivement les divers points de l'opération la plus simple en l'exécutant, c'en est assez pour qu'un germe de raisonnement m glisse déjà dans ses paroles. Or, si nous admettons que le raisonnement proprement dit, avec ses déductions et ses formules savantes, n'est pas encore à la portée de nos écoliers, nous ne consentirons jamais à leur permetlre une pratique toute machinale, dans laquelle les doigts, pour ainsi dire, seraient seuls enjeu. Les chiffres ont beau être ce qu'il y a de plus positif au monde, positif ne aéra pas pour nous synonyme de mécanique et «taveuglt, et, pourvu que nous ne dépassions pas la mesure des forci de l'enfant, nous le traiterons en créature inteUigente.

11 faudrait n'être jamais entré dans une bonne école, aamoment de la leçon de calcul, pour méconnaître le parti que l'Instituteur peut tirer du tableau noir. L'enfant qu'on y appelle est bien autrement stimulé à répondre que celui qu'on laisse à sa place, la plunae ou le crayon à la main. H est là, isolé de toute distraction, provoqué h comprendre, à exécuter ce qu'il doit savoir, mais non abandonné à lui-'l même, car la parole du maître le soutient, le complète,

298 LETTRBS

rectifie. Si une erreur échappe, elle disparaît sous un coup d'épongé, et la craie rétablit la vérité. Point de ratures désagréables à Toeil ; point de confusion entre ce qu'on efface et ce qu'on écrit. Le tableau noir est toujours net et ne garde que les bons résultats. C'est un instrument souple et docile qui accoutume à l'ordre comme il facilite le travail.

Mais il faut que l'écolier s'habitue dès lors à une chose bien nécessaire, et qui va l'être de plus en plus à mesure qu'il avancera dans l'étude des nombres ; je veux parler de la réflexion. Déjà, dans la numération écrite, quand vous lui dictez un nombre, il se rend compte en lui*mème du rang que chaque chiffre occupe dans l'ordre des unités, et, sachant qu'il doit écrire successivement de gauche à droite les chiffres qui représentent les unités de chaque ordre, en commençant par le plus élevé, il s'essaie à les mettre exactement à leur place. S'il se trompe, il efface aussitôt et substitue rapidement le chiffre qui convient au chiffre erroné. Par exemple, lui avez-vous dicté le nombre 980, il cherche quels chiffres représentent chaque ordre d'unités, et inscrit d'abord à gauche le chiffre 9 pour représenter les centaines ; mais le petit maladroit se trompe aux dizaines, et la bizarrerie de notre manière de. parler : quatre-vingtSy brouille sa jeune cervelle. Il confond quatre-vingts avec quatre-vingt-dix, et place un second 9 à la droite du premier. Le maître corrige aussitôt l'erreur, et le 9 est remplacé par un 8, sans perte de temps. L'enfant est embarrassé pour le troisième chiffre, car il sent bien que les deux premiers, s'ils restaient seuls, ne donneraient pas de centaines, et le maître a dit : weM/*cewf quatre-vingts. Vou8 lui dites de chercher combien il y a d'unités simples dans le nombre dicté, qui est déjà reconnu contenir 9 centaines et 8 dizaines. L'enfant réfléchit un moment et répond qu'il n'y en a pas ; vous lui demandez alors par quel signe on

^^pr

SUB I.A PROTESSIOS D ISSTITUTEl'r,,

irésente un ordre d'unités qui manque, et il se souvientS que ce signe est le zéro. Il l'inscrit donc à la droite dul 8, et il énonce avec nne satisfaction évidente le nombre complet : 980.

Vous arrivez, ainsi lesté de bonnes habitudes et de sou-i venirs exacts , aux quatre opérations fondamentales , hJM l'addilion, à la soustraction, à la multiplication, à la divî-^r sion des nombres entiers. C'est alors que le calcul mentatl devient d'une utilité évidente. Vous faites apprendre pan cœur la table d'addition, et plus tard la table de multipliTj cation, et il faut que l'enfant les retienne avec une mémoire imperturbable, qui lui permette de faire des calculs asseï compliqués, même en l'absence du tableau, La prompti*^j tude et la régularité des opérations roulent sur ces deia pivots. J'ai vu des enfants, intelligents d'ailleurs, lancés dans l'élude des quatre règles sans savoir suffisam-J ment les deux tables, obligés de compter sur leurs doigtag unité par unité, les nombres dont on leur demandait l'ad-^ dition ou la multiplication, et renonçant à répondre dôSa que la complication du nombre rendait ce procédé mater riellement impossible. Lors même qu'on les avait forcéalj rev( nir en arrière et à fixer les tables dans leur mëmoir^ ils se défiaient encore d'elle, et, par un mouvement maclq nal, ils retombaient dans l'ornière. La soustraction i n'est que le conlrepied de l'addition, et la division qui e l'inverse de la multiplication, devenaient impratic^lea pour eux par suite du même oubli; la division surtout, ( caiise des détails qu elle exige, restait lettre close pour c^ pauvres enfants. Ce n'étaient pas les iacultés qui letu avaient manqué, c'était la méthode ; ou, pour mieux dire^ elle avait manqué au maître négligent qui les avait ai mw préparés.

Le calcul mental admet des combinaisons variées i complexes. Les écoliers convenablement préparés almenN

ce procédé qui est vif, pratique, et qui flatte leur amourpropre en leur permettant de faire valoir leur petite science. Soit qu'ils vous répondent de leur place, soit que vous les fassiez parler au tableau avant d'écrire, mettez-les dans la nécessité de calculer de tête. Vous ne savez jamais bien ce qu'ils font, lorsqu'ils rédigent la plume à la main, et il se peut que, dans ce travail silencieux, ils s'écartent de votre méthode pour s'abandonner à la routine.

Je n'entends pas néanmoins que vous ne donniez jamais de calcul par écrit. Une succession de moyens divers est toujours, dans l'enseignement, une grande puissance.. C'est surtout aux enfants qui commencent que le procédé du calcul de tète doit être appliqué presque exclusivement. Pour ceux qui sont plus avancés, vous pouvez passer de ce mode à celui du devoir dicté, et réciproquement ; vous trouverez avantage à essayer ainsi les aptitudes et à varier les moyens.

C'est toujours une grande question que celle du point de départ. Faut-il, dans les sciences exactes, enseigner d'abord les principes et les confirmer par des exemples, ou réunir d'abord un certain nombre d'exemples et donner les principes comme des conclusions? Je sais que les écrivains qui se sont occupés d'éducation se partagent à cet égard, et que, sous les noms d'enseignement par l'analyse et d'enseignement par la synthèse, ces deux modes ont eu leurs partisans et leurs adversaires.

Hour moi, mon ami, la question n'en a jamais été une depuis que j'ai comparé et pratique. Le procédé analytique m'a seul réussi. J'ai toujours vu les jeunes enfants bailler et s'endormir aux théories quand elles précèdent les exemples, parce que, chez eux, la faculté de raisonner est faible et incertaine ; mais s'animer et se mettre en mouvement sans répugnance, lorsque les exemples précèdent les règles parce que les sens, très-actifs chez eux, recherchent ce qui est sensible et vont au devant des applications.

BUB lA PROFESSION DINSTITUTECR.

Quand l'attention, excitée par les exemples, a pris asseï 1 de force pour que le raisonnement devienne possible, l'en- J fant use alors de son jugement éclairé et aQermi. U ' comprend bien les régies, qui ont pris un corps pour lul'J plaire, et l'imagination, qui lui représente les objets matériels d'où le maitre a tiré ses exemples, en garantit lej souvenir.

Je seraÎB très-probablement d'un avis tout contraire, b je m'occupais d'un âge moins tendre et d' intelligences exercées d'avance par différents travaux. Je comprend*! l'enseignement des sciences exactes par la synthèse dans leâl établissements d'instruction secondaire. Cette préparation j prudente, ou, si l'on veut, timide, qui met les exemples en i avant pour graduer les difficultés, et pour ne pas effarou-'J cher des esprits encore esclaves des instincts sensibles,.., pourrait être lente et inopportune pour les jeunes gensî qu'on destine à l'école navale ou à l'école militaire. A,'.M ceux-là, dont l'intelligence est déjà exercée par les pre- J mières études classiques, doit convenir la règle qui précède 1 l'exemple, la théorie que les applications vont confirmer.-^ Je vais même jusqu'à penser que, danf»no9 écoles primaires, I les plus âgés et les plus forts, ceux qui restent en assez longtemps pour avoir acquis de l'initiative, s'accom-H modent de l'enseignement qui s'adresse d'abord à la raison îm mais je soutiens et je répéterai en toute occasion que, pour.ï l'immense majorité de nos enfants, pour tous ceux à qui/ nous apprenons les éléments de l'arithmétique, bornés au3 besoins de l'instruction primaire, l'analyse est le i mode d'enseignement convenable, utile, intelligible e%% productif.

C'est ainsi que j'ai toujours enseigné pendant trente 1 années. Je ne commençais pas par dire : l'addition est un» J opération par laquelle on réunit plusieurs nombres en ud seul; on ne peut additionner que des nombres forraéf

d'unités du même nom. Je montrais d'abord un enfant recevant deux pommes d'une personne, trois d'une autre, cinq d'une troisième ; comptant toutes ces pommes reçues et en trouvant dix, je supposais ensuite qu'il avait reçu non pas des pommes seulement, mais, de plus, quatre poires et huit abricots, et je faisais voir que les poires et les abricots ne peuvent être comptés avec les pommes que n nous changeons les noms particuliers de ces fruits, différents les uns des autres, pour employer le nom de fruits qui convient à tous.

Après ces exemples et d'autres encore, si je voyais qu'il restât quelques doutes, je tirais la conclusion, et souvent les enfants eux-mêmes allaient au-devant de mes paroles. La définition, la règle sortaient tout naturellement des applications.

La leçon bien comprise, je la faisais répéter au tableau par plusieurs de mes élèves, et, pour en graver le souvenir, je dictais quelques petits problèmes, les uns contenant des exemples sensibles, les autres plus abstraits, en ayant soin de n'y renfermer rien qui dépassât les bornes de mes premières explications. Ainsi, je donnais à résoudre des questions comme celles-ci : combien font 2 feuilles, 6 feuilles et 9 feuilles de papier? — Combien font 7, 24 et 36 ? — Combien font 6 roses et 8 œillets ? — J'exigeais qu'ion apprit par cœur et qu'on retint invariablement les définitions et les règles résumées, auxquelles l'habitude des exemples avait retiré toute apparence d'abstraction.

Ce que je dis de l'addition, je pourrais le dire de la soustraction, de la multiplication, de la division, de tous les éléments de calcul. Votre sagacité, mon ami, suppléera aux détails que je ne veux pas épuiser ici.

Le système décimal, bien enseigné, frappe les enfants par sa simplicité admirable. N'allez pas les occuper des subtilités de la science, ni rechercher avec eux si quelque

BDB L.\ raOFESSioN d'institutech. 303

autre système, le duodécimal par exemple, a élé tenté ou pourrait l'être avec avantage. C'est bien assez pour eux de posséder un instrument de calcul ferme et sdr, et d'ailleurs vous sortiriez de la pratique, cette grande règle de notre enseignement, puisque le système décimal est d'un emploi universel.

C'est surtout dans l'enseignement des fractions que l'immense utUité de ce système se fait sentir. Autrefois, dès qu'on avait une quantité moindre que l'unité, on calculait par quarts, par tiers, par douzièmes, par vingt-cinquièmes, et ces quantités, à cause de la différence des dénominateurs, jetaient dans le calcul des complications infinies. Aujourd'hui, les fractions qu'on appelle encore ordinaires sont à peu près sorties de l'usage ; on se sert de fractions qui ont pour dénominateurs les nombres, iO, iOO, JOOO ; et, en général, l'unité suivie d'un ou de plusieurs zéros. Encore ne les met-on pas sous la forme fractionnaire, et, au moyen d'une simple virgule placée â la droite du nombre entier, les quantités moindres que l'unité, placées à la droite de la virgule, prennent une valeur de dis en dix fois plus petite, et constituent des dixièmes, des centièmes, des millièmes d'unité, sans qu'il soit besoin d'exprimer le dénominateur.

Cette simplification merveilleuse est facilement saisie par les enfants. Ils doivent connaître les fractions ordinaires, parce que, dans la pratique de la vie, ils rencontreront encore bien des gens qui en font emploi ; mais vous les exercerez assidûment à l'étude des fractions décimales, qui Be lient d'ailleurs étroitement à la connaissance du système légal des poids et mesures.

Une découverte de génie, celle du système métrique, a renouvelé la face du calcul des nombres concrets. Autrefois, vous le savez, les unités de longueur, de poids, de monnaie, étaient un labyiintlie inextricable. On se perdait

dans les toises, pieds, pouces et lignes ; dans les livres, onces, gros et grains ; dans les livres, sous et deniers. Chaque unité principale et chaque unité secondaire avait sa valeur propre, sans analogie avec les autres valeurs. Pour convertir telle unité en telle autre, il fallait une opération dont les éléments changeaient à chaque rencontre. De plus, ces mesures et ces calculs se modifiaient d'une province de la France à l'autre, souvent d'une ville à l'autre dans la même province. A la fin du siècle dernier, on reconnut qu'une mesure unique et uniforme, calculée sur les dimensions de la terre même que nous habitons, et qui par conséquent n'a rien d'arbitraire, que le mètre enfin, avec ses subdivisions décimales, pouvait remplacer toutes les vieilles mesures. Vos enfants, mes amis, ne doivent pas être des savants, mais ils seront des hommes, et ils ne peuvent être indifl'érents à la gloire de leur patrie. Dites-leur donc quelques mots,' à leur portée, de cette découverte vraiment sublime, afin qu'ils étudient le système des mesures nouvelles, non pas seulement pour obéir à la loi et pour traiter régulièrement les aff'aires, mais aussi pour s'instruire d'une belle méthode scientifique, et pour apprendre à honorer leurs pères qui ont glorieusement travaillé dans l'intérêt de l'avenir.

L'étude des nombres complexes deviendra inutile dans quelques années ou ne servira plus qu'aux érudits, mais il taut une génération pour changer des habitudes profondément populaires. Nos cuisinières compteront encore longtemps par sous et par livres; nos petits marchands auront bien de le peine à se déshabituer entièrement de parler d'aunes d'étoffes, et nous persisterons à dire qu'un homme à cinq pieds six pouces, quoique nous sachions parfaitement que ces mesures sont abolies. Les marchands se corrigeront plus vite que les autres, parce que l'exactitude du langage leur est imposée sous peine d'amende ; pour les

r autres, i

i,A l'KOFEssiow d'instituteur. 305

autres, il y" aura extinction successive des termes surannés, et avec les routiniers seulement disparaîtra la routine.

Vous serez donc obligé de faire connaître les nombres complexes, pour enseigner à ne pas s'en servir. Voua les comparerez aux nouvelles mesures pour mettre en lumière les avantages de celîes-ci. Vos enfants sauront convertir les pieds, pouces et lignes en mètres, centimètres, millimètres; les sous et livres en francs, décimes, centimes, et ainsi de suite. Ils deviendront capables de régler leurs propres affaires et d'amender graduellement, par l'usage, ces habitudes de calcul de ceux avec lesquels ils seront en relation.

J'ai déjà parlé des questionnaires. Si l'Instituteur en rencontre qui soient bien faits, il aura raison d'en user ; c'est ce qu'on appelle prendre son bien où on le trouve. Mais, en général, il vaut beaucoup mieux qu'il les fasse lui-môme après avoir étudié de bons modèles, Il touchera plus juste et sera plus maître de diriger cet important exercice de l'interrogation dans l'intérêt de son enseignement per- Bonnel.

Ici s'arrêtera le cours d'arithmétique pour les enfants de l'école primaire. On ne pourra pas atteindre ce niveau modeste, de plein saut, dans toutes les écoles ; on le dépassera dans quelques-unes ; le plus clair, en parlant des procédés, c'est toujours de supposer une science et une lorce moyennes. Quel que soit le nombre des degrés à descendre ou à monter dans la pratique, l'Instituteur ne sera pas embarrassé quand il possédera les principes. La mesure des applications ne change rien à la valeur des règles. Les bons conseils ne peuvent tout prévoir, mais ils peuvent tout préparer.

I ^1 cpa.1