ESPRIT GENERAL

Mon ami,

Dans notre intéressante causerie sur renseignement , îe désaccord complet de nos deux points de vue provenait surtout de l'ignorance générale dans laquelle beaucoup des hommes les plus distingués de notre époque vivent par rapport aux sciences. De jalons en jalons tues arrivé à me poser cette très redoutable question : Mais en quoi donc, selon toi , consistent les sciences et surtout les mathématiques ? Je vais essayer de répondre et tenter de vulgariser, à tes yeux de littérateur et d'artiste , des connaissances qui sont vraiment indispensables au point de vue général tout en ne comportant pas la nécessité d'une acquisition de détail, soit technique, soit professorale.

Si le mets que je te sers a pour toi une saveur peu agréable ne t'en prends point à la pâte que je vais m'efforcer de manier et considère mon humbte organisation comme insuffisante pour ma tâche; si, au contraire, ton amicable

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indulgence sait trouver quelque valeur à cette causerie, attribue l'intérêt do son exposition au résultat de lectures sérieuses, à des réflexions assidues sur les spéculations d'hommes éminents , qui ne laissent pour aucun de mes points de vue ni priorité , ni invention.

Sans prendre tout d'abord la question d'aussi haut que dans nos entretiens , je me restreindrai aux seules sciences mathématiques, et ce point de départ sera, je crois, la vraie base d'une opinion consciencieuse et motivée sur notre sujet si général. Ce n'est qu'après ce pénible exorde que nous aborderons en commun l'objet considérable de la matière enseignante.

Souvent, toi , litérateur élégant et désert, historien érudit , tu m'as exprimé le profond ennui que t'inspira la légère initiation mathématique de ta première éducation , et tu semblais croire qu'une nature spéciale d'intelligence, ( et non point exceptionnelle par son étendue) caractérisait les hommes s'occupant de la plus élémentaire des sciences. J'espère te convaincre que l'homme , qui sans être capable de professer ou d'utiliser les vérités mathématiques, n'en connaît point la tendance et l'esprit général , a une intelligence ou avortée ou incomplètement développée , et qu'il est inapte à s'occuper des autres points de vue intellectuels, même artistiques. Je le vois bondir à ce mot et j'arrête ta nombreuse érudition : je suis. infiniment convaincu que les plus puissants propagateurs de Fart eussent rendu leurs œuvres plus hautes encore, si la connaissance sérieuse, quoique sans détail, du monde extérieur, leur avait été familière ; d'autre part l'initiation mathématique laisse, par son absence, sans base possible, les efforts pour l'acquisition des autres

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sciences ; le chantre , quel qu'il soit d'une grande idée» ne la puisera que dans les transformations sociales, ou plus en général dans la contemplation du monde, et si, comme je crois le savoir , la forme , pour toi , n'est point l'art tout entier, tu seras démon avis.- — Ainsi laisse le quolibet banal sur Futilité de ( a ==H A) dans la langue des vers, et allons droit au but. Si déjà un sourire amical mais léger ne vient point plisser ta lèvre , j'augure bien du succès de mon épître et j'entre en matière par un assez long préambule.

Un objet, une réalité extérieure, possède divers attributs que l'on peut considérer comme existants seuls, et l'opé* ration qui consiste à les isoler s'appelle abstraire ; ce terme t'est familier; ainsi l'objet concret est celui qui existe réellement , et l'objet abstrait celui auquel on a retiré par la pensée une ou plusieurs propriétés.

Le mot de sdence et le mot de loi sont deux termes corrélatifs; les faits observés ou phénomènes dépendent en général de leur succession, de telle sorte que l'on peut prédire leur retour, assigner leur. valeur dans le temps et dans l'espace relatifs , et cette inflexibilité de la loi qui enlève la liberté au phénomène pour le forcer à se reproduire, constitue le fait de la science. — Elle spécule sur des faits idéaux dont les différences avec ceux de la pratique sont la plupart du temps négligeables sans jamais être nulles; cela est d'autant plus important que c'est la base de l'accord entre les théories et les pratiques ou arts techniques correspondants.

Les phénomènes ou faits observés seront plus ou moins compliqués, leurs lois plus ou moins faciles h obtenir, plus

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ou moins susceptibles de prévisions ; leur étude rationnelle , comme classes, devra commencer par les plus généraux, par ceux qui influent sur tous les autres et ne dépendent pas des suivants ; l'abstraction va nous indiquer les phénomènes d'ordres les plus simples et leur étude constitue les mathématiques. — Mon encre et ta patience aidant, je vais te délayer cette définition.

On peut dire qu'au point de vue des opérations humaines tout en ce bas monde revient à l'évaluation des grandeurs; grandeur ligne, grandir superficie, grandeur volume, grandeur temps , grandeur poids, grandeur température^ grandeur énergie , etc. etc. — Question de comparaison ou de mesure ; relation , rapport entre quantités de même nature; tout cela nous enchaîne à un point de vue purement relatif, et l'absolu, comme le juste d'autrefois v se trouve banni.

Presque jamais , si ce n'est dans des cas théoriques choisis ou même construits artificiellement exprès , la comparaison, l'évaluation, la mesure directe n'est possible. Dans chaque circonstance il faut s'ingénier pour inventer un procédé indirect qui ramène l'évaluation à celle de quantités plus commodes que les cas naturels ne les offrent. On remplace la recherche d'un rapport par celle d'un autre rapport que l'on sait être équivalent, sauf la réserve de plus haut sur les grandeurs idéales dont on part.

Je vais insister par un ou deux exemptes : Tu as un fil, lu veux apprécier sa longueur en la comparant à un mètre ; ta vive imagination saura bien se] créer unê^oule de circonstances , soit de ténuité, soit de volume , etc. qui rendent

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impossible , sinon très difficile, le portage direct d<3 l'unité , l'aunage en un mot; pèse le fil, pèse sa longueur d'un mètre; le rapport des poids sera celui des longueurs et l'opération inverse pour des difficultés en sens contraire, comme l'absence de balances , te fournirait à son tour le rapport des poids. Tu as un papier de forme irrégulière que tu dois recouvrir d'une substance précieuse et il te faut la superficie du papier pour prévoir le prix de la substance ; tu le pèseras ainsi que la surface d'un mètre du même papier €t le rapport des poids te donnera celui des surfaces.

Cela suffira j'espère à mon sujet; tu le vois, l'on suppose la conformation identique, dans un cas du fil, dans l'autre du papier; la bonté de ton résultat pratique dépendra de la réalité de ton hypothèse et tu peux affirmer que l'erreur ne sera jamais nulle, quoique négligeable, souvent même insaisissable.

Je ne te dirai point que ces moyens et mille autres analogues soient précisément mathématiques; ce serait une idée fausse; mais leur indirection , si tu veux passer mon mauvais néologisme , fait bien sentir et mieux qu'un raisonnement comment Fou est forcé de tourner autour d'une question de ce genre pour la résoudre. Il sera utile de systématiser les procédés de 'mensuration indirecte dans les cas assez abstraits pour être abordables et leur théorie peut donner , doit donner lieu à une immense série de spéculations intellectuelles.

Ces théories portant sur les objets simplifiés le plus possible, sans leur enlever toutefois une sorte de réalité extérieure , l'intelligence humaine pourra faire l'éducation de sa

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faculté coordonnatrice , peut-être la plus utile et la plus puissante de toutes au point de vue de l'assimilation des connaissances et l'appliquer avec fruit une fois développée à des objets plus complexes, plus délicats, où l'absence d'un guide laisserait se perdre toute puissance de réflexion.

Ainsi nous précisons un peu : les mathématiques doivent coordonner les procédés de mensuration indirecte dans les cas les plus simples $t les plus généraux.

Il pourra arriver que la recherche d'un rapport plus commode nécessite la considération de quantités auxiliaires dont l'introduction nous représentera comme une sorte d'échelle dont le premier et le dernier barreau seront les deux rapports, l'un à obtenir indirectement, l'autre à évaluer de suite, les intermédiaires devant disparaître du résultat final.

Il y aura donc une liaison , un enchaînement entre ces diverses grandeurs; cette liaison, cet enchaînement, cette dépendance est exprimée en mathématiques par son mot le plus général , le mot fonction.

Fonction , ou expression de loi , mode de dépendance, tout cela sert à exprimer comment une quantité variable passe par divers états de grandeur, en suivant les changements apportés dans une autre variable.

Dans la nature les fonctions sont concrètes , et quand tu n'auras plus à considérer que des rapports liés entre eux, la fonction se spécialisera par le mot équation. Ce mot correspond donc seulement à une subdivision des fondions , pour

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le cas où ces dernières ne contiennent plus que des rapports ou nombres purs.

La recherche de la loi concrète ou fonction reliant diverses grandeurs dépendra de chaque branche spéciale de la science et il s'agira de trouver la fonction abstraite ou équation correspondante ; alors certains procédés techniques permettant d'évaluer en nombre l'équation f il s'agira d'évaluer aussi d'une manière concrète le résultat. Il y a , pour ainsi dire , un thème pour le passage du concret à l'abstrait qui constitue l'établissement de l'équation, et comme une version, pour revenir du résultat abstrait au résultat concret ; ces deux termes extrêmes étant réunis par un lien général.

Nous obtenons donc pour étude préliminaire, planant au-dessus de toutes les sciences , l' objet équation ou liaison de rapports et les procédés techniques de leurs transformations ou évaluation en constituent le préambule logique.

Des phénomènes d'ordre très variés, des fonctions concrètes très différentes peuvent donner lieu à la considération d'équations identiques et le travail analytique fait une fois pour toutes, qui servira de préface, s'utilisera pour tous les cas qui ont ainsi, sans que rien d'abord le puisse faire prévoir , un cachet commun.

J'ai employé ici l'adjectif analytique du mot analyse et nous entendrons par ce mot , en dehors de son acception scholastique , tout ce qui comprend l'étude des fonctions abstraites , ou liaisons de rapports , ou relations entre les

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grandeurs pures, sans appellation d'aucune sorte, c'est- â~ dire dans leur plus grand état d'abstraction.

Si tu abstrais du corps toutes ses propriétés les plus simples , il te reste le nombre ; par la considération du rapport ou de l'abstraction à sa plus haute puissance, tu arrives à ce terme le plus simple et le plus général ; comme l'avait senti la philosophie antique , le nombre , la grandeur pure, domine tout, enlace tout. — Les lois' de la grandeur constitueront l'analyse.

Cela posé , je t'ai dit que les mathématiques ne s'occupent point de l'évaluation de toutes les grandeurs concrètes ; loin d'elles la pensée de vouloir formuler en équations ou liaisons abstraites toutes les fonctions naturelles, et quoiqu'au fond l'on sente bien dans tous les cas l'existence de la loi ou fonction , l'extrême complication des phénomènes ne permet pas de dépasser cette vue générale ; pour les cas dont je parle , on devra recourir à des procédés spéciaux,, n'empruntant de l'analyse qu'une saine préparation intellectuelle.

Après la grandeur pure , la forme considérée seule est le cas le plus général et le plus abstrait. — L'étude des formes constitue la géométrie.

Le degré d'abstraction qui précède laisse subsister les questions de déplacements qui ne changent aucun des attributs d'un objet et dépendent des seules questions de forme. — L'étude du mouvement constitue la mécanique*

En d'autres termes , led corps considérés dans le temps et

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dans l'espace sans autres particularités créent la mécanique; dans l'espace seul, la géométrie, et en dehors du temps et de l'espace, l'analyse ou étude du nombre pur.

L'analyse a proprement parler n'aura sa complète utilisation que pour les questions de forme et de mouvement; elle sera sans doute applicable à tout, en prenant les choses de très-haut , en ce sens que tout dépend des lois de la grandeur en général ; mais cette application sortira de notre sujet. Ainsi : analyse , géométrie, mécanique, ou grandeur pure, grandeur forme, grandeur mouvement; voilà l'objet de ce que dans son ensemble Condorcet appelait la mathématique.

L'étude humaine ne portera dans cette sphère que sur des types tellement simples, primordiaux, fondamentaux, élémentaires, généraux, q«e c'est alors et seulement alors que les procédés, de déduction et d'induction dont l'ensemble constitue la logique, pourront s'appliquer avec fruit et sans crainte d'erreur, eu égard aux vérifications de chaque instant. Ces types sont tellement simplifiés que, sous un certain point de vue, ils deviennent idéaux et, comme je ne saurai trop le répéter, sont différents toujours par leur perfection de ceux qu'offrent la pratique; jamais les résultats ne seront que des approximations au point de vue concret.

La vérité de détail est, à mon sens, au-dessus de notre puissance ; nous ne pouvons être sûrs d'une réalité qu'autant que la systématisation des idées générales dont nous l'avons déduite se prête sous mille aspects divers à des vérifications de toute nature; un raisonnement n'a de valeur

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— Ak —

que s'il a déjà su nous amener à des résultats sûrement bons et si Ton trouvait une nouvelle manière de prouver, je ne l'accepterais en dehors de sa spéciosité qu'après l'avoir vue me conduire toujours au vrai.

Pour moi les connaissances humaines doivent se classer sur un immense tableau qui dans tout son ensemble sera vrai ou faux et dont les détails seront acceptés ou repoussés. J'attends l'épithète d'exagéré et te renvoie à la préface d'Othello par M. de Vigny.

Je dis plus encore, si tu pouvais te représenter un nombre de vérités s'étayant mutuellement et dispersées sur une table comme des grains de blé , je placerais ma tête en enjeu sur les intermédiaires et un cheveu sur les extrêmes. — Les vérités ne sont vraies que par leur mutuel appui; on oppose système à système, oh ne s'attaque jamais aux détails et l'homme qui ne peut faire le tableau de ses concepts , qui n'est point capable de dire : je pense cela sur telle chose parce que je pense ceci sur telle autre ,- peut manger , boire, dormir , mais n'est pas ; c'est un végétal , je nie son existence.

Ceci est une digression personnelle en dehors de laquelle tu reconnaîtras qu'au point de vue de la préparation intellectuelle nécessaire à la perception des vérités [de toutes sortes, nous trouverons là une véritable école de raisonnement sain et sûr qui remplacera pour nos neveux la scholaslique d'autrefois, la rhétorique d'aujourd'hui.

Remarque-le bien, l'inflexibilité, comment dirais-je, la rigidité des raisonnements et desj>reuves ne tient point à

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la nature spéciale de certains cerveaux, mais au fond même des questions, abordables pour tous , tellement simples que le paradoxe y trouve rarement place, tellement évidentes par les confrontations de chaque instant que l'autorité ne subsiste ici que par un hommage envers la prééminence intellectuelle. — En un mot, c'est un prisme qui n'a qu'une facette, une médaille sans revers.

Je vais donc essayer de parcourir les diverses parties des mathématiques; mais rappelle-toi bien que pour toi, et par toi, en dehors de ma propre faiblesse, je serai conduit à pâlir bien des points de vue, voire même à en beaucoup omettre et qu'à moins de t'envoyer des volumes , je ne puis t' exposer ni toutes les idées, ni tout leur enchaînement philosophique. Vraiment la tentative est hérissée d'épines; causer mathématiques sans trop effrayer un profane de sa technologie barbare , parler escrime sans prononcer le mot épée!

J'insiste encore sur quelques points nécessaires ; l'idée de loi ou de fonction ne s'applique qu'à des états moyens des grandeurs qui en négligeant de petites quantités représentent bien leur mode de variation ; ces petites quantités seront elles-mêmes susceptibles d'être sériées ou traduites en lois , et ainsi de suite ; sous ce point de vue les lois sont essentiellement fictives. Toutes ces choses te seront rendues familières par le soin que je mettrai à distinguer dans les deux branches , forme et mouvement, l'origine de chaque art pratique'qui en dépend.

Au reste, tu ne comprendras bien le début et l'utilité de chaque détail, que quand une vue d'ensemble te permettra

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de revenir sur tes premiers pas; les sciences forment un tout compact qu'il faut parcourir par couches totales et successives. — Une seule science poussée à son extrême limite entraîne forcément la connaissance complète de toutes les autres ; ce fait rend les premiers pas fort difficiles et ne permet l'espoir de compléter chacune que quand les autres auront subi un accroissement simultané. — C'est par une sorte d'oscillations successives, de retours permanents que s'accroît le bagage des prévisions humaines. — J'ajouterai encore , que si pour beaucoup de points de vue, surtout dans l'analyse , tu étais tenté de me dire : mais enfin cela est de simple curiosité, à quoi cela peut-il servir? Ce serait pécher par témérité. Condorcet insiste sur ce que les sections coniques dont l'étude paraissait un amusement aux savants delà Grèce, a servi plus tard à baser toutes nos théories astronomiques ; dernièrement M. Lamé, membre de l'Institut, utilisait pour la théorie des sons produits par les verges élastiques, des propriétés de nombres jusque- -là rangées dans la pure spéculation; même pour les cas où l'on ne saurait point indiquer une application pratique, crois bien qu'il serait aussi peu sage de nier que d'affirmer l'utilité ultérieure de certaines conceptions.

En dehors du point de vue escrime intellectuelle, je serais fier si je pouvais obtenir de toi l'aveu que l'on ne peut se livrer à une branche quelconque des connaissances humaines sans connaître les conditions élémentaires de temps et d'espace dans lesquelles elles ont leur objet.

Mais avant d'être l'aurore d'un genre ingrat qui doit l'ouvrir les portes de ce jour, je tiens à être rassuré contre l'ennui que peut procurer à un esprit délicat, mais un peu

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superficiel , mon lourd essai de vulgarisation ; si ta réponse est favorable, je franchis le fiubicon, pénètre dans l'analyse, envahis la forme et cours au mouvement.

À bientôt, et amitié.

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II e LETTRE