GRANDEUR PURE OU ANALYSE
Mon ami ,
Ta réponse est satisfaisante ; sauf l'ironie sur mes vérités vraies et fausses f sur le superficiel de ton esprit , sur la négation de l'homme, ete tu as su trouver le doux chemin delà flatterie, et redoubler mon courage en m'affirmant que pour toile coefficient et l'exposant n'étaient point termes de chimie.
Donc je continue; dans tout ce qui va suivre, je chercherai à te présenter avec ensemble et enchaînement les plans principaux, en laissant dans l'ombre la totalité des détails ; je t'exposerai ce qui , selon moi , doit dominer l'étude, ce qui peut s'appeler l'esprit et la tendance de chaque partie , ce sur quoi l'on devrait insister pour une bonne et saine assimilation, L'enseignement actuel est à mon sens dans une mauvaise voie; l'on se préoccupe davantage soit dans les cours, soit dans les examens, d'obtenir de chaque élève des preuves d'une grande opiniâtreté de mémoire, que de lui faire sentir le relief, la corrélation,
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la successibilité des idées; la plupart des traités existants sont de véritables dictionnaires de théorèmes. — Les hommes les plus émiuents s'occupent plus d'inventions et de développements, reculant les limites de la science, que de travaux de vulgarisation , et ces derniers restent souvent le partage d'hommes consciencieux mais secondaires; au reste, je ne sais si vraiment il n'y a pas une sorte d'opposition, de partage entre l'esprit d'invention et celui de coordination ; l'école la plus célèbre de notre époque en serait une preuve presqu' évidente ; là , les illustrations scientifiques actuelles, après avoir imposé leur nom, leur autorité par des travaux trés-élevés , font des cours souvent brillants , mais plus souvent encore sans liaisons , sans systématisations ; c'est un beau panorama; cela rejaillit sur la culture intellectuelle; le temps est aux brochures; on voit de toutes parts de petits mémoires sur de petits faits ; chacun cherche à vite produire sa petite idée ; l'esprit synthétique manque, on s'aborde dans les détails, les ouvrages fondamentaux sont comptés; pour la plus simple réflexion sur une idée nouvelle , pour le plus petit changement susceptible d'être entrevu au sujet d'une invention , vite l'imprimeur; on veut jouir sur le champ du fruit de son travail, et les armes peu chargées donnent de faibles détonations. Cependant çà et là un talent réel se disperse dans des minuties toujours qualifiées de choses importantes; souvent il eût suffi d'une lente précaution , il eût suffi d'attendre la maturité du fruit pour s'élever à la hauteur d'un ensemble profitable au public et plus encore à l'auteur. Cette critique et d'autres , s'il s'en trouve, n'a du reste que bien peu de portée , eu égard à la nullité de mes titres scientifiques.
Ainsi, couches totales et successives, teinte plate que l'on
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peint au [lavis, plans d rares n'ayant de valeurs que par le relief des voisins , etc. — Tu t'impatientes et j'entre en matière.
Les spéculations sur la grandeur pure devront toujours se terminer par un résultat clair à chaque esprit, et susceptible pour ainsi dire d'être touché. Ce résultat sera une réunion d'unités de certaine sorte , qui constitue le nombre; chacun d'eux doit avoir son nom et il s'agit d'économiser le langage et l'écriture en les baptisant; les moyens de convention qui servent à ce but s'appellent numérations. Le système adopté , choisi peut-être sur le nombre des doigts , n'est certes pas le plus avantageux ; mais son usage universel a fait reculer la grande commission des poids et mesures , présidée par St-Romme , dans l'application d'un changement projeté.
Dans ce système que tu connais bien, l'on convient de dix noms , et l'on affecte un nouveau mot à chaque groupe de dix ; Ton constitue trois ordres, que l'on range par catégories ou classes composées chacune de ces trois ordres, et cela en nombre illimité.
Pour écrire commodément , on convient de dix caractères choisis d'après les différences les plus simples et les plus visibles, et le nombre 40 qui forme l'échelle de relation du système en est appelé la base.
Les caractères pour se grouper simplement seront dotés d'une valeur relative , qui dépendra de leur place mutuelle, leur valeur absolue ne dépendant que du trait; le n'est qu'un symbole qui n'a d'influence que sur les valeurs
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relatives , et n'a en dehors aucune sorte de signification.
L'habitude de nombrer et de se représenter une valeur indiquée crée toute l'importance d'un système, et renonciation d'un nombre, sept étant l'échelle de relation, n'aurait aucun sens dans notre esprit, à moins d'en chercher l'équivalent dans le système usuel.
Ce point de départ une fois choisi , il s'agira d'effectuer le mélange, le groupement, la trituration des nombres , et l'ensemble des procédés employés s'appelle Arithmétique. Ainsi pour nous , elle sera: effectua tion pratique dans un système déterminé; l'opération sera définie par ce fait que l'on transforme un ou plusieurs nombres, que l'on obtient leur écriture sous différentes formes sans sortir du système de convention; notro système est décimal, toute spéculation qui sort ce IL n'est pas à proprement parler comprise dans l'arithmétique, et tout ce qui a ce cachet doit y être compris.
Sous un point de vue général , il n'existe qu'une seule opération qui consiste à réunir plusieurs nombres donnés en un seul ; cette opération sera l'addition ou son inverse , la soustraction , et toutes les autres en sont des combinaisons ou des abréviations. — L'esprit humain est ainsi fait qu'un rapport de deux termes est seul bien saisissable à son esprit; tout pour être bien compris doit se ramener là.
La multiplication et son inverse, la division , abrégées des premières sont la base de l'appréciation numérique. Ces deux couples constituent l'élément arithmétique , et si je ne t'ennuie point de plus longs détails à leur sujet,
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en dehors même de la considération qu'elles te sont familières, c'est qu'en vérité ce serait perdre tin temps précieux sur un sujet fort difficile, quand un simple retour d'idées suffira pour tout éclaircir ; ce serait du reste sortir de mon sujet. À mon sens, leur utilité consiste dans leur pratique et nullement dans l'acuité de ce que l'on peut réciter à leur égard ; tu verras plus lard l'origine et la véritable théorie de ces changements de forme.
Tu as apprécié des collections d'unités, et tu peux avoir besoin d'apprécier aussi des quantités plus petites que 'l'unité choisie; alors tu la changes, et cette considération a une grande importance au point de vue du rapport des grandeurs étalons; ce rapport constitue la fraction que l'on exprime en décimales par une virgule de convention, ou bien en symboles à numérateur et dénominateur ; la conversion mutuelle de ces symboles , leurs propriétés occasionnent une série d'opérations arithmétiques basées sur les premières et d'un usage manuel constant. Sans t'inquiéter encore des raisons minutieuses de chaque transformation , accepte leur pratique comme seule utile.
Si tu t'élèves ensuite à la considération de plusieurs facteurs égaux, il te vient la notion et le mot de puissance; opération nouvelle qui jointe à son inverse, la racine, donne le troisième couple arithmétique.
Ainsi dans te système à base 1 , tu sais nombrer et opérer; le simple bon sens t'indique la marche de chaque opération et les propriétés usuelles des nombres décimaux ; tu as alors la pierre angulaire de l'édifice , et je te défie de
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faire un seul pas dans la vie , clans quelque route suivie par l'esprit humain sans utiliser ces notions.
L'arithmétique proprement dite se borne à cela ; elle se mêlera partiellement, dans beaucoup de cas , aux autres spéculations de l'analyse , pour aider à un savoir incomplet ; mais son cachet spécial , caractéristique est toujours d'évaluer dans un système déterminé , et pour nous autres terratiques dans le système à base 10. — J'insiste d'autant plus à cet égard que la plupart des traités semblent craindre de tracer les limites nettes de ce début d'analyse ; à mon sens , il serait très bon , très utile , très fructueux de borner ces notions à de véritables manuels techniques , presque sans preuves , qui ne sont compréhensibles qu'après une seconde couche , qu'après avoir pénétré plus loin ; ce qui rend l'arithmétique raisonnée et rigoureuse la plus difficile de toutes les sciences , fait d'autant moins étonnant que toutes les épines sont amoncelées à l'origine.
Déjà le côté abstrait de la question a besoin de se compléter par l'appréciation du résultat et l'utilisation courante des opérations.
Celte comparaison de l'abstrait au concret permet d'envisager l'application dans quelques cas simples. Ainsi le multiplicateur étant le nombre de fois qu'un autre nombre doit être ajouté à lui-même est essentiellement abstrait ; cette considération sert à lever de petits paradoxes élémentaires provenant d'un changement d'unité , et donne à l'opération inverse, la division, deux nouveaux sens ; tantôt elle servira à partager en parties égales, tantôt à savoir combien de fois
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une grandeur en contient une autre, c'est-à-dire à donner leur rapport , ce qui ramène à la fraction.
Au point de vue concrétion obtient les procédés usités pour les règles dites de trois, d'alliage , de mélange, de société, d'intérêt, etc., qui toutes sous leur aspect élémentaire n'exigent pas d'autre acquisition intellectuelle. Déjà ces règles établissent le passage du concret à l'abstrait pour amener à une pure opération numérale, et le retour de l'abstrait au concret pour nommer le résultat.
Je te suppose donc assez fort pour vérifier un achat ou les comptes de ta ménagère , et je vais entrer dans le champ de l'analyse dont ceci n'est qu'une préparation technique , destinée à rendre tangibles ou comparables à l'esprit les résultats à obtenir.
L'analyse comprend l'ét&de des formes différentes quoiqu'équivalentes, sous lesquelles les fonctions abstraites peuvent se peindre aux yeux, se formuler en tableaux d'opérations ; il faut ici un système de notations pour représenter les grandeurs et des symboles pour écrire rapidement leur mode de liaison. — L'algèbre, proprement dite correspond à l'étude des fonctions les plus simples, ou des trois couples que nous connaissons, et l'on décore du nom d'analyse transcendante l'étude des formes connues plus tard; cette distinction n'aura pour nous rien d'important et le mot général d'analyse nous suffira; je vais te faire un véritable défilé militaire de ses diverses parties , plus rapide encore que pour l'arithmétique.
L'on désigne les grandeurs par des lettres quelconques,
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françaises, grecques, etc., ne se limitant que par la comfrfûdite et la distinctibilité du trait; quand les grandeurs ont, sous un certain point de vue, une analogie dont on veut conserver la trace , on les désigne par là même lettre affectée soit d'accents, soit d'indices dont le numéro varie ; les fonctions en général se désignent par les lettres f, f\ f, etc., suivie d'une parehthèse contenant la représentation des quantités qui font varier cette fonction , et pouf une valeur particulière de ces quantités dites variables , ofi écrit celte valeur à la place dé son appellation littérale pour pèiiidrë la! grandeur correspondante delà fonction.
La rapidité d'accroissement d'une plante dépehd de sa nature propre et des conditions astronomiques , physiques, chiriiiques au milieu desquelles elle se développe; elle serai fonction de la température , de la hauteur barométrique, etc. etc., c'est-à-dire du rapport de ces grandeurs à leurs unités naturelles , et si l'on pouvait formuler la loi des changements en signés algébriques, on aurait là valeur particulière de lai fonction , jitiiïr une valeur thermométrique déterminée , eri la substituant à la placé de ïâ lettre qui la représenté éiï général.
Lès Signes conventionnels d'assemblage sotit +, — , X, ~ V~,- f qui veulent dire plus, moins, tnuî tiplié par , divisé par * facirie^êgâl, et si ce n'était plus long, tu aurais autant d'avantage à mettre les expressions françaises ; ce n'est certes pas là , comme on l'a dit, où résidé la netteté des idées. — Le coefficient est un multiplicateur numérique ou littéral, peu. importe, et l'exposant l'indicateur de la puissance. Enfin une expression algébrique est une réunion de lettres jointes par !es signes oii symboles de l'analyse; ce sera un monôme
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qugnd l'on n'a qu'an seul signe + ou — et binôme, poîjrnôrne pour les autres cas. — On aura ensuite une série d'adjectifs pour exprimer la présence ou l'absence graduellp <|es divers signes d'opérations élémentaires, c ? est-à-djre pour class^ de simple à compliqué, et sois sûr que pas un de ipes mots n'est pjps barbare que synecdocque, catgchrèse, metQpypiie^ sprite, hypallage etc, de rhétoriciennp mémoire*
Je v^is passer eu revue les changements de formes algébriques , eii insistant sur ce que les mots de forme et d'opération ^ont correspondants , et qu'en cherchant des formes , d'où Vient le mpt formule, on a presque constamment envije, la fadilitatipn de l'opéraj^Qn numérique, but final.
Ainsi, nouveau préambule : Etude de la forme pour les trois couples d'opérations élémentaires. Toujours des préambules ! Hé oui toujours ; en vérité cette sorte d'esquisse d'un cours ne sera qu'un long exorde ; je prétends enfoncer pour toi la porte de la cognition humaine, la porte, entendstu bien? Quelle vanité! le simple mortel éclairer l'artiste! l'inférieur en remontrer à son supérieur !
Lorsqu'en indiquant la soustraction l'on veut un résultat numérique , il peut arriver que le terme à retrancher soit le plus grand; jusqu'ici l'opération n'a plus de sens, et si l'on réduit le plus possible , il reste une quantité précédée du signe — . Doit-on la rejeter? Nous allons voir que c'est affaire de pure généralisation, et que le prolongement d'idée qui consiste à doter de réalité extérieure cette sorte de grandeur subjective est précieux.
Quand on demande la solution d'une question, la s»sr-
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che algébrique à suivre consiste à représenter les grandeurs par des lettres et à vérifier sur elles l'identité d'un résultat ; tuas fait échange de certains objets, et tu veux savoir ce que tu redois; tu établis l'équilibre entre les valeurs, et si ta dette se trouve affectée du signe — , c'est que tout au contraire tu perdais à l'échange , et le résultat est la compensation ; c'est un avoir au lieu d'une dette; opposition de sens. Tu as un bassin percé d'ouvertures qui laissent écouler l'eau pendant que des robinets en apportent; tu veux savoir combien il faudrait ajouter de robinets pour produire un équilibre parfait ; ton résultat coté du signe — t'apprendra que déjà il entrait plus de liquide qu'il n'en sortait; ton tube additionnel doit se remplacer par un orifice de plus à la paroi; tu dois enlever de l'eau et non en ajouter. Ainsi, en cherchant à résoudre un problême, tu ne sais à priori quel est le sens de ton résultat ; le signe + ou — te l'indique.
Le monôme ou élément algébrique contiendra donc quatre choses : un signe, un coefficient, des lettres, des exposants* et pour chaque opération il y aura quatre règles .
L'addition donne lieu à un changement de forme précieux quoique très simple : a + b = b + a, vérité expérimentale.
La multiplication donnera ab = ba , vérité expérimentale que Ton peut à la rigueur réduire à la précédente; mais pour être complet c'est déjà fort long, et je te le répète, l'expérience est la base du départ en tout.
La règle des signes présentera un effet singulier; deux quantités négatives ont un produit affecté du signe + ; encore vérité expérimentale ; accepte-la comme un fait qui
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conduit à de nombreuses, vérifications; il sera très utile de rejeter à cet égard tout appareil métaphysique.
La division en inversant les règles de l'opération précédente conduit à donner un sens aux exposants et négatif ; a vaut 1, et le signe — pour l'exposant permet la suppression du signe de la division. Cette opération permet d'étudier les propriétés du rapport en général, et l'on peut résumer ce qu'elles ont d'important en un seul énoncé: si tu as une réunion de rapports égaux, la somme des numérateurs divisée par celle des dénominateurs conserve la même valeur; cette vérité et ses déductions sont d'un usage élémentaire capital.
La racine déduira ses règles de l'inversion de celles de la puissance , et là se produit un résultat fort grave ; les racines paires des quantités négatives n'ont pas d'équivalent algébrique possible, et sont qualifiées d'imaginaires; ainsi V^î type de ces sortes de valeurs , n'a pour nous aucun sens. Doit-on le rejeter? Même réponse que pour le signe — ; cette quantité idéale conservée engendre, au propre, de nouvelles fonctions réelles. Mille combinaisons, dont la plus simple est le retour a la puissance correspondante, les renouvellent sous formes tangibles ; encore affaire de généralisation.
La règle inverse des exposants utilise leur forme fractionnaire , ce qui permet la suppresion de ce signe V qui ne se relie en rien aux symboles précédents.
C'est une marche graduelle , continue dans l'extension des mots. D'abord la quantité est entière et positive, puis
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elle devient fractionnaire, variable, négative, imagfpaîfeT l'exposant* notation primitivement concrète à sens entier et positif, s'interprète pour des valeurs 0, négatives, fractionnaire^ , et plus loin il sera variable.
passons maintenant aux polynômes ,, et parlons de leuy ordination ; les termes monômes séparés contiennent diverses lettres avec divers exposants; dans tip. but unique de régularité on les dispose de façon que l'exposant d'une même lettre aille toujours en croissant pn en diminuant ;
A + Ba + Ca? + 1)q? + et&. etc.
est ordonné suivant le§ puissances ascendantes de a; ne t'effraies pas , ce sera presque masjejjle formule ? et elle ne contient que coefficient et exposant. Par un léger retour sur nos pas, si à te désignait la base ou l'échelle de relation d'un système de numération > ne reconnaîtrais-tu point un nombre dont 4, #» G s pèsent les divers caractères, et qui serait éprit de suite si Ces lettres exprimaient des quantités inférieures à a. Passer d'un système de numération à pn npuveap. système reviendra donc à transformer cette expression en une autre , ou a aurait une valeur différente. La théorie des npmbres , cette mystérieuse et jùsqn'ici presqn' indéchiffrable énigme de l'analyse, revient à trojiver les propriétés fie pes séries indépendantes de (t. .-? Tu verras plus lpin l'origine de ses difficultés*
la lïîultipljcajtion de deux .polynômes te donnera des changements de forme très importants ; ils légitimeront la règle des signes en la vérifiant ? et ils seront la vraie théorie de l'opération arithmétique correspondante. La division te dpnnem une étnçle analogue , mais doif! les résultats spn]t contenus dans l'idée de puissance
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La imisssàncë ëii y ëompfëiïànt les exposants entiers , négatifs et fractionnaires donnera des propriétés qui sont presque à eux seuls toute l'algèbre du début ; son étude se gfàdtief-â ëh s'éievàiit dtl cas d'Uti binôme a ceux des polyriôrhës; grâce âii sens général de rexposàrtf, lés tijréràtioUs division et racine eh dépendront.
Ainsi Voilà déjà une sërîë de chafigefteiïtè de fbrtriës , dont dèui à + b = h + a, ab ±è ba, seront de vérité expérimentale , ainsi que la règle des signes , et tous les antres de simples prolongements, dus aux déductions d'heureuses notations et dé simplicité de sujet Ces changements permettront pour toute fonction algébrique de déterminer plus #u moins commodément la valeur numérique due à là spécialisation des lettres qui y entrent. Un bref exeftipîe ; la multiplication prouve que (# + b) [à — b) '==■ ê — #*, deux formes non ressemblantes mais équivalentes ; hé bien , tantôt l'une, tantôt l'autre se prêtera plus facilement aux applications iïuiïîériqués ; j'insiste beaucoup , parce que le cachet de cet ordre d'idées est là tout entier.
Eficotë un pas ; juscfUlci rious avons effectué des trànsforiïiâtibns à^àïit put* but d'obtenir la valeur nuriïériqUe d'une fonction de naiUrë explicite; mais la quantité à détër* Miter peut se trouver mêlée à celles connues d'une façôïi implicite. Ainsi x = f[a 9 b, à) indique £pie x dépend de a, de b , de c , et f ( x , a, b, c) ±= o , donne aussi une rëlàtiôri de dépendance qui est qualifiée tfiMpliéite; si des dernières pouvaient se r àiheiïër à la première formé , cette distinction n'âuMt aucutiëtÉleuf ; UiàïhèUreusëmënt , Fexistënëè de la fonction explicite correspondante est UU âëfitimeùt qui M
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peut avoir d'existence symbolique effective dans la plupart des cas.
Ces fonctions constituent ce que Ton appelle les équations proprement dites, et leur étude, la théorie générale des équations. Pour lesclasserpar ordre de complication Ton s'explique que la présence de plusieurs inconnues donne un cas plus complexe, et qu'en dehors de cela, leur difficulté croît par ordre de degré , puisque les supérieurs comprennent les inférieurs. Une équation algébrique à une inconnue pourra s'écrire :
= A + Bx + Cx* + Dx s + etc.
et l'on connaît les changements de formes nécessaires pour ramener x à une forme explicite et algébrique dans le cas du premier et du deuxième degré ; à la rigueur on écrit la valeur générale dans le troisième et le quatrième, mais pour le but numérique la solution est souvent inabordable.
Plus loin , on ne sait rien , et tout ce que l'on peut dire c'est qu'en général les fonctions explicites donnant a; ne sont pas formulables en fonctions algébriques. Ces fonctions n'expriment qu'un mode de dépendance restreint, et ce sont de nouveaux modes de variation qui doivent servir à formuler explicitement l'inconnue. Au reste, certaines formes sont incompatibles, et plus tard nous retrouverons cette idée d'une manière plus décisive encore; de nombreux travaux très élevés, très éminents, n'ont souvent eu pour but que de démontrer celte incompatibilité entre certains symboles. J'affirme avec d'autant plus de sécurité x que le seul cas complètement résolu qui comprend les équations dites binômes ou à deux termes de la forme x u + 4 = n'a pu céder aux efforts intellectuels, que par l'usage d'une fono
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iion, d'une notation, d'un certain mode de variation nouveau qui sera introduit plus tard et que Ton appelle sinus.
En dehors de la résolution effective on a cherché les propriétés des équations, propriétés exigeant de fort gros volumes ; la plus curieuse et la plus importante d'entr'elles est celle qui affirme la décomposition d'une équation d'un certain degré en autant de factqjurs du premier qu'il y a d'unités dans le degré de la fonction. Ainsi :
A 4- B x + € xz + etc. ■= {x — a) [x — b) [x — c) ■+ etc. les quantités a, b, c, etc.. s'appellent les racines de l'équation parce que ce sont les valeurs de la fonction implicite représentée par la lettres et ce n'est qu'une simple extension du mot primitif ou cas général ; ce mot avait d'abord été restreint au cas de la forme X n + A = et seulement pour la valeur arithmétique. Toujours extension des mots, des signes, des symboles , généralisation des idées. Ainsi une équation d'un certain degré a toujours autant de racines que d'unités dans le degré. Déjà interviennent les imaginaires ; sans teftr précieux secours il n'y aurait rien dégénérai, et ces racines idéales qui sont incompréhensibles au point de vue du nombre pur, ont dans de nombreuses circonstances autant d'importance que les autres. L'équation binôme du troisième degré , par exemple , donnera outre la racine arithmétique de*ux autres valeurs déterminables. Pour les problêmes pratiques, la valeur numérique des racines est surtout importante; en dehors de la résolution effective , technique , générale , l'on a créé une série d'opérations purement arithmétiques , qui ont donné lieu à des travaux remarquables , et qui sortent , à vrai dire , du cadre de l'algèbre, puisqu'il n'y a plus recherche d'une forme, mais d'un nombre dans le système à base 10 ; la réalisation
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de ce nombre pur s'obtient en s'appuyantsur les propriétés des équations*
Tu n'attends pas de moi que j'aille, degré par degré, t' exposer tout ce que les analystes inventeurs ont appris de détails aux analystes coordinateurs , et je passe au cas de plusieurs inconnues.
En considérant une seule équation implicite où il entre plusieurs inconnues , tu peux donner des valeurs particulières à toutes moins une, et la détermination de cette dernière ramène au cas précédent ; ces inconnue^ ont donc des valeurs indéterminées et marchent par groupes, en nombre illimité , dont on peut faire des tableaux ; hé bien , ce problême de la recherche des valeurs qui se correspondent, dans le cas de solutions réelles, entières, positives , et restreintes souvent à des conditions de grandeurs entre lesquelles elles doivent osciller, contient précisément toutes les difficultés de cette théorie des nombres que le sphinx de la science moderne jette aux passants; l'énigme n'a encore remontré que des Œdipes partiels ou timides.
Mais situ as autant d'équations que d'inconnues, alors il n'y aura plus pour chacune d'elles qu'un nombre limité de groupes de valeurs. Un nombre d'équations égal à celui des inconnues offre ce que l'on appelle un système déterminé, et leur résolution générale serait très importante. Pour l'opérer on cherche à déduire , du système donné , un autre système dit équivalent , contenant une équation de moins et une inconnue de moins ; les valeurs des inconnues restantes doivent être les mêmes que celles qui provien-
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draient de la résolution de l'ancien système , et de proche en proche on ramène la question au cas de deux équations à deux inconnues, et enfin au cas précédent. — Chaque inconnue qui n'entre plus dans les nouvelles liaisons est dite éliminée, et en remontant , chaque valeur par son report dans le groupe d'équations précédentes, fera successivement connaître les grandeurs correspondantes de chaque autre inconnue; ainsi ce problème contient toutes les difficultés du précédent et devient par suite inabordable en général. ]A encore l'on devra utiliser des propriétés de formes pour faire de l'arithmétique pure , et l'on peut dire qu'en dehors des équations du premier degré en nombre égal à celui des inconnues , l'on ne sait plus formuler explicitement les fonctions qu'elles représentent. — Suppose maintenant que nos équations contiennent en plus de nouveaux symboles fonctionnels , et la complication croît tellement, que pour ces expressions qualifiées de transcendantes, l'on ne peut même plus créer d'applications numériques.
Après cette esquisse des manipulations ou transformations purement algébriques, où lesavoir humain est déjà si incomplet, je veux te parler des séries. L'on entend par ce mot une suite de quantités se succédant d'après une loi déterminée , de telle sorte que chaque suivante peut se déduire des précédentes, d'une façon qui constitue la loi de la série ou la formation de son terme général* c'est-à-dire de celui d'où Ton peut déduire tous les autres en particularisant certains indices. — Dans sa plus grande généralité, la série
sera une succession de termes. Â ït -— A 2 » — Â 3
An , ou  n représente le terme général. — On peut presque dire que la considération de ces suites comprend toutes les mathématiques , et que l'art de trouver la valeur de la
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somme des termes est véritablement le bat arithmétique final. J'appuie sur une distinction importante; parmi ces séries , il en est dont les termes diminuent continuellement et dont la forme s'approche sans cesse d'une certaine limite jamais atteinte, mais de plus en plus approchée, suivant le plus grand nombre de termes que l'on fait entrer dans le calcul. Ces séries portent le nom de convergentes , par opposition à celles dont la somme augmente toujours avec le nombre des termes considérés , et qui sont qualifiés de divergentes. — En général, si l'on prolonge vers la gaudie une série divergente , elle deviendra convergente, et ces deux mots offrent une opposition d'idée analogue à celles des signes -+■ et — . Malgré de très grands travaux, les spéculations sur les séries sont encore dans l'enfance et attendent à la fois invention et systématisation.
Mais , et tâche de bien suivre , les transformations des séries convergentes en d'autres , ou bien leur équivalence formulée par un nombre limité détenues , donnent lieu en général à des fonctions sut generis , toutes nouvelles , ayant des propriétés spéciales , n'étant susceptibles d'être représentées que par un signe conventionnel , que Ton cotera à part, suivant l'importance pratique des opérations concrètes qui peuvent en dépendre.
Pour la formation , la génération des séries, tu peux utiliser la puissance avec ses exposants négatifs et fractionnaires, ou division et racine; l'imagination peut au reste formuler des lois en nombre illimité qui conduisent chacune à des séries à propriétés spéciales , et tout à l'heure nous pénétrerons flans un ordre d'idées qui te montrera leur génération par de très larges procédés. Tout d'abord ,
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les polynômes, les nombres qui en sont an cas particulier sont des séries; les plus simples que l'on connaisse sont appelées progressions par différence et par quotient ; elles résultent du redoublement de l'addition et de la multiplication ou de leurs inverses ; ces suites ont une utilité pratique très grande pour faciliter les calculs de tables astronomiques, de piles de boulets, etc., etc.; elles donnent lieu à de pures fonctions algébriques et sont bien connues. Un procédé de création qui consiste à considérer des fractions dont le dénominateur est accru d'une autre fraction, et cela indéfiniment, est appelé à jouer un rôle utile; cette succession de termes se nomme fractions continues, et leur étude n'a pas encore été entreprise à un point de vue assez général ; elles sont du reste appliquées dans la résolution numérique des équations.
Sans plus différer, revenons à notre début. Les équations ou liaisons de rapports que nous étudions par ordre de simplicité, par couches de plus en plus compliquées et moins générales, ont pour but la représentation des phénomènes concrets. Mais très souvent le phénomène ne se traduisant que par ses effets , la loi en est difficile à saisir et point formulable en équations ; ce que l'on peut observer se rattache à cette loi, mais d'une manière indirecte , et indépendamment de la nécessité où nous sommes d'enrichir l'analyse, jusqu'ici trop pauvre, de nouveaux symboles d'opérations, il nous faudra chercher des procédés de formation de nouvelles fonctions , qui, au point de vue des phénomènes, correspondent à des effets tangibles; et, par un retour auxformes primitives, nous obtiendrons la liaison réelle des quantités variables.
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Une extension d'idée va tout d'abord nous donner une nouvelle fonction. Dans l'expression a m , nous avons su donner un sens au cas où m est négatif ou fractionnaire; mais m variable par accroissement continu ne nous présente plus pour x == a m qu'une relation de dépendance entre x et m qualifiée d'exponentielle; la fonction inverse m == f\x), a une telle utilité que l'on a changé la caractéristique générale feu un mot spécial. Nous dirons m — logx, log. étant l'abrégé de logarithme; a s'appelle la base du système, et voilà un nouveau couple sans analogie avec les précédents ; l'étude de cette fonction montre que par son secours l'on peut effectuer arithmétiquement les opérations du couple puissance par le- couple multiplicateur, et celles de ce dertiier par le couple addition ; vois ce rôle utile ; tes fonds placés dans des conditions données suivent les lois de cette fonction , et ce n'est que par elle que l'on peut résoudre les questions importantes d'amortissement, d'annuité, etc...,; de plus, la longueur insurmontable d'opérations purement numériques ne permettrait pas sans cette fonction de résoudre effectivement les plus simples questions de mesure- S'il fallait à chaque utilisation rechercher la valeur de ce symbole , ce serait échanger un ennui contre d'autres ; on construit des tables qui pour chaque valeur de x fournissent la valeur de m, et réciproquement; dans ce but, on cherche des développements en séries, qui permettent, d'après l'étude complète des propriétés spéciales du logarithme, d'obtenir une grande convergence, et par suite une grande rapidité : on calcule dans le système à base 40, quoiqu'il se produise un système naturel dont la base est toute autre ; au reste l'on sait passer d'un système à un autre,
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De nouvelles fonctions vont être produites par les imaginaires et les séries; en substituant x V=T t à la place û&x dans la suite.
A + Bx + Cx* + D# 3 + etc.
Les termes à exposants pairs sont réels et les autres restent imaginaires; on obtient une forme f -f- F V^\ , où f et F sont deux fonctions nouvelles , et dans un cas excessivement particulier de la série génératrice , ces fonctions acquièrent une telle importance qu'elles ont reçu des appellations spéciales; on les nomme sinus, cosinus, et leur rapport tangente ; ce n'est que par elle et le secours du logarithme que Ton peut terminer d'une façon complète la véritable géométrie ou moyen de mensuration de l'étendue ; ces fonctions et leurs inverses se réduisent du reste à un seul couple , et l'on a formé des tables qui permettent les applications concrètes; nie maintenant l'utilité des imaginaires. J'en passe et bien d'autres.
J'arrive à cette demande de dérivation générale ou moyen d'investigation des phénomènes; prenons notre plante avec toutes ses conditions de vitalité, et cherchons à savoir quelle est sa puissance d'accroissement; tu pourras mesurer sa hauteur à deux moments éloignés , et, divisant la différence par le temps écoulé, tu auras l'accroissement moyen» Mais il est bien entendu qu'elle n'aura point varié par quantités égales dans l'intervalle , et qu'aux vertes époques du printemps, la vie aura été plus énergique qu'aux feuilles mortes; pour surprendre quelque chose dans son mouvement , pour les états intermédiaires , il faudrait prendre des intervalles de mesure très rapprochés; ce que je dis là, pour une plante , s'applique à l'idée générale de fonction, iccrois la variable , et divise l'accroissement effectif correspondant de
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la fonction par celui de la variable ; le rapport sera la tendance à croître, l'énergie d'augmentation, et tues conduit pour obtenir cette tendance à un moment donné à prendre un accroissement très minime de variable ; si le rapport dont je te parle pouvait s'écrire en deux parties, l'une ne dépendant plus de l'accroissement, l'autre s'annulant en même temps que lui , cette partie constante serait bien le coefficient d'énergie pour une valeur donnée de la variable, avec laquelle la fonction tend à croître. Coefficient d' énergie I en vérité je suis heureux de ce mot qui fera image pour toi , et que j'invente à ton profit. Ainsi ce coefficient d'énergie que l'on appelle dérivée, coefficient différentiel, mot qui fait image aussi, etc. etc., sera la partie du rapport d'accroissement qui ne dépend pas de l'accroissement de la variable.
De chaque fonction donnée, supposons que des moyens pour ainsi dire mécaniques permettent de conclure la dérivée, tu auras des fonctions nouvelles déduites des premières qui seront admirablement propres à servir à l'exploration d'un phénomène , puisqu'elles scrutent pour ainsi dire son état intime ; l'idée de fait observable est liée à celle de changement, et par suite à la notion de dérivée; aussi ce mode de formation a-t-il absorbé à lui seul le mot général de dérivation , qui implique toute manière de déduire une fonction d'une autre par un procédé régulier; l'avenir réserve peut-être aux mathématiques l'invention de nouveaux modes utiles, mais il est difficile d^en comprendre qui pénètrent plus profondément dans l'élément loi. Cette sorte de conception pouna produire par elle-même une utilité pratique ; mais son cachet concret , celui par lequel elle ouvre à l'application un monde nouveau, consiste dans le retour à la fonction primitive; et c'est là qu'à chaque
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pas, Ton doit créer de nouveaux symboles pour exprimer de nouvelles liaisons. Un accroissement très minime de la variable, multiplié par le coefficient d'énergie, donne l'accroissement minime de la fonction, et cela d'autant plus exactement que les accroissements sont plus tenus. — On ne tient compte ainsi que du moment précis où Ton considère un phénomène. — Ces accroissements ainsi considérés ont reçu le nom ff infiniment petits ou différentielles , et tu entendras par là des grandeurs indéfiniment décroissantes , dans un état de variabilité successive , au caprice de chacun, qui constitue comme un prolongement de la notion sur les changements ordinaires; en un mot, on introduit là, comme une sorte de continuité arbitraire et aussi complète que le veulent les besoins de chaque spéculation. Tout le calcul basé sur cet ordre d'idées , et qui a reçu le nom de différentiel, revient à dire que si A + a = B + b> est une relation toujours existante pour toute valeur de a et è, ces quantités s'annulant en même temps, et A et B ne variant point avec elles, on a le droit d'écrire A=B; il n'y a pas là compensation d'erreurs, comme le disait Carnot, mais extinction simultanée d'erreurs; ces différentielles que l'on désigne par la notation d en avant d'une variable , donnent plus de facilité de calculs pour la partie technique ; mais ce sontfde simples intermédiaires qui disparaissent toujours pour ne laisser subsister que les dérivées , et j'insiste sur ce quejleur qualité d'indéfiniment variables préserve contre toute erreur.
Que dire, après cela , d'un membre actuel de l'Institut (Académie des inscriptions et belles-lettres) qui dans une traduction nébuleuse, de plus nébuleux Allemands, prétendait que le calcul différentiel devait sa puissance à ce que
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Fou introduisait l'infini dans les formules; l'infini ! Ce que nous appelons vrai n'est que ce qui y est vérifiable ou plutôt vérifié; entre l'infini et les choses humaines quoi de commun? Je permets à chacun , sous tous les rapports , de faire son roman à cet égard , mais je l'arrête quand i) veut pénétrer ainsi armé dans le sanctuaire des réalités.
Au moment où cette conception a pris pied dans le monde, le temps était encore aux nuages métaphysiques; l'on dissertait sur le , ou sur la goutte d'eau comparée à la mer (expression deLeibnitz). Le n'est pas ; c'est un symbole, et si tu peux comprendre rien, te le peindre d'une manière concrète, explique-le moi. Rappelle-toi seulement un mot remarquable de M. Flourens de l'Institut ; l'Histoire de l'Académie (la vraie , celle dont le but est d'éclairer plus encore que de charmer) a-t-il dit , est l'Histoire delà méthode expérimentale. Plus tard je te montrerai le côté objectif qui a conduit Newton à systématiser cette doctrine ; mais si tu désirais approfondir ces notions , considère Finfiniment petit comme un rapide instrument dont la certitude se base sur un nombre incalculable de vérifications. — Au reste je serais fort embarrassé pour findiquerun bon ouvrage ; je connais un plan magnifique dont l'auteur n'a point formulé les détails , et aucun des traités actuels ne me satisfait.
La classification des fonctions permettra pour une variable; dans les cas les plus complexes, les plus composés, de donner des procédés qui constituent l'algorithme du calcul , et quipour chaque fonction explicite ou implicite offrent la possibilité d'obtenir son accroissement différentiel. Dans le cas de plusieurs variables, on est conduit à montrer la
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marche de la fonction comme composée d'accroissements partiels , dont la réunion forme l'accroissement total , et qui sont indépendants les uns des autres; ce principe très fécond, te donnera plus tard ce fameux principe de Bernouilli sur la co-existence des petites Oscillations ; tu peux en avoir une image dans le résultat produit sur l'eau par la chute de deux pierres ; les ondes liquides se recouvrent sans se troubler; l'harmonie d'un orchestre, persistant à toute distance, peut s'y rattacher aussi.
Sachant comment pour chaque degré de complication de la fonction déterminer la dérivée correspondante , on pourra redoubler l'opération et obtenir des dérivées secondes, troisièmes, etc., d'une même fonction primitive; cela conduit à la considération, pour procédés manuels , de différentielles de divers ordres, et à leur élimination définitive. — Des symboles nouveaux seront inventés pour peindre ces vues nouvelles , et l'on pourra se poser le plus important peut-être de tous les problèmes d'analyse pure : passer d'une dérivée d'un certain ordre à son équivalent quand on change d§ variable. Ce problème que Legendre prétendait de son vivant n'être compris que par trois hommes en France est en effet immense, eu égard aux changements de forme à obtenir plus tard; ce sera la base du calcul intégral.
Pour obtenir les dérivées des fonctions simples qui seront les éléments analytiques, on suivra toujours la marche régulière qui se déduit de la définition ; on cherche le rapport, d'accroissement, et on le décompose en deux parties, l'une fixe, l'autre variable.
Voilà le calcul complet. Voyons ses applications ; On saiïr
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développer suivant les séries de Taylor ou Maclaurin , tout symbole de fonction; on obtient cette forme effective
fx = 1 -h Bx + Cx> + etc..
qui conduit à des développements immenses ; la génération des séries, leurs propriétés, leurs calculs, leur retour inverse; ce sont des tomes. S'il existe plusieurs variables , la série se forme pour chacune d'elles séparément , et elle contient en plus des termes mêlés.
Ainsi f [x >y , z) ~A+Bx+cy-\-Dz + etc....
Je suis effrayé de tout ce que je voudrais dire , en dehors des préoccupations habituelles du professorat. Si je n'avais pas eu peur de rompre^ plus encore avec tes minces souvenirs , et de m'enlever pour cette première partie quelques chances de compréhension , j'eusse débuté tout autrement. Franchis ces quelques lignes si leur aridité se trouve par trop grande.
1° Génération des fonctions. Après avoir obteM des
types ax , ax* , ax 1 , etc., pour lesquels la multiplication ne donne rien de nouveau, essayons de leur addition. L'on a y = a + bx
y + a + bx + ex 2
y = a + bx -h ex 1 + dx*
y = a -+• bx + ex 2 + .....,,. + gx n +• etc., fonctions toutes irréductibles dont la dernière est la plus générale^il y a plus, c'est l'écriture en nombre d'un symbole y quelconque, et cette simple remarque constitue pour moi une véritable démonstration de la série de Taylor; ce que l'on récite de pointilleux , de délicat, de difficile ,
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me paraît être dans le lot d'un professeur forcé de fonder, mais ne balance pas à mes yeux la valeur du sentiment acquis à un élève par ce point de vue. Il s'agit en mathématiques de sentir d'abord, et Ton précise après.
2° Fonctions inverses. En considérant y comme une
quantité littérale déterminée, chacune de ces relations donne en x une nouvelle fonction qui reproduit tout le vaste champ des équations.
Voyons maintenant les propriétés :
1° Substitution. A une fonction délicate, complexe,
inaccessible, Ton substitue quelque chose de plus simple, en différant aussi peu que l'exigent les pratiques correspondantes , et cela en se bornant à un ou plusieurs termes , de la même façon que dans un calcul on néglige quelques décimales.
%° — —Comparaison des fonctions. Elles sont exprimées en termes élémentaires , accessibles à la numération ; on peut les comparer, les classer.
3° Interpolation. Grand mot, grande chose! d'un
nombre de valeurs connues d'une fonction conclure d'autres valeurs. Des grandeurs quelconques ayant quelques situations déterminées, on fixe la position des autres. C'est considérable.
En vérité c'est là tout , et cela peut passer pour l'omniscience. L'analyse ou étude de la grandeur pure s'harmonise à tous les ordres de phénomènes * et son impuissance
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provient toujours des milliers de variables d'où dépendent les inextricables questions des sciences complexes. Les fonctions représentent la forme ; donc on saura substituer une forme à une autre quand le demandera la pratique; .on saura comparer les formes , et de quelques linéaments déduire la suite d'un trait/Les fonctions représentent les mouvements ; donc on saura substituer un mouvement à un autre , on comparera les mouvements , on devinera leurs caprices par la simple connaissance de quelques-uns d'eux, etc., etc., etc. En histoire, les fonctions deviennent puériles en dehors des premiers termes f et Ton ne tient compte que du premier degré en acceptant , suivant l'époque , l'importance prépondérante de telle ou telle variable. Nous reviendrons sur toutes ces déductions,/ et je te supplie, an nom des harmonies mathématiques , de ne point précipiter ton jugement.
En général on donne un nom aux fonctions importantes, surtout à celles qui sont périodiques , et l'on étudie leurs propriétés ; l'évaluation en nombre se base sur ce qui précède, en comprenant que cette évaluation revient à passer d'un système de numération à un autre système qui pour nous est décimal.
On peut à la suite systématiser des théories donnant lieu jusqu'ici à des solutions partielles.— Trouver la valeur d'un rapport dont les deux termes s'annulent à la fois parla spécialisation d'tiiié variable; cela ressort évidemment delà conception de la dérivée. — Connaître la valeur delà variable ou des variables , pour lesquelles la fonction acquiert un état maximum ou minimum , c'est-à-dire plus grand ou plus petit que les états voisins. Cette question, qui nécessite
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la comparaison de valeurs pour ainsi dire successives, avait presque conduit Fermât à l'invention du calcul différentiel*
Âinsi|comme rôle de celte branche d'étude : formation de fonctions que j'appellerai d'observateur; développements en séries; recherche des valeurs des états singuliers de fonctions ou des moments où leur façon de varier offre des particularités. C'est en général la théorie même de la fonction.
Ces liaisons qui ont servi à caractériser , à formuler les observations n'ont qu'un but, celui de faire connaître la loi d'un phénomène, c'est-à-dire la fonction primitive, et voici un retour d'idée , qui constitue vraiment la valeur, l'ensemble du calcul différentiel ; il va nous conduire à des procédés techniques qui forment le calcul intégral , et tu vas voir la raison de cet adjectif qui fait image.
Revenons de la dérivée à la fonction qui lui a donné naissance; les dérivées des quantités constantes sont nulles; par suite on peut et l'on doit ajouter une quantité constante à ta suite de la fonction primitive , et cela est d'une énorme importance ; cette constante aura sa valeur déterminée par une vérification particulière ; elle signifie , par exemple , en image^concrète , que l'on peut mesurer une longueur à partir d'un point arbitraire quoique fixe. Si l'on prend la différence entre deux valeurs de l'intégrale relatives à deux valeurs particulières de la variable , appelées limites, cette différence s'exprime par une série très particulière; chacun de ses termes est formé par l'accroissement différentiel de la variable , multiplié paï la valeur successive qu'acquiert la fonction pour les valeurs successives de la variable compris®
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entrâtes limites. Cette somme de série qui correspond à un cas très particulier de la sommation des suites a fait donner Fépithète d'intégrale, et dans ce cas on la qualifie de définie, par opposition au simple retour à la fonction primitive que Ton nomme intégrale indéfinie ; les premières sont le but numérique véritable , et il y a d'immenses et de magnifiques travaux à leur sujet; mais en général on ne peut les obtenir que par approximation , par calcul pratique ou par la con naissanee préliminaire de l'intégrale indéfinie, et c'est alors affaire de substitution.
Cette nouvelle série de changements de forme va donner lieu à une question plus générale , que je vais immédiatement t' exposer. En ne considérant qu'une seule variable , tu peux avoir une relation, entre celte variable , la lettre qui représente la fonction , et les dérivées des divers ordres ; il s'agit de trouver la relation effective qui détermine le mode de variation de la fonction; ces équations dites différentielles seront classées par ordre de complication, et tout d'abord, à part la classe que l'on appelle linéaire, on ne sait rien, moins que rien ; même pour ce cas , que l'on ne peut attaquer sous sa forme la plus complète, on est amené à la résolution d'une équation algébrique, ce qui limite la solution technique au 2° degré ; en dehors on n'a que des vues particulières , et l'on est réduit au point de vue numérique à exprimer la nature de la fonction par des séries à coefficients indéterminés , dont on spécialisera valeur par des vérifications et qui créent une suite d'opérations arithmétiques. Notre impuissance intellectuelle provient en partie de la pauvreté des signes et des symboles , et si déjà cela nous arrêtait dans la pure algèbre , la complication croissante doit de beaucoup multiplier les difficultés. Prenons le cas le plus simple ; le
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pur retour à la fonction primitive , c'est-à-dire le cas où notre équation différentielle ne contient que la dérivée du premier ordre donnée en fonction explicite d'une seule variable. Hé bien, ce cas si minime , si particulier, si restreint, qui correspond à l'équation algébrique du premier degré, est encore dans l'enfance ; à part l'emploi des séries pour un calcul numérique, on n'a encore là que des travaux de détails; comme application concrète, tu verras cette théorie base de toutes les quadratures ou mesure générale de la superficie.
En prenant les fonctions élémentaires seules , les trois couplés algébriques , et en les classant par gradation suivant l'ordre d'extension du mot exposant, on obtient en général pour intégrale des expressions qui ne peuvent avoir d'équivalent algébrique, qui sont de véritables fonctions nouvelles que Ton désigne par une caractéristique et dont on étudie les propriétés ; si elles offrent une grande utilité au point de vue concret, on forme des tables arithmétiques; c'est ainsi que presque au début , après avoir retrouvé les réduifâfé Algébriques , on est conduit à réinventer le logarithme, le sinus, à créer les fonctions elliptiques, Àbeliennes et autres innommées ; ne te dissimule pas que la formation de ces tables ou calculs faits d'avance ne donne dans la pratique aucune infériorité d'usage en comparant aux fonctions élémentaires; celles-là mêmes sont traitées de la même façon ; les carnets des ingénieurs ne sont que des tableaux courants d'opérations faites une fois pour toutes, et qui n'exigent souvent que le couple multiplication ou puissance. Leur introduction dans l'analyse n'aura lieu , je te le répète, qu'au point de vue d'opérations concrètes dont «elles peuvent donner la loi , et heureusement celles dont om
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fait usage jusqu'ici sont à peu près connues ; mais je dois te faire une remarque importante ; à mon sens aucun détail d'analyse n'est oiseux; nos connaissances en tout sont à peine ébauchées et telle fonction qui ne présente qu'un intérêt d'amusement didactique sera plus tard le germe d'une théorie physique ou mécanique précieuse ; le plan de la nature se reflète tout entier en fonctions abstraites , et nul ne peut être assez hardi pour dire : cela est de la science pure, de l'art pour l'art, la pire espèce de choses.
Toute intégrale en général représente une fonction nouvelle , donnant lieu à des études que les précédentes peuvent faciliter, mais qui souvent n'ont pas d'analogie; redouble cette opération pour le simple retour d'une dérivée seconde, les difficultés s'accroissent et sont toutes comprises dans la forme générale d'équation différentielle d'un ordre quelconque; ces dernières, à plus forte raison, représentent aussi des liaisons sans analogie avec celles connues et même avec l'ensemble de celles que l'on aurait pu créer par la simple quadrature ; de même l'équation algébrique du vingtième degré représente un mode de varier qui n'a aucun rapport avec les fonctions précédentes , ou même avec la même équation moins complète.
Tu peux critiquer maintenant ceux qui cherchent une intégrale algébrique comme une pierre philosophale. Dans le siècle dernier , on avait classé les fonctions et fait de vastes tableaux où chacune avait en regard sa dérivée; alors la lecture inverse faisait remonter à la fonction intégrale ; cette marche ne pouvait rien donner , et l'enseignement actuel a encore le tort, sous le prétexte d'être élémentaire, de continuer à la suivre .Aussi pour pénétrer plus avant, on
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est obligé de refondre son éducatioiî , et sauf de magniques détails , je ne connais pas an bon traité.
Encore un pas ; tout à l'heure nous considérions plusieurs variables et les dérivées partielles ; leur retour à la fonction primitive peut donner lieu à une série de spéculations analogues, et malgré la gradation qui nous y amène, d'Alembert, le créateur de cette branche d'analyse, aurait eu le droit de lui imposer le nom de calcul nouveau. Ici plus de constante arbitraire introduite, c'est une fonction arbitraire. L'importance colossale de ces théories fait bien regretter l'impuissance où l'on se trouve de ne pouvoir les traiter que pour des cas très particuliers , et môme en général ramenés à des quadratures; juge quelle somme immense de savoir reste à acquérir pour ces pauvres mathématiciens. Leur science quoique la plus avancée est encore bien jeune; mais elle traite de sujets épineux ; on aime mieux faire résonner les forêts du nom d'Amaryllis , et appliquer les forces vives de son intelligence à des points plus agréables ou plus fructueux. Ici d'ailleurs, point de place au rhéteur, plus de surprise oratoire , plus de réputation à usurper , point de grands sentiments à étaler, point de dupes à faire. A chaque appréciation vient se joindre T >a preuve , et ce qui est aquis l'est pour toujours.
Je passe des milliers d'aperçus et j'entasse feuillets sur feuillets; un mot encore: Je t'ai montré, et avec beaucoup d'insistance, la quantité s'élevant graduellement, se départicularisant de plus en plus , si tu veux me pardonner ce mot , et arrivant enfin à être variable par nuances insaisissables ; hé bien , prends la fonction : elle change de nature en passant d'un mode à un autre; considère-la comme progrès-
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sivement changeante , comme variable aussi par nuances insensibles; ce sera certes bien là le plus haut degré de mobilité dans lequel nous puissions concevoir la grandeur. Lagrange a systématisé les procédés de calculs que fournit ce point de vue, et c'est le calcul des variations. Il sert h résoudre les questions qui demandent la forme même de la fonction devant satisfaire à des conditions données.
Enfin me voilà au terme. Comme dernière remarque je te prononcerai le grand mot d'homogénéité qui, sous son aspect le plus large , t'indique simplement que les équations de l'analyse sont des fonctions purement abstraites, que ne doit point altérer un changement d'unité , puisqu'elles ne contiennent que des rapports; le passage du concret à l'abstrait ou thème pour rétablissement de l'équation, et la version ou retour opposé après l'application de l'analyse sont les deux points importants pour ce grand mot, et c'est à ces deux champs de bataille qu'il faut le suivre.
Dans tout cela , malgré la bonne volonté de ton pâteux narrateur, bien des choses ont dû dépasser ta possibilité de compréhension; ne crois pas à une injure et appuie sur ma péroraison.
Etudions la formation graduelle de l'analyse : les hommes observent des faits , trouvent des liaisons de rapports , qui géométriques, qui mécaniques , qui physiques etc. etc., et ce sont des fonctions abstraites; elles ont été dans l'origine dispersées à leur lieu dans tous les traités spéciaux à chaque art, et ce n'est qu'après leur accumulation qu'un esprit systématique a eu l'idée de les classer à part et d'en faire comme le portique de la science.
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Ainsi chaque fonction concrète donne lieu à tin type abstrait et par suite à un chapitre d'analyse qui doit se classer à sa place d'après des vues d'ensemble; cette préparation intellectuelle qui consiste à faire, ce qu'en chimie l'on appellerait l'opération du départ, permet à l'esprit de suivre sa route sans être détourné par des soins d'un tout autre ordre ; aussi vois-je avec peine, dans des monuments de la science appliquée, de véritables cours de pure analyse dispersés au milieu de recherches techniques ; la séparation de ces deux ordres d'idées est, en réalité, celle du spirituel et du temporel ; elle a pour moi , au point de vue enseignant, une telle importance , que si j'étais fort je rééditerais de grands ouvrages pour y classer à part les travaux analytiques. En prenant la question aussi abstraitement je ne me dissimule point qu'il est difficile de bien saisir tous ses linéaments; un jour sérieux sur les fonctions concrètes qui ont engendré chaque fonction analytique est nécessaire, et c'est pour cela qu'il faut étudier par couches totales ; les images ou représentations matérielles des idées sont ici d'obligation comme dans la poésie; si dans un cas c'est par le brillant qu'elles doivent frapper , dans le second c'est par leur exactitude, ou plutôt par leur correspondance intime. La science est faite pour des résultats , et s'il y avait des gens spéculant sur la science pure, je les blâmerais plus encore que celui qui versifie pour versifier ; tu sais mon opinion à cet égard; j'aime le poète qui enchâsse une belle pensée dans le joyau d'une harmonieuse expression; j'aime le musicien qui sait traduire en vibrations sonores les plus riches passions humaines; le peintre qui colore de réalités une belle conception; mais quant à l'artiste qui fait du vers, de l'harmonie ou de la peinture pour erj faire, je le trouve «.. — ou plutôt non, je ne le trouve pas. — En un irjot,
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le portique n'est pas le monument, le ciseau de Phidias n'est point la statue de Laïs.
Dans chacune des sciences assez simples pour donner lieu à des types abstraits abordables, j'insisterai beaucoup sur chaque point qui a dû servir à en créer, et sois sûr que le retour d'idées ne s'arrête pas à si peu ; pour moi la très minime valeur dont je puis faire preuve sur ces matières provient en grande partie de mon mince bagage zoologique. Ne ris pas , j'espère te convaincre.
Ainsi , relations concrètes dépendant de chaque spécialité, relations analytiques correspondantes que l'on classe à part, et pour celle-ci opérations numériques, dont on fait comme le parvis du portique. Ces dernières sont les plus générales, les plus simples , et Ton remonte la chaîne pour arriver au vrai. La systématisation ascendante et descendante , graduelle , se reliant par têtes de chapitre, a, sur l'intelligence qui se prend aux détails , le même pouvoir que la gamme pure sur le chanteur qui fait des roulades , il se retrempe là. Comprendre l'arithmétique , l'analyse sans connaître leur mutuelle progression est chose impossible; de même, tu n'auras le véritable sens de cette lettre que quand les suivantes t'auront coloré d'images des idées qui jusqu'ici exigent une trop forte tension intellectuelle.
Je t'entends murmurer: Dulcèndentem, dulcè loquentem, Lalagen amabo. Et moi aussi je subis le charme enivrant d'une douce voix et d'un frais sourire, moi aussi je préfère les délices de Capoue aux avalanches des Alpes ; mais pour pénétrer enÀusonie, il a fallu, dit l'histoire, fondre le roc avec du vinaigre ; rappelons-nous ce proverbe de notre
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inutile jeunesse, consumée daus l'ignorance du monde réel, au profit du passé. Tèspaideias è ridza mén picra, oi dé carpoiglukheis. — J'utilise mon petit savoir et n'eus jamais d'autre occasion.
Allons , du courage , essaye de subir encore ma troisième lettre. Elle sera moins longue; les broussailles de l'analyse sont , non point traversées , mais franchies ; la route est maintenant belle, et la forme nous invite.
Courage et amitié.
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