partie plus petite que le tout, etc. etc sont ou bien des
heurtements de mots qui s'excluent mutuellement , ou bien des vérités de la Palisse ; je ne puis citer un axiome prétendu, sans avoir l'idée d'y joindre: Un quart d'heure avant sa mort Von est encore en vie. Tout ce qui choque gravement le sens commun élémentaire peut et doit servir de base, de point de départ ; je suis sceptique, j'ose le dire, en dehors des principes expérimentaux et de leurs déductions formant une masse vériflable; c'est alors seulement que l'on peut se flatter d'imposer à d'autres ses propres chimères , mais sans que cela puisse donner le droit de dédaigner les chimères voisines; je les vois passer souvent avec intérêt, souvent
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avec respect, sans m'inscrire en faux, mais sans vouloir aussi en être le martyr.
Tu veux mesurer la ligne droite ; tu prends un mètre , unité de convention qui se relie bien à une longueur naturelle , mais dont la valeur consiste surtout à être déposée dans toutes les mairies , et tu la portes sor la ligne ; on apprécie en décimales avec le plus de soin possible, et le nombre trouvé représente la valeur linéaire. Cette question paraît simple ; hé bien même dans le cas spécial de lignes théoriques , faites exprès , c'est l'opération la plus délicate, la plus difficile , et le savoir humain est obligé de se replier sur lui-même presque tout entier quand cette recherche exige une grande précision; on a des instruments, tels que le vernier, le micromètre qui aident à l'insuffisance des yeux, et le dernier surtout dépasse toute idée de précision concrète. Si l'on veut le rapport de deux lignes soit en différence , soit en quotient, l'on opère sur les nombres trouvés. Rappelle-toi bien que* quelle que soit la grandeur dont il s'agisse, la science terrestre n'a qu'un but, celui de la formuler en nombres. Ta ligne est incommensurable? Ce mot en pratique n'a pas de sens , il n'y a pas de quantités égales comme l'entend la métaphysique, et les grandeurs se substituent les unes aux autres toutes les fois que leur différence est négligeable ; suivant la nature des questions , l'on en réfère à une unité plus petite , c'est-à-dire à une approximation plus grande, voilà tout. — Cette comparaison directe est impossible dans la plupart des cas , et l'on cherche à relier les longueurs entr'elles , pour que la connaissance de l'une puisse entraîner celle de l'autre.
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Il faut donc étudier méthodiquement les lignes en allant du simple au composé.
Les droites présentent l'idée de direction et de longueur.
— En direction, elles sont ou coupantes ou parallèles, premier chapitre à deux paragraphes où Ton remarque la position perpendiculaire et les angles formés par une sécante et deux parallèles; sur ces huit angles, il n'y en a que deux qui diffèrent'et ils sont en relation très simple.
— En longueur , les droites offrent un fait élémentaire de différence, d'égalité, ou bien un fait plus complexe de rapport par quotient; encore deux paragraphes, figures égales, figures semblables ou mutuel portrait soit en plus petit, soit en plus grand. Si nous sentons, quoique vaguement, la possibilité de dessiner sur un papier le portrait d'un terrain plan , toutes les lignes réelles non accessibles à une mesure directe s'obtiendront sur le dessin, et il suffira de multiplier le nombre qui les spécifie par le rapport de Similitude, ou d'agrandissement , ou de diminution de l'image.
— Le sentiment de cette vérité c'est la géométrie ; sa pratique, le détail technique, c'est l'art correspondant.
SU s*àgit "de surfaces planes à comparer, la difficulté S'accroît ; là, impossibilité absolue de porter de place eti place une' grandeur analogue ; les arbres d'une forêt, l'appréciation des restes , mille choses forcent encore à incliner, à dévier, à rendre indirect le moyen appréciateur. — Le nombre^nVpas de nom ; si donc l'on peut obtenir un rapport de deux autres grandeurs qui ait la même valeur que le rapport que l'on cherche, peu importe le moyen, on saurai baptiser le résultat. Les figures compliquées, terminées par des lignes droites, sont formées de triangles ; ceux-
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ci se ramènent à être moitié de figures régulières équivalentes aux rectangles; ces surfaces analogues à une table, à un plafond sont facilement comparables , et Ton trouve qu'en faisant choix d'une unité particulière , le nombre qui doit les représenter est le même que le produit de deux autres, résultats de la mesure linéaire des côtés. On remonte la chaîne, et l'on déduit la cote numérique qui doit caractériser une superficie plane quelconque; si le contour n'est pas formé de lignes droites, on découpe la figure par bandes suffisamment rapprochées pour que l'erreur soit minime, et il existe des instruments tels que la roulette d'ingénieur pour opérer avec vivacité. Soit dit en passant, le résultat est du calcul intégral, pratique, concret. — - Très souvent dans les arts ces procédés sont remplacés par des moyens physiques tels que le pesage de la figure et de l'unité de superficie déepupée sur le même papier. — Pour te donner une idée de la portée, de l'utilité de ces choses, je te citerai seulement le fait d'une rivière pour laquelle on veut calculer le régime des eaux , la quantité de fluide qui passe dans une tranche pendant un temps déterminé. Des sondes relevées sur un papier donnent le profil du fond, sa forme, et la superficie multipliée par la vitesse des eaux résoud le problème.
Une remarque sérieuse. Fontenelle a dit : La géométrie est fille de l'intérêt , et cela pour le fait si connu des inondations périodiques du Nil qui imposaient aux maîtres du sol l'obligation de retrouver leurs limites ; ce mot peut s'appliquer à toutes les sciences concrètes, et dans le cas géométrique , la surface du quarré se trouvant par le carré d'un nombre, ce côté pratique a produit l'idée de puissance qui plus lard s'est généralisée ; déplus, le carré étant l'unité
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superficielle de convention, Ton a dit quarrer une surface plane , en faire la quadrature , et cette expression s'est appliquée à la recherche de l'intégrale simple qui n'est f au point dejue concret, que la recherche d'une superficie. — S'ilfVagit de déterminer la longueur d'une ligne quelconque, la pratique offre peu de ressources ; l'on peut être réduit à piquer des épingles très pressées sur tout le contour , et à tendre un fil dont on estime la grandeur en unité métri que. La question en ce moment n'est pas abordable.
Les lignes non droites sont en nombre incalculable , et le trait d'une plume sait les varier à l'infini ; parmi elles , il en est qui jouissent de propriétés curieuses qui leur servent de définition, c'est-à-dire qui permettent de les reconnaître; il en est d'autres qui sont très simples, très utiles, pour lesquelles on a des instruments de description fort commodes, et, dans ce cas, on étudie à part celles qui sont susceptibles d'un tracé net et précis. On remarque entr' autres l'ellipse que connaît tout jardinier, l'hyperbole, la
parabole elc Cette dernière dans un cas singulier donne
la circonférence que je n'ai pas besoin de te caractériser. Elle est simple, si facile à peindre, ses propriétés sont tellement élémentaires , qu'elle a pris d'autorité sa place au début des études.
On cherche ses propriétés par rapport à la ligne droite , par rapport à elle-même , on l'utilise à la mesure indirecte de la grandeur angulaire , et l'on cherche sa longueur et sa surface; cette quadrature a longtemps joui d'une importance incroyable, et c'est avec raison que l'académie refuse tout mémoire sur cette question ; sa solution est aussi exacte au point de vue pratique que celle de toute surface rectiligne.
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Si Ton voulait étudier d'autres lignes, Ton opérerait toujours en comparant la ligne nouvelle aux précédentes bien connues ; mais le compas ou instrument de description , plus précis, plus commode même que la règle à mener la droite, donne à la circonférence une portée toute spéciale ; c'est surtout le difficile maniement des outils de construction qui a limité la géométrie dite élémentaire à ces deux traits ; à eux seuls le droit de résoudre pratiquement tous les problèmes relatifs à la construction des perpendiculaires , des parallèles etc...*.. toutes questions qui reviennent à déterminer un point ou intersection de deux lignes. Je m'oppose volontiers à cette qualification d'élémentaire ; pour moi les idées générales , plus simples , plus abstraites sont élémentaires , et les détails , les complications , les faits techniques sont érudition , et ne peuvent être présentés aux débutants.
La question de mesure, ramenée à la construction de figures semblables, utilisera donc, comme procédés techniques, la règle , le compas , le rapporteur , l'unité métrique ou échelle de parties égales. Pour la rapidité des recherches on construit des planches gravées , appelées quartier de réduction, qui remplacent ces quatre instruments; ils permettent la construction immédiate des triangles ayant un angle droit, et avec un quartier de trente centimètres de côté l'on peut apprécier sur le terrain , à un mètre près , des longueurs de cinq cents mètres; c'est déjà considérable. — Les procédés graphiques ont une précision limitée par la grandeur des papiers , et l'on est obligé dans les cas où l'on veut une erreur minime de recourir à des procédés de calculs ; il faut donc chercher entre les angles et les côtés d'un triangle des relations analytiques qui puissent ramener le problème à la détermination d'un pur nombre ; les angles
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et les côtés sont des grandeurs de natures différentes et point comparables ; alors on remplace l'angle par un rapport numérique invariable pour un même angle , variable avec lui, et dont la correspondance a lieu par le moyen d'une table; les fonctions de l'angle sont précisément ces sinus inventés dans l'analyse par voie de continuité logique, et dont il est ainsi possible de donner une image concrète ; là encore la pratique a créé l'analyse. Ces fonctions s'appellent trigonométriques , à cause de leur principal usage relatif aux triangles, et grâce à elles la détermination d'une grandeur linéaire, d'une grandeur angulaire sera toujours possible. On dresse des types pratiques de calculs que l'on abrège au moyen de logarithmes , et la première partie de la géométrie , la partie plane , se trouve terminée.
Considérons l'espace plus concret , moins simple , plus réel, non plus restreint aux formes sur un seul plan; là, nous aurons à comparer les volumes , et les moyens directs ne permettent même pas, eu égard à l'impénétrabilité des corps pratiques , de tenter des essais; il faudra donc encore enchaîner méthodiquement les grandeurs volumes , et les ramener toutes à quelques types simples ne différant que par un élément, dont la valeur numérique pourra faire apprécier celle que l'on cherche. Tout d'abord se présentera la notion de corps régulièrement terminés par des faces planes , et les positions mutuelles dans l'espace, des plans, des lignes droites , nécessiteront un préambule analogue à celui de la ligne droite pour la première partie ; les plans , les lignes droites sont comparés dans leur position de parallélisme, de perpendicularité , d'inclinaison mutuelle , d'angle multiple, et Ton peut presque calquer l'enchaînement des théorèmes sur ceux du début. — Les questions les plus
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graves de ce prolégomène , sont : la symétrie dont ton image sur une glace ou la comparaison de tes deux mains te donnera l'idée nette et la condition angulaire que doivent remplir plusieurs droites, émanant d'un point pour se trouver toutes dans un plan.
Ceci achevé, on classe les volumes en commençant par ceux dits prismatique* dont on ramène la mesurera comparaison à celles de parallélipipèdes ou caisses ; le résultat traduit en unité numérique se trouve, en faisant choix d'une certaine unité , par le produit de trois nombres exprimant les longueurs linéaires des trois dimensions ; là , encore, pour le cube, est venue l'idée de puissance trois , fonction concrète , et le nom de cubature pour le but de ces recherches. — En remontant on obtient la cote numérique des prismes, puis des pyramides, et enfin des tronçons découpés dans tous ces corps* par des plans particuliers. La mesure d'un corps quelconque, depuis les déblais et remblais nécessaires pour le percement d'une voie , le creusement d'un bassin, le tonnage d'un navire etc. se rattache à ces conditions ; quand les faces ne sont point planes, on les découpe en carreaux assez petits pour que l'erreur, provenant de ce qu\m les juge plans, ne puisse influer.
Voilà. te cadre; l'on étudie alors les questions de symétrie, de similitude; celle-ci dans un plan est une abstraction énorme ; dans l'espace elle se trouve concrétisée , c'est 3a statuaire par rapport à la peinture.
Les surfaces non planes sont aussi en nombre indéfini et quelques types assez simples se prêtent aux recherches du début. On étudie trois types, la sphère , le cylindre, le cône;
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chacun s'aborde en coupant par des plans, et comparant successivement chaque cas à chaque autre déjà élucidé. — Les lignes découpées sur la sphère par des plans jouissent de propriétés importantes ; ce sont des circonférences , et leurs pôles , ou point central , permettent de résoudre identiquement les mêmes questions que pour les lignes dessinées sur un plan; elles ont une importance immense et sont la base de l'appréciation des angles plans ; fonctions concrètes créées pour des besoins astronomiques, elles amènent à la trigonométrie sphérique dont le but est analogue à la'première.
Vois donc! agrandis le rayon de la sphère; dans une mince étendue sa surface sera presque plane ; agrandis-le hors de toute limite , rends-le infini ; alors le plan sera une sphère d'un rayon immense ; dans les deux cas , sphère et plan , les propriétés n'ont pas de rapports ; dès qu'on vient à des grandeurs inacceptables à nos sens, le c'amp du vrai se transforme ; nous ne pouvons toucher à Yinfini.
Beaucoup d'autres surfaces pourraient encore prendre place dans ce premier aperçu ; mais la difficulté de leur représentation fait rejeter leur étude un peu plus loin , et l'importance de quelques-unes a donné lieu à une section importante delà géométrie, la descriptive; elle existait à l'état de faits épars, il y a soixante ans à peine ; le génie de Monge a su relier, coordonner, systématiser et faire une science de procédés techniques; ses moyens consistent toujours à découper par des [plans les surfaces utiles et à rechercher les propriétés des sections ; une surface se compare à toutes les précédentes ; et le plan sert davantage parce qu'il est
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plus simple; comme précieux auxiliaire , il a toutes les surfaces dites développables , ou déroulables sur un plan.
Hé bien! mon ami:
Coupe des pierres ou art des constructions , des voûtes etc., architecture, charpentage, fortifications, vaisseaux, etc., perspective ou dessin théorique, théorie des ombres etc., cynématique ou tracé des organes des machines, etc. Tout Gela, c'est un monde dont les procédés généraux , nécessaires sont enfermés dans ce mot imagé : Descriptive. La perspective, base du dessin ou reproduction d'un trait plan devant remplacer pour l'œil l'effet d'un monument, ce n'est que l'intersection de toutes les lignes de vision aboutissant aux saillies de l'objet en vue, par un plan dit géométral, qui est celui du calque fidèle de la représentation.
Ainsi tu sais mesurer; tu sais combien une grandeur, ligne, angle, surface, volume, peut en contenir une autre de même espèce; mais est-ce là tout? — Jusqu'ici nous avons étudié la forme particulière , spéciale , isolée ; nous devons chercher à plonger plus profondément sous son manteau varié, pour saisir ce que les procédés de mensuration peuvent avoir de commun , les généraliser , les englober.
Nous allons voir l'idée de fonction remplacer l'idée de forme , et l'analyse avec son cachet infinitésimal nous fera pénétrer partout; nous substituerons sa simplicité, sa précision à l'idée géométrique plus concrète, et nous jetterons un premier regard sur la magnificence des harmonies naturelles. — Là sera notre première assise pour élever un mo-
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nimieht à l'étude de l'univers, et quelque pâle que soit le talent de ton interprète, j'ose croire que' l'enthousiasme saura te gagner aussi en face des splendeurs du vrai.
Simplifions d'abord en ne traitant la question que sur un plan. La forme d'une ligne dépend de la suite des positions occupées par ses divers points ; la position est assignable en grandeur et susceptible par deux repères d'être cotée en nombres ; pour spécifier un point , il faut deux grandeurs que l'on a qualifiées du terme heureux de coordonnées qui indique leur indissoluble union ; tout moyen de fixer la position d'un point sur un plan est un système de coordonnées ; il y a des milliers de systèmes différents , et j'indiquerai plus tard le moyen de régulariser à leur égard le vague de l'imagination. — Suppose qu'entre deux lettres représentant les valeurs numériques de chaque coordonnée, il existe une liaison analytique; en donnant à l'une des lettres une suite de valeurs , l'équation détermine pour l'autre des valeurs correspondantes, et chaque couple spécifie un point; en tenant compte de l'idée de continuité ou de succession à aussi petites distances que l'on veut, cela donne bien l'idée d'une ligne ou trait contenant ces points. — Si à son tour une ligne est dessinée pour chaque valeur de l'une des coordonnées , sa sœur se trouve être déterminée par la courbe comme elle le serait par une certaine équation ; celle-ci dans* beaucoup de cas est impossible à formuler i mais Ton ne sent pas moins vivement son objectivité, sa possibilité de réalisme extérieur; au reste, le mode de varier que détermine la ligne pour la deuxième coordonnée peut être différent de ceux que peignent les symboles ordidinaires ; à fonction, à liaison nouvelle, symbole nouveau, et l'impuissance technique est naturelle ; elle peut provenir
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da trop petit nombre de modes fonctionnels introduits dans l'analyse.
Ainsi Fidée de ligne sur un plan est identique à ridée d'équation à deux variables, la fonction représente analytiquement la ligne , et celle-ci est la peinture géométrique de l'équation, image concrète, représentation sculpturale d'un phénomène modulé par la liaison analytique; en vérité, ami, cela est immense. La plupart des phénomènes naturels sont appelés à dessiner eux-mêmes le trait continu qui caractérise leur allure ; et la fonction souvent inextricable, qui doit en donner la loi , se trouve avec tous ses changements, avec son originalité propre, saisie au vif, douée de la vie; elle parle aux yeux; une liaison abstraite , indéchiffrable, n'offrant rien à l'esprit , va surprendre le sens de la vue pour donner le mot de son énigme; l'étude analytique à son tour faisant pénétrer dans l'essence même de la variabilité , il y aura , à chaque pas , oscillation , éclairement mutuel de l'abstrait au concret.
Tiens, le phénomène des marées qui deux fois par jour vient balancer la mer par pulsations inégales , et lui fait lécher la côte, ce fait qui avait si vivement saisi ton imagination d'artiste, cet Océan de Musset qui se soulève sous les baisers de la pâle Diane; hé bien I un style glissant sur un cylindre qui tourne en vingt-quatre heures vient marquer sur un papier tous les caprices de cette immense artère. — Ne crois point cet instrument borné à cela ; en principe c'est l'indicateur de Watt qui permet de lire dans l'intérieur des machines à vapeur, et tous les jours son application donne de féconds résultats,
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Ne sont-ce paslà , dis-moi , des sources de haute poésie ; n'a-t-elle donc pour but que de peindre la colère ou l'amour, le sourire ou les larmes ; quand je pense qu'autour de moi on a murmuré , on a écrit ! « Avec une intelligence étroite et une âme froide Von peut arriver à la science , au sentiment du monde extérieur. » Médiocrité I Sécheresse ! Étroitesse! Oserais-tu le formuler? Voudrais-tu attaquer la base de l'édifice humain? Crois-tu que le besoin de s'harmoniser avec le plan de la nature puisse jamais faire descendre un homme au-dessous de son niveau? Quelle belle occasion ! Situ tenais la plume, quelles métaphores! quelle vigueur! — Celui qui patient et sagace jette la sonde dans l'inconnu, médiocre ! ha ! ceux-là qui confinés dans les solitudes où ils ne perçoivent que les échos attardés d'un passé impuissant par ignorance, et qui ferment'leurs yeux aux splendeurs des créations humaines, ceux-là peuvent s'appliquer la fameuse phrase :
Le Dieu poursuivant sa carrière Versait des torrents de lumière Sur les purs versificateurs.
Un peu de gaz, une étincelle électrique , de la craie incandescente, un charbon dans le vide, ils sont aveuglés.
Revenons au calme et continuons. Le point en se déplaçant sur un plan pour dessiner une ligne obéit en quelque sorte à un mouvement ; aussi l'on définit souvent une courbe par l'idée complexe de temps et d'espace ; pour nous ce sera un léger tort , attendu que nous dépouillons provisoirement la grandeur de l'attribut temps pour ne considérer que l'espace.
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Un phénomène donnant lieu à la perception de quelques états isolés permettra de les représenter par des points épars ; en reliant ces états par un trait continu , on pourra juger des états intermédiaires non observés ou non observables. C'est l'image tangible de cette grande théorie abstraite , l'interpolation , dont j'ai à peine prononcé le nom , et en bonne compagnie , je t'assure. La théorie du vrai, ici bas, du relatif, du contingent, de cela seul qui ressort de nos forces , n'est en réalité qu'une interpolation , une oscillation entre les vérités déjà conquises ; la connaissance des lois en ce bas monde doit être le but, le rêve, le summum desideratum de toute la ruche sociale ; ces lois dont la connaissance est approchée, dont l'existence est de raison, s'appliquent par couches pressées pour donnera la pratique ses prévisions de tout genre. — Je voudrais te faire saisir cela par une image numérique ; tu trouves qu'un nombre doit être compris entre 200 et 300, premier jalon ; puis entre 250 et 260, deuxième jalon; puis entre 257 et 258, troisième jalon; puis entre 257,3 et 257,4, quatrième jalon; c'est là en vérité le résultat des lois ; elles limitent le vrai entre certains termes dont l'écart donne l'état de la science.
Ainsi l'analyse ayant appris à connaître la fonction , elle va par une heureuse et première application nous faire juges de la forme; l'espace dépend du nombre. — Si tu prends deux équations qui déterminent deux lignes, les couples des valeurs numériques qui satisfont à ces équations représentent les points communs, les points d'intersection. Ainsi deux courbes sont en réalité deux coordonnées qui, variant d'une certaine façon , peuvent permettre la mise à l'étude des différents systèmes. D'après cette vue générale nous allons chercher le plus simple des systèmes de coordonnées,
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celui poil! îoquel le tracé graphique aura le plus de simplicité, de précision, et ce système de départ nous dirigera pour la classification des autres; ce sera comme une langue conventionnelle , un terme de comparaison, jouant pour l'expression des formes le même rôle que le système décimal pour l'appréciation des grandeurs analytiques ; ce sera l'arithmétique de l'espace.
Les lignes droites sont les plus simples , les plus élémentaires, les plus maniables, et la circonférence seule peut leur être comparée comme netteté du trait , comme construction pratique; de plus deux lignes droites n'ont qu'un seul point d'intersection , ce qui sauve de toute ambiguïté ; d'autre part l'équation du premier degré est la plus élémentaire , et nous devons obtenir une correspondance entre ces deux termes les plus simples ; cela conduit aux coordonnées reetilignes dans lesquelles le point se fixe par l'intersection de deux réseaux de droites parallèles à deux directions ; pour la symétrie de l'espace on les prend à angle droit, et l'équation du premier degré , dans tous les cas , se peint par une ligne droite. — En prenant une liaison analytique quelconque, on construit point par point les couples de valeurs numériques, et l'on précise ainsi dans son esprit cette importante correspondance de la ligne et de l'équation.
Ce premier jalon posé , je veux te généraliser de suite ce que l'on peut dire indépendamment du système de départ; celui-ci, au reste, peut n'être point le plus commode pour une représentation spéciale ; il se peut que le mode de varier qui caractérise la courbe ne soit pas exprimable en sym- L^les fonctionnels connus, et ce mode pourrait être contenu
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implicitement dans la nature môme des coordonnées ; donc étude des systèmes.
Un trait <pe Ton définit par une propriété commune à tous ses points donne par cela même une liaison formulaire de suite, et qui est l'équation en coordonnées naturelles ; passer de ce système à celui de convention est ce que Ton appelle chercher l'équation de la courbe; ce sera un complément nécessaire , une précieuse application des moyens généraux de transformation. Fais effort pour bien me suivre : dans un système quelconque que j'appelle A , tu as deux variables coordonnées x , y ; une liaison entr'elles représente une courbe ; cette liaison contient certains coefficients ou paramètres, et d'après nos notations ;u la représentes par F [x f y, a) = 0, a étant l'un de ces paramètres . que nous spécifions ; si a varie , la courbe change , se déplace sur le papier; adjoins une autre courbe ^présentée analytiquement par f [x, y, b) = 0, b étant encore un coefficient; les deux lignes se couperont en certains points et les intersections se déplacent avec les lignes , c'est-à-dire avec la variation de a et b ; elles offrent donc l'image d'une nouvelle ligne dont la forme dépendra du mode de liaison etïtrea et b, liaison que nous appellerons P (a, b) = 0. — Hé bien, cette dernière équation est celle d'une courbe donnée dans un système de coordonnées que nous appellerons 5, système défini par les deux équations
F {x, y f ,a) = 0, / (x t y,b) élimine à et b entre les trois équations F, f, P f il te reste une certaine relation Q [x f y) = qui sera la traduction algébrique dans le système A de cette courbe représentée par P (a, b) = dans le système Ë. — Si l'on donnait Q fa y) =0 dans le système 4, l'élimination de x et y entre
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F, f, Q, fournirait à son tour l'équation P [a, b) = dans le système B. — Ainsi Ton saura passer d'un système à l'autre, tout au moins dans les limites fixées par l'imperfection de l'analyse au sujet de l'élimination. Pour étudier méthodiquement, nous prendrons successivement les équations du premier, du deuxième degré etc., dans le système rectiligne désigné par A , comme fonctions F et f devant définir le système B, et chacun des coefficients tour à tour sera considéré comme variable , sera pris pour désigner a ou b ; l'équation du premier degré a % coefficients , celle du second 5, et rien qu'en bornant là nos recherches, nous obtenons %1 systèmes différents; ce cadre est bien large, si large qu'il n'a pas été rempli ; cette partie est à faire, et pour qui saura dignement la traiter , il y aura honneur et profit; c'est peut-être là que doivent se trouver toutes les ressources du calcul intégral comme changement de variable ; pour mon compte c'est seulement après avoir formulé ces notions ainsi que j'ai compris l'excellence de la voie où était engagé l'un de nos savants actuels , M. Lamé. — L'une des applications consiste à déplacer les repères d'un système rectiligne , en lui conservant sa nature ; cette question, cas où F et /'sont du premier degré , et où l'on prend pour valeurs de a et // le coefficient isolé , est donné par là d'un trait de plume; les traités l'exposent fort mal.
Dans un système quelconque, on peut toujours construire point par point l'image des équations du;premier et deuxième degré, et je voudrais te faire sentir comment il est possible de pousser cette étude aux liaisons analytiques suivantes.
Comparaison générale des lignes pour leur communauté, leur différence , tout cela ne ressort-il point de la série de
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Taylor? N'est-ce point sa première application concrète? Deux lignes tracées sur un plan peuvent avoir une intimité plus ou moins grande, avoir une allure à peu près semblable ou divergente; le cachet de cette intimité, de cette allure sera précisé par la ressemblance des équations , par le nombre de leurs dérivées communes; donc, en utilisant les lignes connues, on pourra juger des traits caractéristiques de celles qui ne le sont pas ; on pourra se demander la valeur à attribuer aux coefficients de l'équation d'une courbe , pour qu'elle soit le plus intime avec telle autre , et elle sera qualifiée (ïosculatrice , mot heureux ; baisers ou replis communs. — C'est immense; dans de petites limites dépendant des conditions pratiques, on substituera la ligne droite, la circonférence, etc., etc., à un trait impossible à réaliser par des instruments ; substitution d'une forme à une autre forme, correspondant à la substitution d'une fonction à une autre fonction.
En tenant compte, comme objet intermédiaire, du nombre de points suffisants pour déterminer la position d'un trait, on reconnaît que l'équation du premier degré à deux coefficients ne peut assujétir la ligne correspondante qu'à deux conditions ; intimité du premier ordre. Pour la circonférence on pourra obtenir une intimité du deuxième ordre, pour l'ellipse du cinquième ordre, etc. Cette théorie très large , très élémentaire , a passé dans l'enseignement supérieur sous les auspices de Lagrange , et pour moi je la voudrais tout au début.
Autre aperçu général : si dans un système quelconque tu as une liaison algébrique ou polynôme entre les coordonnées, cette liaison peut se classer par termes de môme
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degré , et pour des valeurs considérables des variables , les plus hauts termes sont seuls à considérer ; cela donne lieu à là détermination de rapports en nombre égal au degré de l'équation ; cette vue suivie découvre un énoncé très curieux : une courbe quelconque dans un système quelconque, tend toujours à se décomposer en autant de lignes du premier ordre, ou représentées dans le système dont il s'agit par l'équation du premier degré , qu'il y a d'unités dans le degré de son équation ; les racines imaginaires en général donnent des feuillures, et c'est là sans nul doute qu'est le germe des classifications des courbes en familles naturelles. Cette théorie, quand on la restreint aux coordonnées rectilignes, amène le mot nouveau d'asymptotes .on lignes droites avec lesquelles les branches lointaines de la courbe tendent à se réunir, sans jamais se complètement confondre.
Toutes ces généralités posées, on étudie les courbes système à système , et je vais t'esquisser la marche pour celui qae noua avons réconnu le plus simple : en coordonnées rectilignes rectangulaires» on cherchera la transformation des coordonnées, ce qui permettra de simplifier les équations en posant les repères à son gré ; puis la recherche des osùulatrices formera , pour la ligne droite , la théorie des tangentes ou touchantes.-^- L'on créera la notion de diamètres ou droites jouissant de la propriété de couper par moitié un réseau de cordes parallèles. — La théorie des centres ou points milieux de toutes les cordes qui y passent. — La théorie de la similitude en insistant sur ce que la grandeur du papier ou de l'échelle n'altère en rien l'équation quant à sa nature propre , quant aux détails picturaux qu'elle symbolyse. — La théorie de la rec-
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tification, en cherchant la dérivée de Tare considéré comme fonction d'une variable, ce qui ramène la question à la recherche d'une pure intégrale. — La théorie de la qua= drature, en cherchant la dérivée de la surface, et demandant encore le résultat numérique au calcul intégral. En fait, ce côté concret a engendré la partie correspondante du calcul , et quand ce dernier est impuissant , c'est par une véritable quadrature ou recherche géométrique d'une superficie que l'on parvient à aider l'analyse.
Quand tout cela est sérieusement esquissé, on entreprend ligne par ligne l'étude spéciale de chacune , et suivant son importance pratique on s'appesantit. Ainsi dans le deuxième degré les propriétés de l'ellipse, de l'hyperbole, de la parabole, sont les bases de notre système solaire; l'astronomie défend sa porte à quiconque n'a point l'usage de leurs vérités. L'ellipse spéciale qui s'appelle circonférence fournit à Vosculation tout un monde; la théorie d'Huygens sur les développées et les développantes , c'est la naissance de l'horlogerie; cela conduit à cette fameuse cycloïde, la roulette de Pascal, sur laquelle ce vigoureux penseur s'est épuisé pour quelques minimes propriétés que peuvent maintenant indiquer quelques Lycéens avancés (cela dit en passant comme témoin du progrès) . Cette ligne a une importance pratique considérable , et dans les arts on lui substitue une circonférence se confondant assez avec elle pour que l'erreur, dans de faibles limites, soit inappréciable. C'est cette courbe dont Galilée avait trouvé la superficie en pesant des lames de plomb d'égale épaisseur ; ce moyen quoique non géométrique s'applique encore tous les jours , et je te l'ai dit , c'est là qu'est le cachet de ces mots : mesure indirecte.
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3 e serai fier, je l'avoue , si quoique inférieur à ma thèse j'avais pu te faire comprendre comment en dehors des conditions empiriques où l'on ignore tout, en dehors des habitudes manuelles , des instincts développés par les travaux de chaque jour, habitudes, instincts, auxquels l'on est forcé d'en référer , l'analyse et la science appliquée sont comme ces deux soleils des Orientales qui chaque soir, en rois amis, vont au devant l'un de l'autre; nous pourrons ainsi donner une forme tangible, extérieure, palpable à des vérités abstraites qui exigent une trop forte part d'imagination; car de tous les travaux de pur intellect, c'est certainement le sujet nombre qui demande au cerveau le plus de tension, de bouillonnement; ton sourire moqueur m'interdit l'appui du nom d'Euler.
Bon! encore I voilà que les analystes sont poètes! Voilà que nous reléguons au second rang ces charmants conteurs qui nous emportent sur les ailes du caprice , en nous berçant dans un doux langage de délicieuses et fugitives émotions ! Voilà que nous comparons l'ennui à la gracieuse fraîcheur! Le sourire intérieur qu'éveille le nom de Musset, ou la surprise des mots heureux de l'excentrique mais truculent Théophile (l'adjectif est de lui), se trouve balancée par la gaîté d'un style ou F [a +b se marie à Y [a — b); force intellectuelle, soit encore, dans son genre, mais imagination!
Quand on se répand au loin dans la plaine , on peut recueillir une ample moisson de fleurs; mais pour qui circule sur un sol aride, pour qui peut s'appliquer le Ergo œgrè roslris terrain rimantur, si la vue ne se repose pas sur de vertes prairies, elle contemple du moins des sites grandioses; môme pour l'homme impuissant à creuser son sillon dans
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une sphère trop large , sous la coupole immense où s'abritent nos êtres, où s'agitent en mêlée nos sentiments multiples, il est bien quelques grappes à cueillir , et quelque pâle et débile que soit une nature , il est encore pour sa lèvre avide quelque doux fruits négligés dont le suc saurait la rafraîchir.
Cela ressemble-t-il ? Le pastiche est mauvais, soit; c'est toi qui Tas nommé ; puisse-t-il, aidé par ta vive ironie, suffire à son rôle protecteur et nous conduire sans encombre hors de notre labyrinthe. Je reviens à mon langage, à mes allures.
Quand les notions sur un plan sont suffisamment nettes, on s'attaque à l'espace et l'on voit que trois conditions ou trois grandeurs coordonnées suffisent et sont nécessaires pour fixer la position d'un point ; la surface en général sera représentée par une relation entre trois variables, et pour toute liaison analytique il y aura une forme correspondante; ainsi les idées d'espace terminé , d'enveloppe d'un volume, et d'équation entre trois lettres sont similaires; profil scuptural d'une équation , symbole analytique d'une forme extérieure. Nous entrons dans le domaine plus pratique, plus concret, plus détaillé, plus difficile, des corps ayant une existence réelle.
Deux surfaces se coupent suivant une ligne , trois surfaces suivant un ou plusieurs points ; une surface ayant un élément variable est donc une véritable coordonnée , et comme au début, cette remarque va nous conduire à un système de convention avec lequel nous pourrons juger et comparer les autres. Les surfaces planes sont les plus saisissables à l'esprit; la sphère, le cylindre etc...... permettent sur leur
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enveloppe de dessiner certains traits , mais sans la précieuse simplicité des moyens de construction acquis aux plans ; trois surfaces planes seront donc choisies pour déterminer un point par leur commune intersection , et ce point unique sauvera , là aussi , de toute ambiguïté ; il faut que le plan corresponde à l'équation du premier degré, et Ton est conduit à choisir trois plans rectangulaires qui se coupent deux à deux suivant des axes. Les distances comptées sur ces lignes fixent la valeur de chacune des trois coordonnées ; si Ton ne se trouvait en face d'une grave difficulté de représentation , il serait utile alors de s'essayer à construire le portrait de quelques équations , afin que l'esprit se puisse bien pénétrer de cette correspondance complète entre le nombre et l'espace. Comme pour le plan, on passe en revue les systèmes divers , leur génération , leur mutuelle transformation. On établit la comparaison des surfaces, leur osculation, leur intimité , leur contact, et pour toutes ces recherches , la complication analytique multiplie les difficultés. Dans le système de convention l'on crée des théories générales analogues aux premières : plans diamétraux ¥ centres, similitude, superficie, volume ou cubature générale, ce qui conduit à une intégrale triple.
Je te l'ai dit , l'impuissance des yeux pour saisir l'aspect général de la forme , à moins de construire avec des corps solides, enlève à ces questions la clarté du fait; aussi l'important dans cette étude consiste-t-il à déterminer les sections de chaque surface par d'autres bien connues , et à préciser la nature des lignes que Ton obtient ainsi.
Une ligne est représentée analytiquement par deux équations à trois variables , et de même que sur le plan on
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établit une série de déductions sur les courbes osculairtces, on substitue une forme linéaire à une autre forme, et surtout et toujours la ligne droite ou la circonférence. — La descriptive vient à chaque instant s'éclairer, s'enrichir de points de vue , et tous les arts qui demandent à l'espace lô secret de ses allures vont se coordonner, se généraliser, se condenser, puis à leur tour reportent à l'analyse un jour tout nouveau que le dédale algébrique empêche souvent de discerner. C'est le tracé des organes des machines, des engrenages; l'étude des courbures linéaires qui plus tard, sans aucun doute, résoudra les questions de sonorité pour les salles de spectacle ou de parlement; les lignes de plus grande pente, de niveau qui correspondent aux travaux des ingénieurs; c'est cette hélice, levier formidable sur lequel pivotent les vaisseaux, etc..
Monge, en créant la géométrie descriptive, s'est trouvé conduit forcément à systématiser aussi la branche parallèle d'analyse; les surfaces pour lui sont le résultat de la trace laissée dans l'espace par une ligne génératrice qui se déplace en suivant une ligne directrice; ces mots sont bien choisis , mais ce n'est que par un retour mécanique que cela peut être compris; le classement des surfaces par familles résulte de cette vue d'une surprenante façon ; l'équatioa aux différences partielles, qui contient implicitement une forme arbitraire, réunit en groupe toutes les surfaces ayant un organe commun , et c'est un monde à manier , une Afrique au centre inconnu, dont les bords seuls sont explorés.
Comme plus haut dans un système particulier , on étudie ïes équations du premier degré, du deuxième etc., en s'élevimt de proche en proche , et il est à remarquer que
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le 2 e degré contient presque tous les cas d'application , sept à huit surfaces constamment utilisées ; au reste notre remarque générale sur la substitution des formes les unes aux autres dans des limites pratiques peut faire comprendre commentée nombre restreint suffit aux besoins.
Enfin nous voilà au terme; sauf les détails qui pour nous étaient inacceptables, tu as pu en quelque sorte palper cette représentation concrète des fonctions ; elle ne s'étend qu'à trois variables , sans compter les auxiliaires souvent introduites dans le calcul pour la simplification des symboles fonctionnels. Plus tard il nous viendra en mécanique, en physique , des images concrètes de fonctions de quatre et même de cinq variables; mais ce nombre rend les équations souvent inextricables, et il n'y a plus alors cette oscillation entre les deux points de vue pour les avancer tour à tour. Il y a plus ; pour un phénomène de la vie végétative par exemple, il intervient cinquante variables , je suppose, pour la vie animale mille, pour les mouvements historiques des millions ; en supposant donc que les fonctions correspondantes puissent être algébriquement symbolisées , l'analyse ne serait qu'un leurre inutile , et plus tard, l'étude des fonctions compliquées ne pourra se faire jour , peut-être , que parlât connaissance approfondie des faits, en partant de procédés spéciaux , singuliers , relatifs à chaque ordre de recherches ; alors l'analyse sera étudiée par les propriétés de ses symboles , indépendamment d'artifices numériques , et elle sera la déduction d'observations particulières sans leur porter aucun secours. Les sciences peuvent se classer parle nombre des variables contenues dans leur représentation analytique; au fond, toute systématisation sérieuse, efficace
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des choses qui constituent le savoir humain doit satisfaire ou revenir à cette vue.
Une dernière remarque : il existe une curieuse hostilité entre deux, catégories des chercheurs de vérités géométriques; les uns veulent des réflexions partielles relatives à chaque cas, déductions isolées, d'autres préfèrent les procédés généraux; j'avoue qu'à mon sens une querelle de ce genre est puérile ; tel fait n'est pas abordable par le côté général auquel il ressort , et l'analyse, par son impuissance technique, rend souvent impossible l'élucidation des circonstances qui simplifient ce fait particulier ; alors que l'on ait recours aux recherches spéciales ; les idées générales dominent , régentent , dirigent, rien de plus.
Je voudrai surtout insister sur la différence entre les moyens dits analytiques et ceux des arts spéciaux correspondans ; te montrer l'influence des cadres complets , élargissant le cercle minutieux de pratiques routinières , traditionnelles, souvent saines mais isolées; conservant tout ce qu'elles ont d'utile, jie fructueux, sans rien dédaigner, mais aussi sans vouloir rejeter au loin tout ce qui n'est pas consacré par une longue expérience. Sans me lasser , je te dirai l'impossibilité où est l'homme qui ne sait pas la géométrie de pénétrer dans d'autres sanctuaires intellectuels; sous cette forme absolue , l'affirmation peut paraître exagérée et mon but est de la reproduire à chaque pas. La géométrie n'est que le simple bon sens appliqué à un ordre de faits qui ne dépendent que de deux ou trois conditions , et l'on pourra raisonner, trouver, procéder de la même manière pour tous les cas analogues; je connais des hommes très distingués, très éminents, qui astronomes, qui géolo-
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gués, etc., bridés par l'insuffisance de leurs premières nolions scientifiques; il en est qui m'ont dit : ha! si mon éducation était autre, et cela en me consultant pour des vétilles. — A coup sûr on n'a pas l'esprit juste parce qu'on sait la géométrie, mais on l'a moins faux qu'avant; Test un côte par lequel il y a harmonie avec le monde extérieur , un côté d'où dépendent toutes les réalités d'ici bas , et vibrer har~ moniquement sous un rapport de plus ne peut jamais nuire; c'est la fameuse horloge de Mallebranche à régulariser sous tous ses aspects; nous autres gens , durs laboureurs, revêtus d'un œs triplex, nous voulons fonder sur quelque chose de solide , nous ne comprenons point le sable mobile pour, base d'un monument qui doit être œre perennius; l'aile du papillon et ses fraîches couleurs résistent le temps que le souffre la brise, et le parfum délicat mais fugitif de la fleur est dispersé plus vite encore que le manteau nuancé de sa corolle.
Allons, ami, voici bien d§ l'emphase à la fin, comme au milieu, comme au début; pour terminer dignement, et c'est encore de l'harmonie, je te dirai comme au beau temps de notre rhétorique : montons au Capitole déposer sur l'autel du dieu de l'espace l'encens qui lui est dû ; ne blasphémons plus le Jupiter moderne ; Saturne sera l'analyse et les autres dieux, leurs sujets dans l'Olympe, ayant une domination moins étendue , mais plus sentie par nous , viendront chacun a leur tour réclamer tes hommages. Cette rassurante mythologie -te montre^combien j'aime les jouets de notre enfance.
Cordial sourire et amitié.
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IV e LETTRE
