MOUVEMENT OU MÉCANIQUE
Allons, ami, invoque ta muse la plus chérie, taille ta plume , et fais-lui produire une ample moisson de jolis mots, de gracieuses pensées pour préambule du mouvement. Raconte comment, emporté par d'éternels déplacements, tout ici bas s ? assujétit à des lois ; peinds le voyageur qui, naguère péniblement transporté par le coche , traverse maintenant, d'un bond, les plus grands états, et bercé par un libre sommeil rêve dans sa course l'hymne au progrès; tu diras comment au désir d'une amicable demande , à mille lieues d'intervalle, la réponse vole sur l'aile du télégraphe. Le plomb du chasseur , le boulet du soldat , la fleur qui grandit, le bouton qui fait éclater l'enveloppe, l'aiguille de la brodeuse , le bois qui fuit dans l'âtre , les migrations , les révolutions, perpétuel mouvement.; tout le secret de l'agitation humaine est contenu dans ce fait : le plus de chemin dans le moins de temps.
Pour moi débutant sur un ton plus modeste , je veux, te faire pénétrer dans cette mécanique générale à laquelle la pression d'idées sur l'absolu avait imposé le titre de ration-
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nellej; on peut lire en tête de plus d'un traité que les sciences se subdivisent en deux catégories: les unes tirant leurs éléments de notions nécessaires, n'empruntant rien à l'expérience , analyse rationnelle , géométrie rationnelle, mécanique rationnelle ; les autres- contingentes , pratiques , purement expérimentales. Pour nous les sciences ne diffèrent que par leur degré d'abstraction plus ou moins grand, par leur simplicité, par le nombre des quantités variables qu'elles exigent, et nous causerons des états généraux dûs aux mouvements sans pénétrer dans le détail des effets particuliers qui caractériseront chaque science partielle.
Ici j'éprouve un grand embarras ; les notions à t' exposer sont plus concrètes, plus réellement existantes, si je puis parler ainsi , et l'on sent à chaque pas le besoin d'en référer aux deux premières branches des mathématiques; plus d'images sans nul doute, mais que de complications encore à rejeter ; la plupart des détails sont inabordables pour mon trop complaisant auditeur ; tout d'abord il faut abstraire l'air, la pesanteur, causes spéciales d'influence et démêler leur rôle dans les effets produits pour plus tard le formuler en lois.
Je m'enhardis par l'invocation de ton chantre bien aimé
des vins de Falerne. Audaces Ce n'est que sous le
couvert d'une défiance personnelle hautement exprimée que j'ose dire : là encore point de traités; il existe deux monuments , l'un dû au génie de Lagrange , l'autre qui forme le premier volume de la mécanique céleste ; mais ils ne sont abordables qu'après une longue préparation , et à moins de se destiner à un concours, à un examen ou à un novi-
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eiat de praticien , on n'a, comme exposition, que des mémoires cousus à la suite l'un de l'autre.
Lorsque j'étudiais ces notions sous des maîtres célèbres , chefs scientifiques actuels de l'Europe , j'étais par intervalle écrasé. Préoccupés du progrès de détail , ayant sans doute profondément réfléchi sur les origines, ils ne cherchaient pas à montrer la route et laissaient l'esprit de chaque auditeur s'ingénier pour coordonner leurs nombreux matériaux; cependant c'est surtout dans l'acquisition bien nette , bien franche des notions premières que consiste la portée réelle des doctrines , et je songeais involontairement à ce bon Lhomond qui refusa, dit-on , des chaires élevées pour continuer à déposer dans les têtes neuves des germes complètement sains ; les inventeurs , les chercheurs n'ont pas toujours les qualités d'esprit nécessaires pour une bonne exposition; mais actuellement, le professorat n'est pas le fait d'une vocation, c'est un gagne pain, et c'est avec quelque justice que les choix favorisent ceux qui ont apporté de nouvelles lumières; pour moi le génie inventif, quelque élevé qu'il puisse être, ne doit pas être consacré par le nom du professeur ; c'est autre chose , autre rôle plus humble peut-être , mais sans analogie.
Après le nombre pur ou la quantité la plus idéalisée , après la forme ou enveloppe des corps existants , vient Tétude étroitement liée aux deux premières, des déplacements produits dans l'espace et dans le temps. Ces notions d'espace et de temps sont unies si intimement que leur séparation préalable est peut-être le plus grand effort possible d'abstraction , et ce premier pas coûte davantage que celui qui mène à l'analyse. Plus encore que par le passé , l'idée
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d'absolu doit se chasser avec énergie; tout est relatif, tout est rapport , et tout ce que nous pouvons saisir est ceci : un temps, un espace, est un certain nombre de fois plus grand qu'un autre temps ou espace. — La donnée expérimentale intervient davantage; l'analyse déjà lui empruntait son premier pas, a-i-b~b+a,\& convention des signes, etc., la géométrie ses axiomes , et c'est ce fait qui relègue l'absolu dans les sphères sans bornes de l'immensité , comme quaîifiable de rudis indigestaque moles; c'est pour moi d'une importance capitale, et quand je me reporte aux temps de la scholastique, à ces époques ou Àbeilard, Guillaume de Champeaux etc.. élevaient les fondements de ce qui devint plus tard les quatre facultés, procédaient aux luttes des nominalistes et des réalistes qui plus d'une fois ensanglantèrent les cours , et furent closes parle meurtre deRamus; quand des mots enchaînés , sous le nom de logique , dominaient les esprits , sans base , sans moyens de vérification , je regarderai le jour, où dans les intelligences cultivées il n'y aura place que pour les déductions et inductions basées sur les certitudes expérimentales, comme celui à dater duquel le progrès ne reculera plus. Chacun sera guidé par la notion des lois inflexibles de l'ordre naturel, il y aura communauté d'efforts, synergie d'action.
Avec l'idée de temps intervient la notion nouvelle d'effort, de poussée, de pression; dès qu'il y a déplacement, cette sensation se fait jour, et nous allons expérimenter à son propos , l'esprit tout d'abord saisi par les grandes choses qui vont s'embrasser dans cet incommensurable panorama. — Le mot n'est point exagéré ; tout se résume en efforts; lois astronomiques , lois physiques . lois vitales , lois historiques, tout se transforme dant le temps sous la pression
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4'ènergies intérieures ou extérieures, et les aspects généraux déduits de la notion de force sont applicables à tout. Voilà
bien les mathématiciens ! ils veulent ha ! je t'arrête
court et cette fois avec quelque colère: je ne prétends point à l'honneur de cette dénomination , et ne défends que mes propres idées; tu es bien hardi de préjuger ainsi; laisse donc achever; nous avons pour but renseignement , et ceci n'est que l'allée qui doit nous conduire ; qui te dit que bientôt , à quelques pages d'ici ,, peut-être, je ne serai pas plus sévère que toi-même sur cet esprit étroit et arrogant de chaque spécialité qui prétend tout dominer, tout enlacer? Ne juge pas sur un lambeau de phrase qui veut pour appui tout ce qui suit , tout ce qui précède; dès le début je t'ai franchement accusé les limites de la sphère mathématique ; au reste dans un combat amical le premier soin doit être d'attribuer à son adversaire les idées saines que Ton croit avoir, toutes les fois qu'il n'y a point opposition flagrante , et cette large hospitalité de la raison nécessite la courtoisie des mœurs féodales , ou bien il faut recourir aux armes émoulues ; certes, j'aurais voulu te sabler le chemin que tu parcours avec moi et te l'ombrager de chaque bord de haies vives , fraîches et odorantes ; mais le sol est rocailleux et ton améïiité doit ménager mes forces.
Voyons les axiomes , les points de départ : je prends cette pierre et la jette à quelques pas; l'effort que je suis obligé de faire dépend de la nature du projectile, mais non de son volume, car un morceau de bois plus gros serait plus aisément projeté. Si je veux lancer plus loin , faire parcourir un plus grand espace, aller plus vite, l'énergie de mon action doit augmenter encore ; mon effort dépend de la nature du projectile et de l'intensité du déplacement; il varie avec
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le corps, avec le temps ; la vitesse , la rapidité du parcours s'apprécie par le chemin fait dans un temps déterminé ; le rapport des espaces est le rapport des vitesses.
Ceci posé, je vais t'indiquer les trois lois expérimentales, bases de la mécanique , résumé général de toutes les vérifications qu'elle comporte.
1 ° Loi de Kepler. — Connue sous le nom de loi d'inertie , elle doit perdre ce dernier nom qui comporte une notion métaphysique à priori que je rejette. Je lanGe ma pierre sur cette prairie aux herbes élevées ; elle roule peu ; je la jette sur ce sol inégal, mais moins résistant, elle roule plus loin , sur la route elle ira plus loin encore. Je suppose la bille d'un enfant poussée par son doigt sur un tenain raboteux, sur un sol uni, sur un plan de marbre; dans cet ordre elle s'arrête de plus en plus tard ; sur un billard, plus le tapis est fin , plus le même effort du joueur donne de course. Tout cela veut dire que si quelque <5hose n'arrêtait point le projectile une fois lancé , ce projectile irait toujours, et de plus toujours dans la même direction; le frottement dû aux corps en contact, la pesanteur du mobile, la résistance de l'air sont des causes d'arrêt , et plus on les diminue , plus on obtient de continuité de mouvement; fais osciller ta canne dans cette eau , elle s'arrêtera plus vite que dans l'air, et si par la pensée tu pouvais supprimer ce dernier, tu pourrais induire que la canne continuerait son mouvement. Ainsi, partant de l'observation, en abstrayant les efforts toujours existants dans la nature, qui s'opposent à la perpétuité d'une impression , l'on arrive par une induction énorme, je te l'accorde, à accepter ceci : un corps ne se déplace jamais que sous une impulsion provenant soit de
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l'intérieur , soit de l'extérieur. L'énergie du mouvement dépend de la substance du corps et de la puissance de l'impulsion. Un corps lancé ira toujours en ligne droite, et toujours de la même allure si rien ne l'arrête.
Les causes sont en rapport avec les effets , rien n'arrive sans motif , et il est puéril de chercher l'origine d'une révolution dans un verre d'eau. Pour faire de grandes choses
il faut de grandes puissances, etc Le point de départ
expérimental a été le corps physique ; mais partout l'observation dénote la même vérité; l'on n'a pas au reste le droit d'en rien conclure pour tous les ordres de phénomènes sur lesquels on n'a pas expérimenté. La plus belle application de cette loi ce sont les chemins de fer. Ainsi : — Conservation des mouvements.
%° Loi de Newton. — Elle s'est longtemps énoncée : l'action égale la réaction , toujours idée d'absolu, de faits nécessaires. Elle sera pour nous le résumé de ce fait que rien ne se perd ici bas ; qu'un effort produit se transmet tout entier , que des efforts identiques et opposés se détruisent; que toujours, à une force donnée qui ne produit pas d'effets apparents, correspondent des dislocations ou déchirements intérieurs qui en sont l'égale mesure; qu'une énergie qui ne se fait pas jour doit être contrebalancée par une égale énergie, et la mesure de cette action, de cette énergie, viendra distinguer chaque ordre de sciences; l'appréciation des puissances en astronomie, en physique, en histoire, en politique, viendra seule différencier les applications de cette loi. Là, vient se classer la négation du mouvement perpétuel au point de vue de notre terre; puisqu'une force doit vaincre des résistances provenant soit de
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l'air, soit du- poids, soit des frottements, etc.. Elle ne peut transmettre que la part d'action qui n'est pas absorbée, et cela indépendamment de l'usure des organes; une machine quelconque rend, en réalité, toujours moins que l'on n'y met; seulement elle disperse ou concentre des efforts séparés sur des points d'appui relatifs. En définitive, tout effort se transmet tout entier et la matière n'absorbe rien ; ceci est très grave , et c'est encore une induction; énorme ; appliquée aux faits pour lesquels cette loi est reconnue vraie, elle donne de magnifiques lueurs : en histoire , par exemple, un mouvement dans un sens procède par oscillations analogues à celles du pendule. Mouvement catholique: ascension sous Constantin, descente sous Julien, ascension moyen-âge , descente luthérienne, ascension sous Lows XIV, descente au 18 e siècle, ascension actuelle. Mouvement militaire, : violente explosion pendant la vie de nos pères, oscillation descendante , et d'ici à peu, quelque cataclysme violent. Ainsi : - Opposition des mouvements.
3° — — Loi de Galilée. — C'est peut-être cette vue expérimentale qui donne le plus de résultats puissants , comme négation de l'absolu, comme rivant, l'homme à l'anneau de fer indissoluble qui se nomme le relatif. Prends une table et pousse-la devant toi; suppose qu'une mouche de son côté courre sur la table ; ton mouvement n'arrêtera point sa marche , et elle se trouvera au même endroit du plan mobile que s'il fût resté en repos ; les deux mouvements sont indépendants. Mais par rapport à la chambre où se trouve la table , la mouche n'occupera plus la même position dans les deux cas , et il s'agit, connaissant les deux translations séparées, de conclure celle unique qui eût produit le même résultat. Fais marcher la table d'abord, puis ensuite la
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mouche , le point d'arrivée sera le même. Si la table et la mouche ont marché dans le même sens , les déplacements s'ajoutent; si c'est en sens contraire, ils se retranchent. Si les directions font un angle, les efforts simultanés se remplacent par les efforts successifs , et le point d'arrivée seraitlemême si l'on avait donné pour mouvement unique, en grandeur et en direction, la diagonale du parallélogramme construit sur les chemins isolés. Indépendance des mouvements relatifs : sur un bateau ton geste, tes changements de place ne sont en rien gênés par la translation; pour toi tout se passe comme s'il était en repos. Sans cela, mon ami, quand de très grands effets se combineraient avec nos mouvements, nous serions étrangement maltraités; en chemin de fer par exemple, tes mouvements de langue ne seraient point les mêmes dans tous les sens ; tu parlerais trop vite dans quelques circonstances, trop doucement dans d'autres, et de côté tu parlerais de travers.
Ce principe connu sous le nom de parallélogramme des forces et des vitesses a été démontré à priori, surtout par Laplace , Ampère et Poinsot ; à mon sens une démonstration de ce genre ne fait qu'admettre le principe sous un détail, et cela sans aucun avantage; je dois respectueusement me découvrir en face de ces trois noms, et je ne puis me permettre cette humble remarque qu'en appuyant sur ce que le progrès scientifique rend accessible aux organisations les plus inférieures les idées qui ont exigé dans le passé les efforts considérables des hommes les plus éminents; cette loi ne s'applique qu'aux seules translations, et pas aux rotations; aussi dans les chemins de fer sommes-nous fatigués par les balancements transversaux et les petits chocs.
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Un fait très singulier, c'est que le principe de Galilée, celui-là même dont la vérification expérimentale était la plus facile, a soulevé à son apparition le plus de rumeurs et les plus énergiques négations ; cependant partout il montre sa généralité; l'organisation d'une nation, d'une armée, n'a qu'un but : rendre parallèles et non point divergentes les forces individuelles. En tout et pour tout , l'esprit pénétré de son extension à tout résultat d'énergie verra jaillir des lumières sur ses conceptions. Sa vérification peut se baser en partie sur le mouvement de la terre, et ce mouvement une fois admis sert à son tour de contre-épreuve à la première vérité; c'est ainsi, je te le répète, que la science du vrai oscille perpétuellement entre des limites que le progrès rapproche davantage. Ainsi: — Composition des mouvements.
Ces trois lois admises n'auraient que l'avantage de faire cesser l'état déplorable dans lequel les études ontologiques ont laissé beaucoup des meilleurs esprits, que déjà ce serait immense; c'est le verbe de la loi, la conviction de son existence en tout et partout qu'il s'agit de faire germer dans les têtes ; j'ai entendu un homme fort distingué nier l'existence de toute chaîne , de tout régulateur; les faits étaient pour lui des grains de sable isolés, sans lien, sans rapport; l'un des auditeurs lui lança ce mot: hé bien! Monsieur, pendez-vous par les pieds ; le sang qui vous étouffera vous empêchera seul alors d'affirmer la pesanteur.
C'est ici, mon ami, que j'ai peut-être, et à ton insu, le plus à lutter contre ces idées à priori que je crains chez toi ; je ne puis, à ce propos, résister au désir de citer l'une des pages les plus remarquables d'un remarquable ouvrage
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d'Herschell ; j'écris de mémoire : « Les premiers pas de celui » qui débute dans l'étude d'une science doit être de pré- » parer son esprit à recevoir la vérité par l'abandon de » toutes les notions fausses et imparfaites qu'il peut avoir, » concernant les objets et les rapports qu'il va examiner; » c'est le premier pas de préparation vers cet état de pureté » mentale aussi nécessaire à la perception de^l'harmonie » physique qu'à celle de la beauté morale , et c'est seule- » ment alors que nous serons à même de saisir les linéaments » du plan de la nature, » La nature! Certes , je crois entrer dans l'esprit de l'écrivain en acceptant ce mot avec toute son extension.
Les notions combinées de temps et d'espace nous avaient conduits à l'idée nouvelle d'effort ; la spéculation sur l'effort pur , en faisant abstraction de ce temps qui pour nous en était l'idée mère , peut et doit former comme une sorte de préambule que l'on appelle Statique , par opposition au cas réel , nommé Dynamique. À vrai dire , c'est une pure étude géométrique qui sera pour nos nouveaux points de vue ce qu'était l'arithmétique pour l'analyse , la géométrie partielle, de mensuration spéciale à chaque cas, de détail en un mot, pour la géométrie générale , ce qu'était pour cette dernière le choix d'une langue , ou coordonnées rectilignes. Cette partie de la science qui doit être une conclusion , un état singulier des moyens généraux de la mécanique, doit aussi se borner, à mon sens , à ses strictes limites de question bien posée. On peut dire que toute entière elle est contenue dans le principe de Galilée, et dans la notion nouvelle de couple, création de M. Poinsot , à laquelle nous allons venir.
Dans ces derniers temps , il y a deux ans à peine, il s'est
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produit un revirement dans renseignement mécanique, précisément dans le sens dont je te parle; j'ai pour mon compte vivement applaudi à des bornes posées à un préambule indispensable, mais qui doit se diminuer d'autant plus que la plupart des détails que Ton s'efforçait d'y annexer se déduisent de l'énoncé le plus large que nous puissions invoquer. Substitution d'une seule force équivalente à plusieurs, ou inversement; telle sera la première partie de la statique.
Le principe de Galilée a été soumis par Laplace à un autre ordre de vérifications. — La quantité du mouvement , sa grandeur, la puissance d'impulsion est proportionnelle à la vitesse qu'il procure, et le facteur par lequel il faut multiplier la vitesse pour chaque corps différent , afin d'obtenir l'énergie de l'effort, s'appelle la masse de ce corps.— Cela donne la relation f— m.v qui revient expérimentalement à la notion de mouvements indépendants , et à la négation que voici : Un promeneur ne se fatigue pas davantage en allant dans l'est qu'en marchant dans l'ouest, malgré le mouvement de la terre. — Ce point de vue, est-il assez humain, assez terrestre? Nous ne savons pas si dans une autre planète ce principe subsiste encore , et en supposant toute autre relation entre l'impulsion et la vitesse , Laplace a indiqué en quoi et comment toutes les lois générales de la mécanique seraient changées.
Cette relation f = m.v contient trois choses et sert à résoudre trois problèmes ; ainsi au moyen de ressorts, on pourra étudier les coefficients de masse de chaque corps ; ce seront de purs rapports , de purs facteurs numériques; plus tard d'autres moyens plus pratiques seront indiqués
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pour cette recherche , et c'est le cas d'appuyer sur Futilité des vues théoriques ; un moyen qui paraît simple est souvent inacceptable eu égard aux causes d'erreurs inhérentes, et la théorie ne doit en quelque sorte qu'indiquer à l'expérience le choix des coefficients numériques dont la recherche est plus profitable ou plus précise. J'ai tenu à te présenter ainsi ce mot nouveau de masse , que l'on a l'habitude de définir une réunion de points matériels, en acceptant un je ne sais quoi que l'on ne peut affirmer; dernièrement un homme hors ligne, M. de Boucheporn, dont les ouvrages n'ont pas encore eu tout le retentissement qu'ils me paraissent mériter, jetait comme larges inductions des aperçus qui pouvaient peut-être faire inscrire en faux sur cet agrégat de points appelés matériels sans que cet adjectif fût très clair.
L'impulsion unique conserve le mouvement d'après la loi de Kepler, la vitesse est régulière, le mouvement est dit uniforme. Si la cause d'action fait persister son influence , on aura la notion d'effort en général, qui donne au mobile une vitesse variable ; ainsi , temps , impulsion simple , effort aontinu sont les trois nouvelles grandeurs dont la mesure, la comparaison, la réduction en nombres constitue la mécanique. Le temps se mesure par la comparaison des espaces dûs à un mouvement uniforme, agissant sur le même corps. — Les horloges ou instruments de cette mesure indirecte se règlent sur le seul mouvement complètement régulier qui existe en ce bas monde , celui de la voûte céleste, Tous les arts mécaniques cherchent à obtenir des mouvements réguliers, et quand on réussit , l'on a de véritables horloges; ici la mécanique s'éclairera par un retour astronomique , et à son tour lui servira de pouvoir exécutif, — Mesure indi-
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recte ; l'idée d'espace bien étudiée se substitue à l'idée de temps. Les impulsions se comparent par les vitesses, appréciation encore indirecte qui exige la simultanéité de deux autres mesures , celle du temps , celle de l'espace ; elle utilise à la fois le premier début mécanique , et la géométrie,
Passons aux effotts continus; ici c'est plus grave encore; nous n'avons sur cette terre qu'un seul effort complètement soumis à notre domaine expérimental ; c'est la pesanteur; le poids est son effet appréciable , et il s'agit de ramener à cette notion accessible à tous, les cotes numériques qui doivent faire juger les autres. Les poids s'apprécient par les balances, par ces dynamomètres à têtes arabes sur lesquels, aux Champs-Elysées, tu as vu s'exercer la vigueur physique du poignet des promeneurs , par mille autres instruments; en choisissant une unité spéciale , on pourra transformer en nombre tous les poids possibles.
Cela posé pour tout effort continu , on cherche dans un temps déterminé la grandeur d'accroissement de la quantité du mouvement ; si par l'appréciation des vitesses à deux moments différents, on peut obtenir la valeur numérique des deux m.v correspondants, leur différence fera bien juger dans|l'intervalle de la puissance d'action du moteur; pour bien suivre les caprices de la force dans toute l'étendue de ses variations, il faut choisir un minime intervalle K et l'on a pris la seconde pour unité pratique ; en théorie ce sera la grandeur infinitésimale, et nous revenons au différentiel. Pour la pesanteur le gain de quantité du mouvement est régulier ; des expériences précises par lesquelles la physique vient baser la mécanique indiquent que les vitesses s'accroissent de quantités égales par moments égaux ; cet
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accroissement à Paris, dans une seconde, est de 9,8 etc., ce nombre s'appelle g et m. g représente le poids d'un corps ou la quantité dont s'accroît la grandeur du mouvement par seconde ; les procédés utilisés pour la mesure des poids permettent la comparaison des masses; dans un même lieu le rapport des poids est le même que celui des masses. Pour un autre lieu g varie, les poids, les masses changent, leur rapport reste invariable.
Ainsi , comparaison indirecte du temps , des impulsions , des masses, des poids, tout cela basé sur quelques expériences préliminaires de physique et d'astronomie, voilà notre point de départ.
La quantité de travail, produit qui dépend à la fois du déplacement et du poids , s'exprime par le résultat de la multiplication des nombres qui spécifient ces deux grandeurs.
Après cette esquisse , essayons d'aborder la comparaison d'efforts quelconques; ils n'auront pour nous aucun sens s'ils ne sont traduits par un certain nombre de kilogrammes ou unités de poids. — Là , va intervenir encore cette grande vue sur la série de Taylor, qui montre la génération progressive des grandeurs , leur mutuelle substitution pour l'évaluation numérique , leur comparaison permanente au moyen de symboles échelonnés pouvant exprimer un mode quelconque de varier. Avec notre instrument analytique nous allons pénétrer dans l'intimité du phénomène , expression qui rend trop bien ma pensée pour ne pas souvent la reproduire.
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1° ■ — - Cas où la direction de la force reste la même; où son intensité varie seule avec le temps. Pour cette page encore je rédame de ta complaisance un peu de tension intellectuelle , ce sera ma dernière formule.
Le corps mobile suit une ligne droite, et les espaces qu'il parcourt sont variables comme la cause d'action , il s'éloigne plus ou moins vite. — Sa distance à un point fixe dépend du temps , est une fonction de cette variable que nous appellerons t ; cette fonction développée peut s'écrire:
A -h B.t + C.f + D.t* + etc., etc.
Pour un autre effort, liaison analogue, les coefficients changent seuls ; tu pourras donc comparer deux puissances d'action comme deux formes en géométrie , comme deux fonctions en analyse.
Quels sont dans les cas naturels les mouvements auxquels nous pourrons rapporter les autres? Il n'y gn a que deux assez eonnuè : le mouvement uniforme représenté par A + B.t , le mouvement d'accélération constante représenté par A + B.t + C.t 2 ; le coefficient B s'appelle vitesse, le coefficient C accélération, les autres n'ont pas de nom parce qu'ils correspondent à des mouvements dont nous n'avons pas la possibilité d'apprécier la variabilité ; l'exemple nous manque. La quantité du mouvement à un moment déterminé sera m. B> l'effort moteur sera m.C.
Vois bien : le mouvement céleste le plus simple de tous a joué le rôle de ligne droite , le mouvement pesanteur celui de circonférence osculatrice ; nous pouvons suivre celte vue et constituer l'osculation des forces d'une manière analogue à Yoscvlation des courbes; cette théorie n'est pas faite,
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et il est singulier que Lagrange, l'auteur de Tune, n'ait pas poursuivi sa conception pour l'autre , autrement que par une mince remarque perdue dans son livre.
En divisant la valeur numérique de m. G 7 , à une instant spécial par le nombre m. g relatif au même corps , on a le nombre de kilogrammes qui, à cet instant, caractérisent F effort moteur; ainsi la puissance d'action est C : g, nombre. B, C , représentent précisément les dérivées premières et secondes de la fonction analytique qui donne la loi du déplacement ; B , c'est la vitesse que prendrait le mobile , si la loi de Kepler seule continuait son influence , si les forces cessaient d'agir, et C apprécie l'accélération constante que prendrait le mobile, si la force restait uniforme, persistait dans son influence , mais sans caprices.
Le problème le plus général que nous puissions nous proposer consiste à donner une relation entre le temps, l'espace décrit, la vitesse, l'effort moteur; cela revient donc à une équation différentielle du second ordre, puisqu'elle doit contenir B et C; tantôt elle te fera connaître la loi des espaces connaissant la force, tantôt la loi de la force, sachant celle des espaces. — Les difficultés techniques de calcul pourront nous arrêter , nous arrêteront même trop souvent, mais par la faute de l'analyse et non point par la faute delà mécanique ; celle-ci a satisfait à son rôle qui est de ramener au pur nombre , tout en pouvant regretter l'état d'enfance de l'analyse. Au reste, ce sont précisément ces questions qui ont poussé vivement à la solution des problèmes de calcul intégral ; les lois étaient contenues dans le retour aux fonctions primitives , quand les fonctions d'observateurs avaient fait leur rôle; encore une citation : « L'homme ne s'ingénie
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pour résoudre des difficultés qu'autant que la nécessité d'une solution se fait plus virement sentir; la possibilité d'une découverte s'accroît par cela même , mais moins vite que l'accroissement des difficultés. »
2° Cas général où la force varie à la fois en direction
et en intensité. Le mobile décrira dans l'espace une ligne quelconque , analytiquemeht formulée par % équations à 3 variables ou 3 équations à 4 variables. Il s'agit de trouver une relation entre le temps , la vitesse , l'effort moteur et la forme de la ligne parcourue ; alors trois de ces grandeurs étant connues , la quatrième pourra se déduire du calcul. Le mouvement total d'après le principe de Galilée pourra s'apprécier séparément suivant trois axes correspondants aux trois sens de l'étendue et qui serviront d'axes coordonnés pour les équations de la ligne. Sur chacun de ces axes, si l'on donnait la loi du déplacement, la force composante et le chemin parcouru seraient une facile conséquence ; à son tour la loi de la force donnerait la loi des espaces ; le problème est ramené au précédent sous trois influences séparées, équivalant ensemble à l'influence unique. Parmi les mille manières de décomposer la force agissante , il en est une plus importante que voici : on a eu l'idée de choisir la tangente pour l'une des directions composantes, et c'était naturel puisque , d'après la loi de Kepler, le mobile livré à lui-même tendait à chaque instant à suivre ce chemin ; l'autre direction représente la partie de la force dévoyant, infléchissant la route, et se compte sur la perpendiculaire. Sa grandeur porte le nom de force centrifuge ; c'est elle qui tend le fil d'une fronde quand l'on fait parcourir une circonférence à la pierre que l'on veut lancer ; c'est elle qui retient l'écuyer penché au-dedans du cirque debout
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sur un cheval, et cela, au grand étonnemeni de la foule qui ne sait pas que l'écuyer autrement placé serait|projeté sur les spectateurs , et avec d'autant plus de violence que le cheval irait plus vite. Ainsi, pour faire décrire une courbe au moyen d'un effort qui ne serait point son intime , c'est-àdire qui tendrait de lui-même à faire parcourir une autre ligne si la première n'offrait pas de résistance , on voit que cet effort se perdra en partie dans une direction où il tend à arracher la courbe, en partie dans le sens où il doit neutraliser l'influence de la force centrifuge , et fera courir le mobile dans la direction d'iine tangente constamment déplacée; à chaque effort correspond une courbe déterminée qui a sa force centrifuge , sa force tangentielle , et en sens contraire, t chaque courbe donnée correspond une nature particulière d'effort susceptible de la faire librement décrire. N'est-ce pas une magnifique harmonie entre la forme et la puissance motrice, toutes deux soumises à des lois numériques qui nous révèlent leur nature?
Tous ces problèmes sont insolubles en général , je te l'ai dit, le calcul intégral est à l'état d'ébauche.
La notion de vitesse a paru tellement primordiale que certains esprits l'ont jugée plus élémentaire que celle d'espace; les vitesses décomposées en deux directions ont servi à Newton de base à sa création du calcul différentiel , et les mots de fluxions et de flnentes sont les synonimes des termes consacrés par son rival plus heureux, Leibnitz.
Si l'on cherche le produit numérique du coefficient de masse par le qiiarré de la vitesse , l'on trouve un résultat qui s'appelle force vive et dont l'importance, la haute valeur
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utilitaire provient de ce que la différence entre deux de ces produits représente, pendant un laps de temps, cette quantité de travail qui nous faisait apprécier la portée pratique d'un effort; quand la force satisfait à certaines conditions indiquées par le calcul , la force vive a la curieuse propriété de se reproduire identique toutes les fois que le mobile repasse par des positions identiques. — Conservation des forces vives; nous y reviendrons.
Jusqu'ici nous avons considéré l'effort opérant librement une pure translation ; mais si par une cause quelconque le corps mobile ne peut que tourner autour d'un point fixe en parcourant la circonférence dont ce point est le centre, on obtient une rotation; la quantité du mouvement devient le produit de la vitesse angulaire par le rayon de la circonférence ou bras de levier ; car la vitesse linéaire ou arc parcouru sera précisément le produit du rayon par l'angle décrit. Cet effort particulier avait reçu le nom de moment; il n'était que l'expression analytique d'une mesure , un résultat de l'étude sur la simple force, et depuis peu il a pris rang dans la science sous le nom dec ouple, de par l'autorité de M. Poinsot; il Ta concrétisé, en a donné le type géométrique , et si la valeur de sa création se bornait à cela , ce serait minime somme toute, seulement une heureuse image. Ce genre d'expression compliquait les formules à les rendre souvent inextricables; c'est maintenant une unité de force de rotation prenant place à côté de l'unité de translation; c'est un signe général de fonction particularisé, comme une transcendante nouvelle introduite dans la mécanique, correspondant en analyse à l'invention du logarithme, du sinus, de la tangente, des elliptiques etc.. Ce n'est rien que d'inventer une fonction nouvelle .„ c'est-à-dire que d'imposer un
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nom, mais là , où se montre le génie , c'est à savoir formuler des fonctions qui simplifient les rouages. Pour ce genre d'effort nons allons brièvement reprendre tout ce qui a été dit, suivre pour la transcendante couple la marche de tout à l'heure.
Composition et décomposition des couples , ou loi spéciale de Poinsot analogue à celle de Galilée ; seconde partie de la statique. La quantité de mouvement dû à une impulsion se mesure par &,m.s;, b étant le bras du levier. La ioi de Kepler s'applique , le mouvement se conserve , et ce fait se traduit d'ordinaire par un nouveau mot ; en spéculant sur les surfaces décrites par le rayon mobile, le mouvement conservé donne la constance aux aires décrites; principe des aires. C'est au reste cette dernière forme , lumineuse découverte de Kepler , mère de ses idées astronomiques , qui vaut à cette loi, pour son aspect général, cet immortel patron. Gain des quantités de mouvement , ou efforts rotatoàres. Comparaison des impulsions tournantes, des efforts giratoires, oscnlation, substitution mutuelle, comme pour les fonctions, commue po*ir les formes, comme pour ks efforts transitoires.
Ainsi en résumé :
