ROTATION

1°— Loi de Kepler, conservation au mouvement. 2°— Loi de Newton, destruction des efforts.

3°— Loi de Galilée, composition des efforts Statique

4°— Mesure d'une impulsion m.B,

5°— Mesure d'un effort — m.C,

lo— Loi de Kepler, principe des aires.

2°— Loi de Newton.

3°— Loi de Poinsot, composition des couples— Statique.

4°— Mesure d'une impulsion giratoire b.m.B.

5°~ Mesure d'un effort giratoire, - — - — — — b.m.C.

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ta vitesse se rapporte à l'espace, à l'unité métrique; l'impulsion se déduit de la vitesse; l'effort moteur se traduit en poids , en kilogrammes.

Je p&fe pour un instant sortir de mon cadre de généralités en t'indiquant les quelques cas physiques, parmi les plus simples, auxquels ces notions peuvent s'appliquer : mouvement d'un corps libre assujéti à la seule pesanteur dans le vide; mouvement sur un plan incliné, sur les machines à ralentir, etc.... La solution dans Fair, en tout autre milieu résistant, ne peut s'indiquer encore; cela rentre dans les conditions de frottement , dans la théorie des fluides , théorie dont on ne peut même pas dire qu'elle est en ébauche. Mouvement des projectiles dans le vide; c'est le cas où une force d'impulsion s'ajoute , se combine à la( pesanteur; le mobile décrit une parabole. .Le mouvement sur une courbe , la théorie du pendule avec le rôle immense joué par la cycloïde, rôle deviné par Huygens, et qui conduit, par la longueur d'une verge battant U seconde, an moyen le plus précis d'estimer les variations de g , de la force pesanteur pour tous les points du globe; vois ce qu'est le génie ! ce qui échappe au vulgaire , ce que l'observation nous fait toujours négliger par l'habitude de trouver naturel ce que l'on voit souvent, de ne pas même remarquer les faits ordinaires qui sont les plus importants , un Galilée ïe constate et remanie la science ; un jour, dans la cathédrale dePise, il vit osciller les lampes; leurs battements étaient isochrones ; lumière ! c'est le point de départ det recherches d' Huygens.

On étudie, pour la translation, puis pour la rotation,* ekaque force successivement classée d'après son type ana-

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lyticluc i et parmi les questions que la simple curiosité peut produire et qui seront jetées à la science de par l'autorité des faits, il en est une très vaste qui consiste à étudier le rôle d'une force émanant d'un point fixe et se combinant avec une translation. Ce cas des forces centrales, en lui appliquant les ressources indiquées , fera connaître :

I —-— La trajectoire ou courbe parcourue connaissant la force.

2° — . La f orce attractive ou répulsive du point fixe connaissant la trajectoire.

Tout d'abord la courbe ne peut être que plane , et c'est réciproque. Les difficultés seront souvent grandes, eu égard à l'insuffisance de l'analyse; on étudie les cas les plus simples où les calculs peuvent se faire* et entr'autres le cas des sections coniques, ellipse, hyperbole, parabole. Pour une trajectoire de ce genre, il se trouve que la force varie en raison inverse du quarré des distances au point fixe, et réciproquement; si telle est la loi de la force centrale, toute impulsion primitive fera décrire une courbe du 21 e degré. Il y a là des mondes d'idées à manier ; les cours ont tort de mélanger ces théories de notions astronomiques qu'elles doivent aider sans se confondre. Ge colossal aperçu qui nous dévoilera la plus grande loi des cieux, se déduit-il de jalons assez simples? est-ce là du vrai beat»? l'enthousiasme à cet égard peut-il être ridicule?

Pour terminer cette délicate exposition, il me faut dégager une abstraction de moins et arriver au cas plus complexe où des forces s'appliquent sur divers points pouvant

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agir les uns sur les autres par l'intermédiaire de liaisons inflexibles ou variables ; nous sommes aux portes delà réalité. Je serai très bref et veux seulement te faire envisager du dehors cette large zone de lumière.

Tout d'abord , dans un système quelconque , la loi de Newton s'applique ; les efforts se transmettent tout entiers par l'intermédiaire des liaisons ; rien ne se perd. — Si tu concevais la possibilité d'exprimer à chaque instant la puissance d'action de chaque point mobile, toutes ces puissances d'action devraient s'entre détruire pour qu'il y ait nullité de mouvement ou équilibre, et s'il résulte un mouvement pour tout l'ensemble d'un système réuni en faisceau ou à liaisons complètes, cela ne peut être qu'une tendance à un déplacement sous deux rapports spécifiés par nos deux unités, Tune de translation, l'autre de rotation, chacune dans un seul sens.

J'ai à dessein prononcé le mot de tendance; car eu égard à îa mobilité du système , la puissance d'action ne doit s'examiner qu'à un mommit précis , que pour sa tendance h croître ou à décroître , à varier en un mot. Nous mesurons l'énergie d'un effort par le produit de la force et du chemin fait sous son influence; cette tendance à varier, cet état instantané que nous voulons surprendre pour voler son secret à notre univers, nous sera donc donné par notre instrument si puissant d'analyse, et ce mouvement infinitésimal qui ne fait, pour ainsi dire, qu'exprimer la volonté capricieuse , changeante , arbitraire d'un effort se qualifie: vitesse virtuelle ; Prométhée moderne, il dévoile le secret de la vie ; son vautour est le pur rhéteur. La vitesse virtuelle sera le produit d'une force par la différentielle du chemin fait dan£

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une direction déterminée, et Ton arrive à cet énoncé général, point de départ de la conception de Lagrange : Principe des vitesses virtuelles ; pour l'équilibre, les vitesses virtuelles de tous les points du système doivent donner une somme nulle; c'est-à-dire que les tendances à palpiter de toutes les énergies d'action doivent s'équilibrer. Présenté ainsi, ce principe est clair, et j'avoue que les longues démonstrations que l'on en donne me paraissent aussi amères que le fameux brouet de Sparte; c'est une longue sauce noire qui n'éclaircit rien, loin delà, et lorsque Lagrange cherchait à transformer les efforts au moyen de poulies de renvoi pour faire comprendre le jeu des forces, il ne donnait qu'une image de ce que j'ai cru suffisant à dire ; c'est la loi de Newton appliquée.

Au reste, en mathématiques surtout , il faut sentir qu'une chose est vraie indépendamment de toute démonstration ; il faut que l'esprit pressé parle tableau des vérités connues constate en lui-même l'existence forcée d'un autre point brillant; la démonstration, donnant plus de rigueur, plus de netteté , mettant en garde contre les faux aperçus vient après, et même , je voudrais être original en te l'affirmant , cette couture de mots échelonnés que l'on appelle raisonnement me paraît souvent superflu ; je lui préfère le sens droit et vrai.

S'il y a mouvement, il y aura une puissance d'action pour le mouvement de translation , une autre pour le mouvement giratoire, et deux efforts opposés, identiques, amèneraient l'équilibre , ce qui permet de les préciser tous deux ; c'est toujours la loi de Newton, et cette déduction porte le nom de principe de d'Alembert , eu égard au puissant esprit qui

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le premier Ta comprise et utilisée. Ces conditions de l'équilibre ou du mouvement seront donc traduites par deux seules relations analytiques correspondantes aux deux unités mécaniques ; mais l'espace ne peut se formuler en nombres que par l'intermédiaire d'un système de coordonnées; alors la représentation numérique sera constituée par trois équations pour le mouvement de translation , trois équations pour le mouvement de rotation, en tout six.

Quelles sont les principales conclusions que l'on a pu tirer de ces hautes généralités? D'abord, un préambule qui constitue la troisième partie de la statique ; si l'on considère des efforts agissant 4ans des directions parallèles sur un système de points dont les positions relatives sont immuables , il «rrive que toutes les forces peuvent se remplacer par une composante unique appliquée à un point particulier auquel le cas utile de la force pesanteur a imposé le nom de centre de gravité. — Les questions de stabilité, le soulèvement des fardeaux, etc.. donnent un cachet pratique très important à la détermination précise de ce centre ; au point de vue calcul , elle n'offre que des difficultés de pure intégration, et dans les arts on se voit souvent obligé de recourir à des procédés spéciaux à chaque cas. — Encore un retour d'idée ; nous avons vu combien étaient compliqués les moyens d'effectuer la cubature des volumes, la quadrature des surfaces; cela provient de ce que les formules qui les expriment sont fonctions de grandeurs qui obstruent les équations; Guldin a eu l'heureuse pensée d'utiliser pour ces recherches le centre de gravité, et les théorèmes qu'il a donnés, outre leur véritable élégance, montrent surtout ce que peut un bon choix de variables. La pure géométrie tire des ressources de la pure mécanique. Les équations géné-

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raies du mouvement sont différentielles , et quelques intégrales générales ont pu être obtenues; ce sont autant de lois que nous allons passer en revue.

1 ° Conservation du mouvement du centre de gravité. Newton. — Si les forces agissant sur un système se font équilibre quand on les transporte en un même pointpar îa pensée , le mouvement du centre de gravité du système reste in variable. — Les forces passant par le centre de gravité d'un système ne changent que son mouvement personnel, le mouvement giratoire n'est pas altéré. La portée du premier énoncé qui rentre en quelque sorte dans la loi de Kepler est immense. Dans un système planétaire, les explosions, fractures, déchirements intérieurs, n'ont aucune action sur le déplacement du centre de gravité ; si les étoiles sont sans action sur notre monde , il y a conservation du mouvement; cela a été indiqué par M. Comte, comme pouvant servir à vérifier la nullité d'action des étoiles.

2° ; Conservation du mouvement de rotation on

principe des aires. Kepier, ou Laplace, ou Poinsot. — Dans le cas général où un système n'est soumis qu'à des forces intérieures, le mouvement de rotation se conserve sans altération ; la somme des aires décrites est constante. — Des forces ne passant pas au centre de gravité d'un système changent à la fois la translation et la rotation. Le premier énoncé convient encore au système solaire, dans le cas où les étoiles n'agissent pas du dehors , et cela conduit à la détermination d'un plan immuable dans notre ciel; M. Poinsot, le premier, a proposé ce moyen pour vérifier la non action des étoiles.

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3° Conservation des forces vives. Huygens. — Si le

temps n f influe[pas sur les liaisons d'un système, que les forces soient assujéties à certaines conditions indiquées par le calcul et auxquelles satisfont les grandes puissances d'ici bas, la force vive du système reparaît identique dans les mêmes positions. Ce principe éclaire la théorie des chocs ; tout choc donne une perte de force vive ; vérité reconnue aussi pour les cas historiques bu révolutions ; elles sont désastreuses. — Il faut bien se prémunir contre l'application erronée de ce principe , d'autant plus que dans de nombreuses circonstances, même de chocs , les forces agissantes ne se trouvent pas toujours dans les conditions exigées par la liaison algébrique.

Un système étant donné, on étudie toujours ainsi : \ ° — Recherche du mouvement du centre de gravité. %° — Recherche du mouvement de rotation. — Ces deux choses sont complètement indépendantes et la seconde conduit à une section importante formant un chapitre à part, la théorie des moments d'inertie ; créée par Euler , elle mène a des calculs très compliqués, mais qui fournissent peut-être l'occasion la plus sérieuse de montrer cette influence des images géométriques destinées toujours à éclairer , à guider. Au reste y pour tout ce qui regarde la rotation , les vues si neuves de M. Poinsot ont aminci les difficultés à tel point qu'il a pu parler mécanique en français ; c'est peut-être le plus bel éloge à faire de lui ; il est encore le seul à bien connaître sa transcendante , et quoique entrée de suite dans le domaine classique , elle n'a rien donné par d'autres que par le grand maître de la science contemporaine.

En appliquant ces moyens au cas où un système contient

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soit un axe fixe , soit un point fixe , soit d'autres conditions restrictives, on obtient des résultats pratiques , pour l'hélice, la balistique, etc.. Je pourrais parler encore du principe de la moindre action , ou de M aupertuis ; à l'origine on admettait volontiers que la nature, en bonne ménagère, économisait ses forces et faisait tout le plus simplement possible ; ainsi du temps de Ptolémée, on disait : La circonférence est la courbe h plus parfaite, la Providence ayant toujours satisfait au plus haut degré de perfectionnes astres doivent décrire des circonférences; bien des gens, sous beaucoup de rapports, raisonnent encore ainsi, et c'est une légère garantie de vérité. Pour nous ce principe signifiera que la quantité qui exprime la grandeur de l'action satisfait en général aux conditions d'analyse traduites par le mot minimum.

Si Ton veut essayer ses forces sur le mouvement et l'équilibre des masses fluides, on a une partie de la science tellement abstruse , que malgré de grands efforts on ne sait presque rien ; ces questions sont d'ordre physique , et la mécanique générale aura toujours envers elles bien peu de puissance. — Pour les questions d'équilibre, on a le principe des surfaces de niveau ; dans ce cas la surface est en tous ses points normale aux forces qui la sollicitent. Sur terre cela donne l'équilibre dans les vases communiquants , et l'horizontalité des eaux d'un petit espace. — Pour les questions de mouvement , la pratique est réduite a utiliser des formules empiriques, et trop insuffisantes; elles s'établissent en partant d'hypothèses que les faits ne justifient point. Je ne puis qu'émettre le fameux principe de Bernouilli sur la co-existence des petites oscillations ; les ondes formées sur l'eau par deux pierres se croisent, se superposent sans se trou-

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folcr; les sons d'un orchestre se transmettent à-toute distance sans nuire à l'harmonie, etc.... Ce sera pour nous une déduction de la série générale de Taylor qui, pour de petites valeurs des variables , voit son accroissement total marqué parla somme des accroissements séparés; le rôle de chacun se joue à part. — Les travaux de Fresnel, de Lamé, etc.. sur la lumière sont les plus importants pour tout ce qui concerne la théorie élevée des fluides.

Encore un dernier mot; tout système non soumis à des efforts extérieurs ne contient que des mouvements périodiques, c'est-à-dire qui se reproduisent au bout d'un certain temps.

Voilà enfin terminé ce long réseau mécanique ; la mathématique est close ou à peu près ; faut-il donc , je m'adresse à ta franchise, une nature d'intelligence particulière pour percevoir ces vérités? Personne n'a jamais dit : Je sms nul t je manque de facultés, et bien souvent on entend répéter : Je ri ai jamais rien pu comprendre aux mathématiques t Cela avec un ton de laisser aller qui semble ne pas donner à cette affirmation un droit d'infériorité ; je conçois que par la faute du professorat actuel, trop spécial, trop partitif, trop engagé dans les détails, cette étude puisse ne pas plaire, et même provoquer un ennui profond; mais dussê-je mériter ton blâme, je nie hautement, énergiquement , l'intelligence de tout homme qui n'a pas;m, après avoir voulu.

Au reste ce n'est que l'aspect général du temps et de l'espace; ces notions forment les limites de la grande cage où s'agite le lion humain; la mathématique s'applique à la prévision de quelques cas simples, et partout ailleurs, au

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milieu de ces complications croissantes , de ces variables sans nombre , de ces efforts multiples dont le réalisme extérieur ne peut être analysé quoique vaguement senti, chaque ordre scientifique se fera jour par des moyens d'investigation personnelle; mais partout, cette rigueur, cette nette* té de vue, cette précision du raisonnement qui n'est luimême qu'une expéuence , qu'une sorte d'analyse , instinct pratique créé par le sens mathématique , saura imprimer son cachet. Partout nous aurons à saisir des faits particuliers , à chercher en quelque sorte la courbe qui peut les contenir et qui servira pour déduire les états inobservables. Toujours interpoler; induction ou loi générale conclue de quelques états particuliers ; déduction ou autres états particuliers obtenus par la loi générale. C'est surtout pour l'induction que le rôle du chercheur de vérité devient dangereux et difficile ; ne pas donner sans raisons puissantes dans l'esprit de système qualifié sévèrement à bon droit, et qui consiste toujours dans l'ignorance des faits particuliers; c'est par là que le génie, le mérite, le talent se dévoilent» et les mathématiques font l'éducation de l'autre levier de recherche, de l'esprit de déduction.

Tout dans notre ensemble est basé sur ce fait que la quantité, longueur, angle, surface, volume, temps, impulsion, effort, fonction quelconque, peut toujours se remplacer par quelque chose de plus simple qui en diffère d'aussi peu que l'on veut; que dans la méthode infinitésimale, cette substitution , et c'est là son cachet, laisse au seul caprice le soin de disposer de l'erreur, tandis que dans les applications le progrès consiste à en diminuer la réelle et persistante influence ; un homme est supprimé de la terre , le poids de celle-ci n'est pas changé , ou si peu que

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Ton en sourit ; infiniment petit pratique ; rapport trop ténu, insaisissable, mais qui n'est pas arbitraire. Il n'y a de quantités égales que par une abstraction , une induction énorme ; en théorie, elles le seront pour une différence variant à notre gré; en pratique, quand les sens ne pourront témoigner de Terreur ; l'égalité est fictive comme toutes les lois ; c'est une abstraction qui sert de passage aux cas réels pour lesquels l'entité nombre entier ne subsiste pas. — Les vues théoriques négligent les influences secondaires, spéculent sur un milieu idéal; elles s'efforcent de rendre compte des conditions pratiques dans des limites plus ou moins resserrées, mais jamais sans erreur.

Il faut savoir les choses terrestres , s'harmoniser avec le monde objectif; le sens n'est bon, n'est droit que parce qu'il s'équilibre avec le vrai; il ne provient que de perceptions simultanées, instantanées, développées dans l'intellect par les réalités extérieures. Or les choses terrestres , bras d'acier obéissant à la volonté de l'homme , histoire ou lutte des passions et des choses, végétation ou flot montant de la sève, tout dépend du temps, de la force, de l'espace, du nombre.

Celui qui reprendra l'histoire, la philosophie ancienne, avec une saine appréciation de l'atmosphère de faits qui nous enlacent, celui-là saura faire surgir des aperçus utiles, puissants, moins vides quoiqu'aussi sonores que les productions métaphysiques; la faiblesse des historiens, c'est leur ignorance des lois inorganiques-

Il faut m'arrêter ; j'ai dû pour aujourd'hui combler la mesure de ton amitié. Si tu voulais te reporter à ma première

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lettre , tu verrais qu'elle contient en germe toutes les suivantes , et le difficile, dans les minces développements que j'ai offerts à ta curiosité, consistait à choisir un petit nombre de sillons lumineux ; tentative presque impossible ; comme le coq, j'ai fouillé, j'ai emprunté partout; et si je n'ai pu jusqu'ici te défendre de l'ennui, daigne au moins me savoir un gré sincère de cet essai plus périlleux que celui d'Icare.

À quel dieu dédierons-nous? quel mythe payen saura nous représenter cette immense trilogie? sera-ce la triple unité indienne, Bhrama , Wishnou, Shiva? Sera-ce Isis? Non Isis, c'est tout, et la science mourra inachevée, longue asymptote des sociétés humaines. Pour te plaire, je choisirai Neptune au mobile élément. Son quos ego! saura fléchir mon adversaire , et d'ailleurs qui l'ignore?

Le trident de Neptune est le sceptre du monde. Indulgence et amitié.

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V e LETTRE