CHAPITRE IV

Nous venons de décrire le procédé dialectique , ou l'induction, dans son application à la nature inanimée , et nous avons montré que cette application a été la création de la science.

Mais c'est surtout en mathématiques que ce grand procédé se montre dans toute sa précision , et avec tous ses caractères.

Essayons donc de faire connaître le procédé mathématique infinitésimal , et de montrer qu'il n'est que le procédé même par lequel la métaphysique démontre l'existence de Dieu.

Comme ce que nous avons à dire est précis; comme il ne s'agit point ici d'une vague analogie

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entre ces deux méthodes , mais d'une entière identité; comme le calcul infinitésimal n'est autre chose que l'application aux mathématiques du procédé dialectique général, il s'ensuit qu'il doit être facile de montrer cette identité. Aussi , ne demandonsnous que deux pages poiu- l'expliquer aux mathématiciens. Nous l'exposerons avec détail pour les autres lecteurs.

Parlons d'ahord aux mathématiciens.

Comme on pourrait craindre ici l'esprit de système, et soupçonner que, pour mieux étahlir l'identité dont il s'agit, nous accommodons à nos fins la description du procédé philosophique , laissons parler un auteur évidemment désintéressé, que cite Dutens à propos de ce mot de Leibniz : « les perce fections de Dieu sontcelles de nos âmes, moins les « limites. — Voici, dit cet auteur, la méthode pour « s'élever à la connaissance des attributs de Dieu. « Je considère dans l'homme les images des attri- « buts divins : je distingue dans les attributs huée mains ce qui s'y trouve de réel , et ce qui tient de ee la limite. Par exemple, dans l'idée que le sensinee time me donne de mon intelligence, je distingue ee la réalité positive de cette faculté , et sa limitation . « Je supprime cette limite, que remplace aussitôt ee l'idée d'infinité. J'élève ainsi les idées des attri-

(( buts humains, et je les place en Dieu. L'essentiel, (( dans ce procédé , est de bien distinguer ce qui, « quoique limité en nous, est en soi-même conce- (( vable comme illimité. » En résumé, j'aperçois dans le fini quelque qualité positive, mais limitée. Je distingue cette qualité de cette limite. Par la pensée j'efface cette limite. Il reste cette même qualité considérée comme infinie. — Je demande si ce n'est pas là le procédé même qui est la base du calcul infinitésimal?

En effet, pour connaître le rapport infinitésimal ^, on considère le rapport des différences finies ^. On trouve que ce dernier rapport égale f X -h XA.2:, X étant une fonction de x et de t^x. Cette expression est composée de deux parties, l'une /'.r, qui ne varie pas, quel que soit A^, même si Ax s'annulle, et l'autre X A .r, qui diminue avec A^r, et qui s'évanouit lorsque A.r s'annulle.

Mais quand t^x s'annulle, le rapport ^ n'est plus un rapport de différences finies, c'est au contraire le rapport infinitésimal ^ que l'on cherche à connaître. On pose donc que Ax est nul. Dès lors, le second terme du rapport /'x+X A .r est nul aussi. Il ne reste que le premier terme f'x ^ qui est précisément le rapport infinitésimal cherché.

Voilà le principe et le fond du calcul infinitésimal.

Or, où est la différence entre ce procédé matiiénui tique et le procédé philosophique que nous avons décrit? De part et d'autre, pour connaître l'infini, on considère le fini correspondant. De part et d'autre, on trouve dans le fini deux éléments , un élément invariable et un élément variable. Ce dernier caractérise le fini. Il s'anéantit dès qu'on sort du fini , et l'on sort du fini , par la pensée , dès qu'on le suppose anéanti. On l'efface donc, et on affirme que ce qui reste est vrai dans l'infini.

On le voit, c'est un seul et même procédé dans les deux cas.

Essayons maintenant de mettre cette explication à la portée de tout lecteur. Nous avons l'ambition de rendre intelligible à tous les esprits cultivés l'idée du calcul infinitésimal. Nous ne pouvons penser qu'il soit réellement impossible de rendre clair ce grand arcane de la science moderne, et nous entreprenons d'y réussir. Mais, pour cela, nous demandons de nos lecteurs plus qu'une lecture ; nous

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demaiidoDS une étude attentive de deux heures sur les quelques pages qui vont suivre. Deux heures, pour comprendre le point le plus fécond et le plus important de la Logique et des mathématiques, ce n'est pas trop. Commençons par quelques préliminaires historiques qu'il suffira de lire attentivement , et dont il n'est même pas nécessaire de comprendre tous les détails. Nous avertirons le lecteur quand nous arriverons aux paragraphes qui doivent être étudiés.

Kepler, qui a si heureusement appliqué l'induction véritahle à la science du monde visihle, Kepler, près d'un siècle avant Leihniz, commençait à appliquer le principe inhnitésimal à la géométrie. « Kepler le premier, dit Montucla , osa introduire ce en géométrie, dans le langage scientifique ordicc naire , le nom et l'idée de l'infini. Il affh'me que « les formes géométriques sont , en toute rigueur, K composées d'une infinité d'éléments infiniment c( petits ; qu'un cercle est composé d'une infinité a de triangles infiniiiient petits ayant leurs som- (c mets au centre , et dont les bases infiniment pe- (c tites sont les éléments de la circonférence ; que c( la sphère est conq^osée d'une infinité de pyra- « mides analogues aux triangles du cercle ; le cône « et le cylindre d'une infinité de pyramides ou de

« prismes, et ainsi des autres figures géométriques, (c et par cette uotion , Kepler démontrait d'une « manière directe et très-claire les vérités qui exi- « geaient, chez les anciens, des détours si singuliers « et si difficiles à suivre. »

C'est cette méthode facile , directe et simple, surtout depuis Leibniz , que de nos jours un célèbre mathématicien appelait V unique méthode générale cC investigation et de démonstration en mathématiques , et que , par l'influence de cet illustre maître , l'Université avait essayé de rendre obligatoire dans l'enseignement. Mais ce progrès , que tant de bons esprits ont réclamé, n'est pas encore obtenu, dans la pratique. On s'attache, peut-être par une sainte horreur de V infini, comme s'exprimait Fontenelle, à la considération du fini tout seul ; on travaille lourdement, pour marcher plus ou moins sur les traces de Lagrange, à se passer de l'idée de l'infini, et par là l'enseignement des mathématiques élémentaires est privé de la vie, de la lumière, et de la rapidité qu'on lui pourrait donner '.

* Le lecteur est prié de ne pas croire que nous voulions ici , de notre autorité philosophique privée, nous mettre à gourmander les géomètres, comme le fait Hegel dans ses digressions mathématiques. De ce que nous avons eu Thonneur de passer par l'École polytechnique, il ne s'ensuit pas que nous nous regardions comme un

Le XVII*' siècle , qui avait une foi vive à l'infini , a , pour ainsi dire, créé les mathématiques , et, par elles, l'ensemble des sciences modernes, en y introduisant l'idée de Tinfini. (( On sait, ditFontenelle, « que la découverte de Leibniz porte nos con- (c naissances jusque dans l'infini, et presque au « delà des bornes de l'esprit humain , du moins « infiniment au delà de celles où était renfeirmée « l'ancienne géométrie. C'est une science toute nou- (( velle, née de nos jours, très-étendue, très-subtile, « très-sûre. Les solutions les plus élevées , les plus « hardies , les plus inespérées naissent sous les pas « de ceux qui la pratiquent. »

Nous l'avons déjà dit, ce sont les saints et les

grand mathématicien. Notre prétention va tout au plus à Tespoir de comprendre, avec de l'attention et du travail , ce que nous enseignent les maîtres. Mais lorsque nos maîtres à nous , maîtres illustres entre tous , nous ont , dans notre jeunesse , enseigné une doctrine; lorsque beaucoup d'excellents esprits la partagent i)leinement ; lorsqu'elle est celle des inventeurs , Kepler et Leibniz ; lorsqu'elle a été partagée pendant au moins un quart de siècle par toute l'Académie des sciences, et par l'Europe entière; enfin lorsqu'il s'agit uniquement du côté métaphysique de la science , il est clair qu'en présence de ce partage d'opinion parmi les maîtres , nous avons lo droit, comme tout auditeur attentif, de nous ranger à un parti, surtout si nous avons l'espoir de contribuer peut-être à conciher les deux partis.

théologiens de la fin du xvi*' siècle et du commencement du xvif , c'est la grande philosophie , pleine de l'idée de Dieu et de l'inhni , sortie, à son insu , de la sainte impulsion des contemplatifs, c'est cette théologie et cette philosophie qui ont surtout préparé la voie à Leihniz, et lui ont presque donné la méthode qu'il n'a eu qu'à traduire en langue mathématique.

Leihniz lui-même emploie^ en parlant de sa découverte, une comparaison toute théologique, lorsqu'il dit (i 2 1 et 122 de la ThéocUcée ^ p. 385): fc S'il est vrai que nous ne soyons rien au prix de « l'infinité de Dieu , c'est justement le privilège de « son inhnie sagesse, qu'il peut très-parfaitement « prendre soin de l'infiniment petit. Et encore qu'il ce n'y ait aucune proportion assignable entre les a petites choses et son inhnie grandeur, elles garce dent entre elles l'ordre , et servent au plaiè que ce Dieu leur a marqué. Et les géomètres imitent ce presque Dieu en cela par l'analyse infinitésimale, ce tirant de la comparaison des infiniment petits ce et des grandeurs inassignables des vérités plus ce grandes et plus utiles qu'on ne le croirait au ce calcul des grandeurs assignables. »

Quoi qu'il en soit de cette filiation , nous avons, en tout cas, montré, dans notre traité i^e la Cou-

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naissance de Dieu , que la droite voie de Li prière, telle qu'elle a été définie par TÉglise, contre les faux mystiques, que le procédé métaphysique qui démontre l'existence de Dieu , et le procédé infinitésimal de Leibniz semblent calqués l'un sur l'autre.

Le procédé géométrique consiste véritablement dans un passage du fini à l'infini, fondé aussi sur ce principe que ce qui est dans le fini se trouve dans l'infuii , moins les limites.

Quel est le but de l'analyse géométrique? C'est de connaître l'essence des formes, leur nature, leur caractère. Qu'est-ce qu'une forme géométrique? Une forme géométrique, ^ — je parle d'une forme absolue, continue , rigoureusement mathématique , — c'est d'abord une idée dans notre esprit. Chacun sait qu'il n'existe dans la nature aucune forme mathématique absolue, aucune ligne droite, aucun cercle, aucune figure parfaite et continue. Dans la nature, les lignes et surfaces des cristaux, par exemple, ne sont ni absolument droites, ni absolument planes, ni surtout continues, mais formées de points espacés , en nombre fini , approximativement rangés en surfaces planes et en lignes droites. Rien donc, sans aucune exception , ne saurait être ni absolu, ni |)arfait, ni continu dans la nature, car absolu [)aj(ait

ef continu sont des synonymes d'infini. En effet, n. 1

si une courbe d'une longueur finie est vraiment continue , il s'ensuit qu'elle renferme un nombre actuellemeut infini de points. Or l'infini , le parfait, l'absolu , n'existent qu'en Dieu. Un cercle parfont et continu est donc , non une réalité naturelle , mais une idée, idée abstraite pour notre esprit, mais qui a sa réalité en Dieu et en Dieu seul , en qui seul est tout ce qui est parfait et absolu. Et , pour nous, ces idées des figures parfaites et absolues sont, comme le reconnaissent tous les tliéologiens et tous les pliilosoplies (je ne ])arle jamais des sopbistes), ces idées ne peuvent être qu'une certaine connaissance de Dieu , une certaine vue de Dieu , non pas directe et immédiate, connue le croyait Malebranche, mais indirecte et médiate : vue de Dieu, toutefois , qui , toute médiate et indirecte qu'elle est, ne saurait avoir lieu, si Dieu ne la produisait en nous, s'il n'en était la cause première, si les réalités correspondantes n'existaient pas en Dieu. Et c'est pourquoi Kepler, après Platon, saint Augustin et tous les pliilosoplies cbrétiens, disait : « La géoce métrie est éternelle en Dieu. » {Geometrla ante rej'iun ortwn menti dîvinœ plaîie coceterna.)

Ces idées absolues, ces figures parfaites, dont l'objet réel n'est qu'en Dieu , qu'on ne peut Toir qu'en Dieu ; ces idées qui portent sur toutes les

faces et sous tous les points de vue le caractère (le l'infini, voilà ce qu'il s'agit d'analyser. Et, en effet, Leibniz nomme son calcul : Analyse des infinis i^Analjsis infinit07'uin)\ analyse qui était un chapitre de son ouvrage si attendu , dont Malebranche réclamait si instamment l'apparition , et dont nous n'avons que le titre : De Scientia Infiniti. Mais comment peut-on analyser Tinfini ? Comment entrer par la pensée dans la nature intime de ces formes parfaites , qui, si elles sont parfaites et absolument continues, renferment à la fois , de toute nécessité, et Finfîniment simple et Finfuiiment grand, c'est-à-dire une infuiité d'éléments infiniment petits, ne constituant qu'une seule forme, en d'autres termes, une seule idée ?

Gomment atteindre cet élément simple , qui est l'unité , la loi , le caractère de cette forme ou de cette idée , en qui se trouve toute la nature et toute la loi de la forme donnée ?

Que peut être la loi d'une forme , d'une courbe déterminée ? Rien autre chose assurément que sa loi de génération. J'entends par là , précisément et simplement, la loi suivant laquelle un point succède à l'antre ; en d'autres termes , le rapport de deux points contigus, rapport toujours le même entre tous les points contigus de la courbe , et qui fait