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justement runité, le caractère, la loi, ou l'élément de la courbe donnée.

Mais il semble que la difficulté augmente par ce que nous disons. Comment, en effet , analyser un élément, une loi qui n'est que le rapport de deux points contigus ? Qu'est-ce que deux points géométriques contigus? Sont-ils distincts dans l'espace et séparés par un intervalle fini, quel qu'il soit? Non, puisqu'alors ils ne seraient pas contigus. Ils ne le seraient pas, car, entre deux^, il y aurait, tout au contraire , une infinité de points — l'intervalle , quel qu'il soit, qui les sépare, étant toujours divisible à l'infini. Entre deux points contigus d'une courbe idéale et parfaite, il n'y a donc pas d'intervalle. Donc les deux points coïncident dans l'espace.

C'est ce rapport et cette distinction idéale , non réalisable par l'espace , ce rapport de deux points contigus qui sont inséparables et indivisibles, c'est là ce qu'il faut analyser. Et c'est pourquoi Leibniz appelle encore son procédé, analyse des indivisibles {^aiialjsis i/idàûsiblliw?i) , en même temps qu'analyse des infinis {cinaljsis injiiiltorunî).

Mais comment la géométrie, comment la raison peut-elle atleindre le rapport de deux points qui coïncident, ce ([lîi revient à demander encore une

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fois comineiit analyser le coiitiîui, l'indivisible et linfnn?

Voici comment Leibniz procède. C'est par l'analyse du fini, du divisible et du continu. Il analyse le fini , le divisible et le continu, qui correspond , comme signe , à l'infini qu'il veut analyser. Connue quand l'observateur, en pbysique, opère sur des phénomènes détachés, discontinus, en nombre fini , afin de trouver la loi qui, si elle est loi , est continue ; de même Leibniz opère d'abord sur le discontinu , le divisible et le fini. Puis, quand il a trouvé les propriétés du fini , du divisible , du discontinu, il cherche la propriété correspondante que suppose dans l'infini cette propriété du fini.

Il passe du fini à l'infini en vertu de ce principe, ou , si Ton veut , de cet acte de foi : l'infini lesseiyble au fini, sauf soiî caractère d'infuii ; principe ou acte de foi qu'en théodicée il exprime ainsi : « Les perfections de Dieu sont celles de nos âmes, « moins la limite. ): Cet acte de foi , c'est le ressort; voici le procédé : « Pour passer du fini à l'infini , il suffit d'anéantir, dans toutes les propriétés du fini , ce qui constitue le caractère même du fini ; ce qui reste est vrai dans l'infini. »

C'est cette hypothèse, ce principe, ou, si l'on veut, cet acte de foi qui, en géométrie, se vérifie ton-

jours. Ce procédé, dont , selon quelques-uns, on ne peut démontrer la légitimité, pas plus que celle des deux degrés d'induction dont parle Royer-Collard, ce procédé, selon tous, se vérifie toujours en géométrie par ses applications : il résout des questions que tout autre procédé est impuissant à résoudre ; il résout, avec une merveilleuse facilité, ce que tout autre procédé résout péniblement et lentement.

C'est lui enfin qui , comme le dit Fontenelle , transforme la géométrie et en fait une science toute nouvelle, infiniment supérieure en puissance à l'tuicienne géométrie.

C'est ainsi que Leibniz entendait le calcul infinitésimal, lorsqu'il écrivait à Varignon ' : « Si quel- « qu'un n'admet point les lignes infinies et infinice ment petites à la rigueur métaphysique et comme (( des choses réelles , il peut s'en servir sûrement « comme de notions idéales. On peut dire que les « infinis et infiniment petits sont tellement fondés « que tout se fait dans la géométrie , et même dans « la nature, comme si c'étaient de parfaites réa- (t lités ; témoin non-seulement notre analyse géo- « métrique des transcendantes, mais encore ma loi « de la continuité, en vertu de laquelle il est per-

* Œuvres, t. m, p. 370.

L'INDUCTION APJ»LIQUEE PAR LEIBNIZ. 103

(c mis de considérer le repos comme un mouvement « infiuimeiît petit, et la coïncidence comme une disi< tance infiniment petite , loi dont je remarquai de- « puis cpie toute la force n'avait pas été assez concc sidérée.

« Cependant on peut dire, en général , que toute <c la continuité est une chose idéale, et qu'il n'y a (c jamais rien dans la nature qui ait des parties (c parfaitement iniiformes (continues); mais, en (C récompense , le réel ne laisse pas de se gouverner « parfaitement par l'idéal et l'abstrait ; et il se « trouve que les règles du fini l'éussissent dans « l'infini, et que, vice versa, les règles de l'infini « réussissent dans le fini, comme s'il y avait des

« infiniment petits métaphysiques c'est parce

(C que tout se gouverne par la raison , et qu'autrecc ment il n'y aurait point de science ni de règles , « ce qui ne serait point conforme avec la nature « du principe souverain . »

Poursuivons donc. Nous disons que pour connaître l'essence des formes mathématiques , ou , si Ton veut , l'essence des lois de la nature , c'est-àdire pour analyser le continu , l'indivisible , l'infini, le procédé infinitésimal analyse d'abord le discontinu, le divisible, le fini. Puis , par un procédé d'élimination , qui chasse , qui anéantit tout

ce qui tient du fini dans le résultat obtenu, il modifie ce résultat , et enfui il affirme que ce résultat ainsi modifié est vrai pour le continu , l'indivisible et l'infini. Ce qui revient aux deux principes de saint Thomas d'Aquin , par lesquels, dit-il, on peut s'élever à la connaissance de Dieu , à partir de la nature et du créé, double principe que voici : (c Pour connaître Dieu, il faut user d'un procédé (c d'élimination. — Tout ce quil y a , en toute créa- « ture, de peifection , de bontés d'être, est en « Dieu infiniment. »

Venons au fait et à l'application. Ce qui précède ne demandait qu'à être lu attentivement. Ici commence l'étude que nous nous permettons de demander à nos lecteurs.

Il s'agit d'une ligne géométrique définie. I^a définition d'une ligne ou courbe quelconque se donne par son équation. Une équation est une véritable proposition, un énoncé qui exprime et formule, en langue algébrique , le genre et le caractère de la courbe. Les é(j nations définissent les courbes, en fais.mt connaître les distances de tout point de

L'JNDUGÏION APrUQUJ^.E PAR LEIB.MZ. 105

la courlje à deux lignes fixes , nommées les axes. On appelle j- la distance du point à la ligne AB (voir la figure ci-dessous), et x la distance à ligne AC. Ces deux distances, on le comprend immédiatement, font connaître la position de ce point. Or, la position de tous les points de la courbe est ainsi donnée par l'équation.

En effet , soit, par exemple , la courbe dont la définition, — qu'on veuille bien ne pas s'effrayer, — est donnée par l'équation

J=ZX\

ce qui se prononce jr égale x deux, et veut dire que, pour tout point de la courbe donnée , la distance à la ligne AB, distance qu'on nomme >•, est le carré de la distance à la ligne AC, ou de la distance x : ce (pii veut dire encore, — puisque le carré d'un nombre est ce nombre multiplié par lui-même , — que, si la distance x d'un point de la courbe est 2 , la distance j sera 4 ; que si , pour ini autre point , la distance x est 3 , la distance/ sera 9; si la distance X est 4 7 ^^ distance >• sera i(3 ; et ainsi de suite.

On va voir que cette définition suffit pour faire connaître la courbe et la tracer. Tout lecteur, muni d'un double décimètre , ])eut la tracer lui-même.

Prenez pour unité le demi-centinètre. Tracez sur le papier les deux lignes rectangulaires AB, AC.

Divisez ces deux lignes en parties égales au demicentimètre que l'on a pris pour unité. Numérotez ces points de division, et par ces points menez des lignes horizontales et verticales, qui seront comme des degrés de longitude et de latitude, pour y rapporter les différents points de la courbe.

ys

JfL

fil.

Cela posé , essayez de déterminer un premier point, celui, par exemple, dont la distauce x, —

distance à la ligne AC, — est égale à 2. Ce ]}oint évidemment se trouvera quelque part sur la seconde verticale. Mais à quelle hauteur ? L'équation l'indique; carj^'nir .2'- veut dire, nous l'avons vu, que , si la distance x est 2, la distance jk doit être le carré de 2 , c'est-à-dire 4- Donc le point cliercbé se trouvera sur la quatrième ligne horizontale. Ce sera donc le point /n.

Mais , de même, le point dont la distance .r est 3 se trouvera sur la 3"^ verticale et sur la 9" horizontale. Ce sera le point /?. Le point dont la distance X est 4 se trouvera sm^ la 4*^ verticale et sur la 16*^ horizontale. Ce sera le point o. Le point dont la distance x' est 5 se trouvera sur la j*" verticale et sur la 20^ horizontale. Ce sera le pointy.». Quant au point dont la distance x est i , comme sa distance jr doit être 1 multiplié par t, ce qui fait i^ il devra se trouver et sur la i"" verticale et sur la i'^'' horizontale. Ce sera le point i. Et le point dont la distance x est zéro , c'est-à-dire le point de la courbe qui se trouvera , s'il s'en trouve, sur la ligne AC elle-même, ce point aura aussi zéro pour distance j, puisque zéro midtiplié par zéro donne toujours zéro. Ce sera donc le point A lui-même, puisqu'il doit se trouver à la fois. à une distance nulle de ces deux lignes , c'est-à-dire sur les deux

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ensemble, c'est-à-dire sur le point A, oii elles se rencontrent. On déterminerait de même tons les autres points de la courbe.

Reliez maintenant tous ces points par un trait. La courbe prend figure. Il est inutile d'expliquer comment, de l'autre coté de la ligne AG, elle prendrait justement la même forme. Cette courbe se nomme la parabole.

On voit, d'ailleurs, que cette courbe est indéfinie dans ses deux brandies , car en donnant à x toutes les valeurs possibles dans la série indéfinie des nombres, il y aura toujours une valeur de y correspondante : car ce sera le nombre x multiplié par lui-même -, ce qui veut dire que le point en question sera toujours possible, toujours réel et déterminé.

On comprend qu'il n'en est pas de même de toutes les courbes et de toutes les équations. Car, par exemple , l'équation du cercle exprime qu'au delà d'unecertaine valeur de x il n'y a plus de valeur pourj^ et que, par conséquent , la courbe ne va pas au delà.

Quoiqu'il en soit, le lecteur doit avoir compris comment l'équation ou formule algébrique /^redéfinit sa courbe géométrique. Ceci n'est pas encore le calcul iiifinitésimal : c'est ce qu'on appelle

l'application de l'algèbre à la géométrie; découverte admirable, due à Descartes. Mais voici ce que Leibniz y ajoute : et c'est à quoi nous en voulions venir.

Étant donnée une courbe quelconque, celle, par exemple, que nous venons de tracer, l'analyse infinitésimale prétend trouver la loi intime de sa génération, c'est-à-dire la loi de passage d'un point au point suivant, en d'autres termes, la relation de deux points continus , c'est-à-dire de deux points qui coïncident. Et pour cela , connue nous l'avons dit, elle étudie la position relative de deux points séparés par une distance finie quelconque, et elle y découvre ce qu'est la relation de deux points successifs que ne sépare aucune distance.

Soient deux points m et m' , dont les distances sont ,T et j- pour m, et x et / pour m. On veut connaître d'abord leur position relative, quand ils sont séparés, c'est-à-dire la longueur et la direction de la ligne m in qui les joinl. La longueur , il est vrai , n'importe point ici, puisque bientôt on va

la supposer nulle ; il s'agit donc seulement de la direction.

Or, il est facile de connaître la direction de la ligne mnï ^ car la géométrie nous apprend que, dans^ un triangle nïnip , tel que celui-ci, on connaît l'angle en in^ qui est la direction cherchée de la ligne iimï , si l'on connaît les deux cotés du triangle inp çXnïp. Cet angle est mesuré par le rapport des deux cotés, c'est-à-dire qu'd égale mp divisé par mp. C'est un théorème géométrique que le lecteur admettra comme un fait.

Mais par la définition de la courbe, c'est-à-dire par son équation, nous connaissons les deux cotés cherchés nip et iiïp ; car mp est évidemment la distance ^' moins la distancer, ce que l'algèbre exprime ainsi 77ipz=x' — x (^nip égale x prime moins X, ) De même mp c'est y' —j, et l'algèbre dit : j/ip ~y — j' (m'p é^iûe )p/i/nc moins j.) Or, la géométrie nous dit que l'angle cherché égale /n'p divisé

i;iNDUCTION APPLIQUKE PAR LEIBNIZ. 111

par mp , ou , ce qui est même chose , > ' — -y divisé par .2.' — .r, ce que l'algèbre écrit ainsi :

L'augle = ^^ (L'angle égale jr prime moins ; , divisé par x prime moins x. La barre horizontale signifie divisé par. )

Mais cet angle est ainsi exprimé d'une manière générale pour toute espèce de courbe. Quel est-il en particulier pour la courbe que représente l'équation J=:X'' ?

Un calcul algébrique très-simple ^ montre que l'angle qui en général est 77—- se trouve représenté, pour uotre courbe, par la quantité ix-\'d^ en appelant cl la différence x — .r .

Ainsi ix-\-d est la valeur de l'angle cherché.

* Pour mieux parler aux yeux, désignons par la lettre d, initiale du mot différence , la différence x' — x , c'est-à-dire la ligne wp. Cela voudra dire évidemment que x' égale x + (/.

Or, puisque pour t-out point de la courbe il est vrai que ?/ éi;;ale x élevé au carré , il s'ensuit que i/' égalera x' élevé au carré , c'est-à-dire égalera x + d élevé au carré, ou x ■\- d multiplié par lui-mémo.

Par la règle de la multiplication algébrique , que le lecteur admettra comme un fait, on trouve que a? + d multiplié par lui-même, c'est x--{-1xd-\- (/-. C'est la valeur de ij et on devra écrire : 7/' z=:.x-^ Ix d -\- d-. Mais alors que vaudra y' — ?/ ? Il suffira évidemment de retrancher x~ de x- + ixd + d-, ce qui donnera

zxd + ci-. Des lors —, — ~ sera ; ou 2x + d.

Cette quantité fait donc connaître la direction relative des deux points m et /;^', puisqu'elle donne l'angle que fait avec l'horizon AB la ligne qui les joint.

Comprenons bien où nous en sommes. Nous voulons connaître la direction relative de deux points m et ni séparés par une distance finie, afin d'arriver à connaître la relation de deux points que ne sépare aucune distance , ou une distance infiniment petite, comme l'exprimait Leibniz.

Or, nous touchons au but , car il nous suffit maintenant de considérer avec attention ce que veut dire la quantité :ix-\-(l.

Cette quantité se compose de deux parties : l'une IX ne varie évidemment pas quand le point uï se rapproche du point m^ puisque //^ restant en place, sa distance a' demeure la même , ainsi que ix. Par conséquent, l'autre partie d^ qui égale x' — x, diminue manifestement dans ce cas ; car x diminue, et la différence x — x ou cl diminue nécessairement alors. Donc le rapport ou la position relative de deux points séparés par une distance finie s'exprime par deux termes , l'un qui ne varie pas , quand l'un des points se rapproche, quel que soit le rapprochement; l'autre qui diminue alors, et qui de plus s'anéantit ligoureusement lorsqu'ils

viennent à coïncider. Donc, pour avoir le rapport de deux points lorsqu'ils coïncident, il suffit de connaître ce rapport tel qu'il est lorsque les points sont séparés , et d'effacer dans ce rapport ce qui caractérise la distance finie. Ce qui reste est vrai lorsqu'il n'y a plus de distance , ou que les points sont infiniment rapprochés , comme s'exprime Leibniz. Or, nous l'avons vu, ce rapport 2x-^cl représente l'angle que fait la ligne qui joint les deux points m et m! '^ en d'autres termes , cette quantité exprime ou détermine la direction de la ligne droite indéfinie qui passe par les deux points. Quand les deux points sont séparés, cette ligne indéfinie ninï a la direction que présente la figure , et une partie finie d'elle-même est comprise entre les deux points. Lorsque les deux points se rapprochent, cette ligne tourne sur le point jn et se rapproche de la direction mo. Lorsque les deux points coïncident, la partie de la ligne comprise entre les deux points est rigoureusement nulle ; mais cependant la ligne demeure déterminée par ces deux points, distincts dans l'idée , quoique confondus dans l'espace. Elle a précisément la direction jno que détermine la quantité 2Jt', valeur de l'angle om.

On a donc analysé le fini pour connaître l'infini-