CHAPITRE V

De tout ce qui précède découlent d'importantes et nombreuses conséquences. lien résidte d'abord que la raison n'a pas seulement un procédé ; elle en a deux également rigoureux , quoique le second soit plus fécond et plus puissant. Le procédé syllogistique déduit du même au même. Il ne sort pas de son point de départ , il ne s'élève jamais plus haut que ce point de départ. Il développe ce qu'on avait. L'autre procédé, le procédé dialectique, passe et s'élance du même au différent, et il s'élève plus haut que son point de départ; il ne développe pas seulement, il acquiert.

Ce procédé est celui qui, à la vue du monde et de l'âme, pris comme point de départ, non comme principes de déduction , démontre l'existence de Dieu , infiniment élevé au-dessus de ces points de départ. Ce procédé ne s'élève pas seulement du même au différent , mais du fini à l'infini. C'est au fond tout le procédé de la poésie , qui cherche en tout le beau sans tache et le bien sans limite. C'est tout le procédé du cœur et de l'imagination. C'est le procédé de la prière , et cet acte fondamental de la vie raisonnable se trouve aussi le procédé le plus fécond de la géométrie. D'où il suit que toutes ces choses sont solidaires , et qu'il y a, comme le dit Leibniz, « de l'harmonie, de la géométrie, de la mé- « taphysique, de la morale partout. » D'où il suit que la poésie dans son essence est aussi vraie que la géométrie, et que la preuve métaphysique de l'existence de Dieu a une rigueur mathématique.

D'où il suit encore qu'il y a dans l'esprit humain un procédé universel et principal qui n'était pas assez connu, qui maintenant se trouve mis en lumière plus que par le passé, et qui, s'il est vulgairement introduit en Logique, comme nous en avons l'espérance, donnera des ailes à la Logique, qui n'avait que des pieds. Je ne parle toujours ici que de la Logique éléiuentaire et théorique. La Logique pra-

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTRIQUE. I2l

tique du peuple et la Logique pratique et théorique des philosophes du premier ordre a toujours eu des ailes. Mais la classe moyenne des penseurs, surtout depuis le xviif siècle, ne travaille qu'à couper ces ailes, et semblait y avoir réussi. Il faut qu'elle reconnaisse sa faute, ou, pour mieux dire, son crime.

De là résulte encore une autre conséquence , sur laquelle il nous parait bon d'insister amplement. La métaphysique du calcul infinitésimal , jusqu'à présent si difficile et si obscure, devient toute lumineuse.

Pourquoi beaucoup de géomètres disent-ils encore que la méthode de Leibniz, inventeur ducalcul infinitésimal, if est pas rigoureuse ? Ces géomètres parlent ainsi parce qu'ils supposent , ce c[ui est faux, que la raison n'a qu'un seul procédé rigoureux, le syllogisme. Et comme Leibniz emploie ici précisément l'autre procédé de la raison, on dit que sa marche n'est pas rigoureuse, par cela même qu'on ignorait l'existence de ce principal procédé de la raison. Et comme ce procédé est précisément celui de la Logique d'invention, il s'ensuit, comme le dit spirituellement l'homme de nos jours qui écrit le mieux la géométrie, qu'en acceptant les découvertes des inventeurs, souvent on rejette leurs démonstrations, « comme s'ils avaient mal inventé ce

« qu'ils ont si bien découvert' . » Sur quoi, un autre géomètre, qui unit la philosophie aux sciences, remarque fort à propos qu'on a certainement abusé de cette disposition au rigorisme ; que le procédé par lequel l'esprit saisit des vérités nouvelles est souvent très-distinct du procédé par lequel l'esprit rattache logiquement et démonstrativement les vérités les vmes aux autres, et que la plupart des vérités importantes ont été d'abord entrevues à l'aide « de ce sens philosophique qui devance la preuve « rigoureuse ". »

* M. Poinsot. Théorie nouvelle de la rotation des corps.

^ Cournot.jE'ssai sur les fondements denos connaissances, t. ii.,^.lQ.

Nous regrettons que l'auteur réserve ici la qualification de rigoureuse à la démonstration syllogistique. Car, du reste , il établit d'une manière surabondante que la raison n'a pas seulement un procédé, le syllogisme ou le développement du principe d'identité ou de contradiction, mais qu'il y a un autre procédé fondamental ; fondamental par sa nécessité et sa fécondité : que ce procédé doit être appelé l'induction. Jusqu'ici c'est ce que nous enseignons. Mais quel n'est pas notre regret de constater que l'auteur nomme cette induction, Vinduction philosophique probablejei qu'il ne s'est point décidé à considérer en face ce grand fait de l'esprit humain, afin de reconnaître que le procédé qui, plus que l'autre , mène l'esprit à la vérité, n'est pas moins raisonnable que l'autre, pas moins certain; et qu'il n'y a pas de raison pour attribuer plus longtemps au syllogisme seul l'imposante et l'austère épithète de rigoureux.

Et pourtant il est difficile d'être plus voisin de la vérité que ne

Quoi qu'il en soit , nous disons que la philosophie du calcul infinitésimal peut maintenant devenir lumineuse, et il n'y a pour cela qu'un mot à dire et qu'une seule vérité à comprendre. C'est que la méthode infinitésimale n'est autre chose , comme nous l'avons montré , que l'application aux mathématiques de l'un des deux procédés essentiels de la raison. C'est dire que cette méthode est véritablement rationnelle , certaine , rigoureuse ; et quant au résultat , puisque ce procédé de la raison consiste précisément à connaître l'infini par le fini , il faut admettre que l'analyse infinitésimale analyse en effet, comme le disait Leibniz, l'indivisible et l'infini \

l'est notre auteur dans ce passage remarquable : « C'est ainsi que « la preuve logique, qui résulte de l'enchaînement des propositions « du syllogisme, peut avoir pour condition préalable une induction « philosophique et pour fondement une probabilité , mais une pro- « habilité de l'ordre de celles qui forcent l'acquiescement de la « raison (*). »

* Connaître et analyser Tinfini n'est pas comprendre l'infini. L'infini est incompréhensible, comme Dieu lui-même. L'homme peut et doit connaître Dieu , et ne le peut comprendre. Nous ne comprendrons jamais l'infini, lors même que nous parviendrons à connaître plusieurs vérités claires sur la nature de l'infini , et sur ses rapports

(*) Essai sur les fondements de nos connaissances , t. ii, p. 82.

Mais qu'est-ce que l'infini , dira-t-on ? Qu'est-ce que cet élément infiniment petit? Est-ce une réalité ? Existe-t-il dans la nature ? Est-ce une quantité très-petite ? Est-ce quelque chose , ou n'est-ce rien ? Nous répondons , avec Ampère, avec Poisson , nos chers et illustres maîtres , que l'élément infinitésimal n'est pas une quantité très-petite ; ce n'est en auciuie sorte une quantité. Comme quantité, l'élément infinitésimal est absohunent nul.

H nous semble encore entendre M. Ampère, dans son cours de mécanique, s'écrier avec indignation : c( Non ! non ! ce n'est pas très-petit , c'est nid ; c'est « absolument nul ! ^) En effet, il n'y a pas là de quantité. Il y a ce que Leibniz appelle « les deux extré- « mités de la quantité , en dehors de la quantité , » enveloppant la quantité ; il y a l'infini en simplicité, l'infini en inmiensité. Mais si l'élément infinitésimal

au fini. C'est pourquoi le côté incompréhensible du calcul infinitésimal subsiste toujours comme tel , lors môme que l'on n'y voit comme nous que la simple et rigoureuse application de l'un des deux procédés de la raison.

n'est pas une quantité, qu'est-il? C'est une idée; une idée , dis-je, et c'est assez! Et si tout idéal est réel, c'est une réalité. Mais serait-ce une réalité qui existe dans la nature ? Je réponds non , si par nature on entend la nature créée. Je réponds oui, s'il s'agit de la nature incréée. Oui, à l'idée abstraite que nous avons de l'infuiiment grand et de l'infiniment petit correspond une réalité qui existe, dans la nature des choses, en Dieu, dans l'infini réel et actuel. L'idée que nous en avons, comme toute idée, est une certaine vue de Dieu , indirecte et médiate ; mais cette idée , quoique indirecte et médiate , prouve l'existence de son objet en Dieu. Cet objet, dont nous n'avons que le reflet en nous , ce sont les lois et les idées des formes géométriques , telles que ces idées et ces lois peuvent exister en Dieu ; en sorte que, comme tout ce qui fait naître en nous l'idée de l'infini, le calcul infinitésimal, considéré de ce point de vue , mène aussi , comme toute autre science poussée à bout, à la démonstration del'exi» stence de Dieu.

Mais l'admirable procédé ne s'applique pas seulement aux formes ; il s'applique aux mouvements ;

d'où il suit qu'il n'atteint pas seulement l'abstrait (car on pourrait regarder les lois des formes comme de pures abstractions); mais on voit que le procédé infinitésimal atteint encore le fond et le principe d'un phénomène concret, réel , actuel, savoir : le mouvement. Qu'est-ce que l'élément infinitésimal d'un mouvement quelconque? Que sont ces mouvements infiniment petits , qui ne se déplacent pas ; que sont-ils , sinon les principes du mouvement ? Or, ces principes immobiles du mouvement , ces principes d'étendue au-dessus de toute étendue, ces principes de durée au-dessus du temps et de la mesure, sont l'immensité même entrevue sous l'espace, l'éternité sous le temps son image créée, et la force infinie de Dieu sous les forces et sous les mouvements finis. La raison atteint donc ici le moteur immobile agissant par sa force sur la matière, qui, comme toute créature, se meut en lui.

L'élément infinitésimal n'existe pas dans la nature créée , parce que rien de créé n'est infini. Mais il existe en Dieu. Les principes immobiles du mouvement , qui produisent le mouvement sans sortir de l'immobilité , les principes simples et indivisibles de l'étendue , qui produisent l'étendue divisible, sans perdre la simplicité, ces principes éternels de temps , qui produisent la durée successive,

sans entrer dans la succession et sans quitter Téternité , ces principes sont les idées divines et créatrices, qui sont en Dieu et qui sont Dieu.

Et ici l'on comprend Torigine des deux points de vue entre lesquels les géomètres se partagent sur la lîotion des infiniment petits. Les uns soutiennent qu'il n'y a pas d'infiniment petits, les autres affirment que les infiniment petits existent dans la nature. Que si l'on voulait prendre en mauvaise part le premier point de vue, il impliquerait l'atiiéisme, et si l'on voulait prendre en mauvaise part le second, il impliquerait le panthéisme. Mais, en prenant en bonne part, comme il le faut, l'un et l'autre point de vue, voici la vérité qu'ils se partagent entre eux. Les infiniment petits, c'est-à-dire les principes simples, producteurs et supports du temps, de l'espace et du mouvement, n'existent pas dans la nature créée , mais ils existent dans l'incréé. Les raisonnements , très-forts de part et d'autre , par lesquels on soutient les deux thèses en apparence contraires , nous aident, si on les prend ensemble , à établir la notre. Ainsi, quand Leibniz dit que la matière n'est pas seulement divisible à l'infini, mais encore est actuellement divisée à l'infini , il avance une proposition manifestement fausse. Car il dit que l'infiniment petit existe dans la nature créée,

dans la matière. Il est facile de lui prouver qu'il est dupe d'une imagination , et qu'il confond la matière concrète avec l'étendue intelligible , seule divisible à l'infini par la pensée, et par la pensée seulement. Quand, d'un autre côté, on prétend que les infiniment petits n'existent pas et ne sont que des abstractions , il faut alors se demander pourquoi tout se passe dans le temps , l'espace et le mouvement, comme si ces principes existaient ? Pourquoi la connaissance qu'on en a prise a donné aux mathématiques une incalculable puissance ? On va plus loin. On demande, avec Fontenelle, avec Leibniz, avec tous les savants qui ont assisté au triomphe de la méthode infinitésimale , avec Poisson et d'autres, avec M. Cournot , pourquoi l'on regarderait la méthode infinitésimale comme n'étant qu'un artifice ingénieux , tandis qu'il est évident qu'elle est « l'expression naturelle du mode « de génération des grandeurs physiques qui crois- « sent par éléments plus petits que toute gran- « deur finie ^ . » On demande si le temps c[ui s'écoule entre deux points de la durée ne passe pas réellement par tous les points, tous les moments indivisibles , en nombre réellement infini , qui se-

* Cournot, t. i, p. 86.

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTUIQUE. 129

parent les deux temps différents; on demander si nn mobile qui parcourt un espace fini ne passe point réellement d'un point à l'autre en traversant d'une manière continue tout l'intervalle, et n'a pas occupé , en se mouvant , l'infinité actuelle et réelle de positions qui existent entre les points donnés.

« On est conduit à l'idée des infiniment petits, « dit M. Poisson , lorsqu'on considère les varia- « tions successives d'une grandeur soumise à la loi « de continuité. Ainsi , le temps croît par des degrés c( moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assic( gner, quelque petit qu'il soit. Les espaces parce courus par les différents points d'un corps croisée sent aussi par des infiniment petits , car chaque « point ne peut aller d'un point à un autre sans « traverser toutes les positions intermédiaires ; et « l'on ne saurait assigner aucune distance , aussi « petite que l'on voudra^, entre deux positions sucée cessives. Les infiniment petits ont donc une exisee tence réelle ; ils ne sont pas seulement un moyen ce d'investigation imaginé par les géomètres \ w

Voilà l'infiniment petit en action. Il n'y a pas à le nier, la durée est bien évidennnent divisil)le à l'infini , et l'espace aussi. Donc lui être concret qui

^ Poisson, Traite Je inécani(jU(\ t. i, p. I i, i^ édit. 11. y

avance dans le temps et l'espace traverse réellement l'infini. Donc , quand la terre , par exemple , a vécu encore une année, quand elle a parcouru son orbite une fois de plus, elle a manifestement traversé tous les moments indivisibles de l'année et tous les points de son immense ellipse en nombre réellement infini. Il n'y a pas là seulement un tem])s abstrait , ni une ellipse abstraite et idéale ; il y a là un temps réellement écoulé dans tous ses points indivisibles et continus ; il y a une ellipse d'une grandeur donnée, réellement et continûment parcourue par un être concret. Voilàdoud'infiniment petit réel et actuel , vivant et agissant, et comme rendu visible aux yeux.

Mais il semble que ce cpie l'on voit ici , comme de ses yeux, est impossible en soi. Comment la terre peut-elle , en un temps donné , occuper réellement un nombre infini de points? Ou bien elle ne met pas de temps pour passer d'un point à un autre, ou elle met à cela quelque temps. Si elle ne met pas de temps pour passer d'un point au suivant, il est clair qu'il ne lui faudra non plus aucun temps pour parcourir l'orbite entière. Si , au contraire, elle met un temps quelconque, quelque petit qu'il soit, à passer d'un point à l'autre , il est clair qu'elle ne pourra jamais parcourir toute son

orbite. Car pour traverser cette infinité de points , il faudrait un temps infini. Donc, pour tout mouvement il faudrait un temps infini, et le mouvement serait démontré impossi]3le. Et pourtant il y a du mouvement , car la terre marche et nous aussi. Je ne vois pas d'autre solution possible à cette difficulté que d'admettre, comme formule scientifique rigoureusement exacte , le mot de saint Paid ; lu Deo vivinius^ ino\>emur et siunus : « C'est en Dieu « que nous sommes , que nous vivons et que nous « nous mouvons, w Dieu seul est cause, principe^ support de l'être ; de même , lui seul est cause ^ principe, support de la vie et de la durée ; seul il est cause, principe, support du mouvement. Sans lui , ni l'être, ni le temps , ni l'espace, ni le mouvement ne peuvent être conçus ni exister. Lui , la force infinie, qui lance et porte notre terre, lui seul peut donner à cette masse inerte d'accomplir sa tâche impossible, d'achever sa course dans le temps qu'il lui donne , et d'en finir avec un nombre infini de points. Lui-même emporte la terre dans l'espace , comme lui-même fait traverser le temps à tous les êtres. Les êtres se meuvent comme cause seconde, mais Dieu les meut d'abord comme cause première du mouvement. Il faut, au fond du mouvement, sa vertu infinie, pour que le mouvement

soit possible ; et il faut, sous le temps, sa puissance infinie et son éternité , pour que le temps se développe, et pour que l'avenir, qui n'est pas, devienne !

Oui , c'est ainsi que s'opère le mouvement de notre globe , comme celui de tout corps qui se meut. Rien ne se meut qu'en Dieu. In Ipso movernur. H y ^^ , comme le dit admirablement l'école, la cause seconde et la cause première du mouvement. Dieu seul est cause première de tout, et agit comme cause première et principale en toute action , en tout mouvement des créatures.

Mais si la métaphysique du calcul infinitésimal mène à de telles considérations , et semble vouloir nous faire atteindre, par voie de conclusion certaine, l'immensité, l'éternité et la force infinie de Dieu , on comprend facilement l'horreur que l'idée des infiniment petits mathématiques doit inspirer à certains esprits. Fontenelle parle de cette sainte horreur de l'infini qui a tenu pendant vingt ans l'Académie des sciences en susj)ens sur la valeur des idées de Leibniz , et il remarque que Leibniz ,

SUR L'INDUCTION GÉOMÉTrxIQUE. 133

par respect humain , a dii souvent voiler le fond de sa pensée sur ce sujet. Sur quoi, le spirituel secrétaire de l'Académie des sciences s'écrie fort à propos : « S'il faut tempérer la vérité en géométrie , « que sera-ce en d'autres matières ? » Néanmoins la vérité a triomphé , et, pendant cinquante ans, non seulement la méthode, mais encore la philosophie leibnizienne a régné en Europe. Or, c'est là ce que la fin du x\uf siècle n'a pas pu supporter. Il y avait, dans cette métaphysique , une ouverture vers l'infini , et je ne sais quel mystère qui paraissait pouvoir impliquer Dieu. Il a fallu chasser de la science cette étrange et importune idée, et l'un de nos plus habiles géomètres s'est mis à l'œuvre pour en finir. Lagrange a écrit sa célèbre Théorie des Fonctions, dont le titre entier est digne de toute notre attention : (c Théorie des Fonctions analytiques , con- « tenant les principes du calcul différentiel (calcul « infinitésimal ) dégagés de toute considération « d'infiniment petits ou d'évanouissants, de lice mites ou de fluxions, et réduits à Vajialjse al- « gébrique des quantités finies. » Plus d'un disciple de Condillac a tressailli de joie à la lecture de ce titre. « Nous voilà donc, pensait-il, nous voilà délivrés de tout ce mysticisme géométrique, de ce mystère infinitésimal, de tout ce prétendu besoin

de l'infini. Voici tous ces sublimes arcanes réduits à l'analyse algébrique de^ quantités finies. )) Eh bien ! le disciple de Condillac s'est réjoui trop tôt ; il n'est débarrassé de rien. L'entreprise de Lagrange repose sur un fondement ruineux : tous les géomètres le savent. Sa méthode est abandonnée. Voici comment en parle l'écrivain que nous avons déjà cité plus haut : « Lagrange imagina de c( prendre la série de Taylor pour base de la théorie a des fonctions, et, par ce moyen , d'éluder, à ce « qu'il croyait , dans le passage de la discontinuité « à la continuité, l'emploi de toute notion auxi- « liaire de limites, de fluxion ou d'infiniment peic tits \

« Selon Lagrange , la théorie des fonctions se (c trouve ramenée à une simple application des rè- « gles du calcul algébrique ordinaire. On peut a consulter , pour le développement de cette idée (( fondamentale , les deux traités spéciaux que ce « grand géomètre y a consacrés, la théorie des (c fonctions analytiques et les leçons sur le calcul « des fonctions.

« Mais si ces deux ouvrages , à cause du nom

* Cournol, Traité élémentaire de la théorie des fonctions, t. i, p. 180.

(( imposant de leur auteur, ont été accueillis par « toute une génération déjeunes géomètres, comme « fixant les bases de l'enseignement , un examen « attentif a dû montrer cpi'il s'y trouve un de ces « parologysmes métaphysiques dans lesquels les « plus grands maîtres peuvent tomber , lorsque la (( nature de leur sujet les force à sortir de l'analyse c( et de la synthèse scientifiques, pour entrer dans (( la critique des idées qui sont les matériaux tc mêmes de la science.

« En effet , le développement en série n'a de sens (f que lorsqu'il mène à une série convergente , ou « mieux encore lorsqu'il est démontré que le reste « de la série tend sans cesse vers la limite zéro « quand le nombre des termes croît indéfiniment. « Toute induction tirée d'un développement en sé- « rie non convergente manque de solidité, et peut « conduire, comme les exemples le font voir, à (c des résultats fautifs. La méthode de Lagrange n'a « donc point l'avantage d'éliminer la notion des « limites ou toute autre équivalente. La nature des (c choses et les lois de l'entendement exigent ici « l'emploi de l'une de ces notions auxiliaires, dont « le simple développement , pai- T algèbre ^ du piina cipe d'Identité ne peut tenir la place.

«D'ailleurs, les raisonnements de Lagrange,

136 COiNSIDERATlOiNS

« outre qu'ils reposent sur un principe subtil et « sujet à controverse, ne peuvent, en tous cas, « s'appliquer qu'aux fonctions algébriques : tance dis que la théorie des fonctions , comme nous c( nous sommes attaché à le faire voir, doit essence tiellement comprendre les fonctions continues « quelconques , et former un corps de doctrine (( qui subsiste indépendamment des applications (( à l'algèbre. Le développement en série n'est « qu'un artifice de calcul , et ne peut convena- « blement servir à établir des lois et des rapports (c dont l'existence est indépendante de nos procé- « dés artificiels. » Ainsi, la théorie de Lagrange est sujette à controverse, erronée dans certains cas, et ne s'applique , d'ailleurs , qu'à une partie de la question.

Ailleurs , le même écrivain montre encore parfaitement comment la crainte des infiniment petits vient de ce que l'on croit (|ue la raison n'a qu'un seul procédé rigoureux, celui qui s'appuie sur le principe cV identité. On ignore la puissance et la solidité de l'autre procédé, et malgré cela la nature des choses et le besoin de la science ramènent toujours à la méthode infinitésimale. Même la méthode des limites, que repoussait Lagrange , et qui est un intermédiaire entre l'algèbre pure calculant le fini, et

les infiniment petits directement considérés, même cette méthode ne peut être heureusement substituée, dans tous les cas, à la méthode infinitésimale franchement appliquée.

« Effectivement, si nous pouvions comparer dès « le début, non plus seulement dans leurs germes, « mais dans leurs applications aussi variées qu'éten- (( dues, la méthode des limites et la méthode infinice tésimale, nous verrions que toutes deux tendent « au même but, qui est d'exprimer la loi de con- « tinuité dans la variation des grandeurs , mais « qu'elles y tendent par des procédés inverses. « Dans la première méthode, étant donnée à trai- « ter une question sur des grandeurs qui varient « d'une manière continue , on suppose d'abord (c qu'elles passent subitement d'un état de gran- « deur à un autre ; et Ton cherche vers quelles li- « mites convergent les valeurs obtenues dans cette « hypothèse , quand on resserre de plus en plus « l'intervalle qui sépare deux états consécutifs. Il « est clair qu'on n'obtient ainsi qu'après coup , à « la fin de la solution , les simplifications qui ré- « sultent de la continuité , et que la méthode infi- « nitésimale , par l'évanouissement successif des « infiniment petits d'ordres supérieurs, donne die< rectement et successivement , à mesure qu'on

138 CONSIDÉPx AXIONS

c( avcince dans le traitement de la (jnestioii. »

« Aussi , peut-on poser en fait que , quelque « adresse que l'on mette à employer la méthode « des limites, et quelques simplifications que les « progrès des sciences apportent dans les théories « mathématiques et physiques, on arrive toujours c( à des questions pour lesquelJes il font renoncer « à cette méthode, et y suhstituer, dans le langage ce et dans les calculs, l'emploi des infiniment petits « des divers ordres.

c( D'ailleurs, la méthode infuiitésimale ne con- « stitue pas seulement un artifice ingénieux : elle (c est l'expression naturelle du mode de génération « des grandeurs physiques qui croissent par élé- « ments plus petits que toute grandeur finie.

« En résumé, la méthode infinitésimale est mieux « appropriée à la nature des choses ; elle est la nièce thode directe, au point de vue objectif; et c'est « pour cela que l'algorithme de Leibniz, qui ]}réte (( à cette méthode le secours d'une notation régu- (.< lière , est devenu un si puissant instrument , a (( changé la face des mathématiques pures et appli- « quées , et constitue à lui seul une invention capi- « taie dont l'honneur revient sans partage à ce ce grand philosophe. »

On le voit, la méthode infinitésimale est l'exprès-

sion naturelle du mode de génération des grandeurs ; elle est mieux appropriée à la nature des choses; elle est la méthode directe; elle a changé la face des mathématiques; elle seule peut conduire à la solution des questions compliquées. Cependant notre auteur partage lui-même ce préjugé, que la rigueur démonstrative appartient directement à la méthode des limites; mais d'autres , connue Lagrauge et les dialecticiens grecs, trouvent encore que la méthode des limites ne repose pas encore sur un concept assez rigoureusement défini. Ils ne veulent pas sortir de la considération du fini bien clairement circonscrit et du principe d'identité ou de contradiction. Mais alors, comme Lagrange, ils forcent les choses , ils tombent dans des calculs faux et des raisonnements faux, quand ils veulent atteindre les résultats delà méthode infinitésimale ; ou, comme les dialecticiens grecs, ils se tiennent dans la réduction à l'absurde et dans la méthode d'exhaustion ; procédés indirects, compliqués, qui ne découvrent rien, qui ne montrent que ce qui est connu , comme le syllogisme, et qui ne sauraient mener en aucune sorte , ni à découvrir, ni même à démontrer les résultats que la méthode infinitésimale trouve et démontre en se jouant. C'est pourquoi M. Biot , dans sa biographie de Leibniz ,

lUO CONSIDERATIONS

après avoir cité plusieurs problèmes inabordables sans la méthode infinitésimale, ajoute : « Ces pro- « blêmes et une infinité d'autres , parmi lesquels il « faut compter presque toutes les questions dephy- « sique, ne sont pour ainsi dire accessibles que p^r « les considérations tirées des infiniment petits ^ . »

Mais si la fin du x\uf siècle a eu l'horreur de l'infini, et a fliitles plus grands efforts pour bannir de la science l'idée de l'infini, afin de tout réduire à l'idée du fini, efforts infructueux , comme nous venons de le voir, il était réservé au xix*^ siècle de voir une métaphysique du calcul infinitésimal bien autrement étrange.

S'il y a des esprits qui se cantonnent avec ténacité dans le fini, et qui refusent avec une sainte horreur, en toute question, en tout ordre de choses, de s'élever à quelque idée de l'infini; il en est d'autres qui veulent bien sorûr de la considération du fini, à condition de tomber au-dessous et d'aller au néant. Pour eux l'infiniment grand et l'infiniment petit sont le néant. Taudis que ces deux extrémités

' Biograph. univers., art. Leibniz, t. xxin, p. 638.

de la quantité , qui en effet ne peuvent être exprimées par aucun nombre ni aucune grandeur finie, mais qui sont le principe et la fin de la quantité , et comme Va et l'w de tout le fini , tandis que ces deux infinis ont l'un et l'autre une existence incontestable et presque visible à travers la nature du temps, de l'espace et du mouvement, voici des esprits qui soutiennent que ces deux infinis sont le néant. A ce trait on a reconnu le sophiste, comme le dit Platon, qui, au lieu de monter vers l'être , vers rètre parfait et infini , descend et tombe vers le néant.

On pouvait prévoir, et nous affirmons pour notre part l'avoir prévu et annoncé, que si Hegel parlait du calcul infinitésimal, il en parlerait ainsi, et qu'il y appliquerait cette dialectique renversée que nous avons souvent décrite. Convaincu d'avance sur ce point, nous parcourions, il y a quelques années, les œuvres de Hegel, pour vérifier notre conviction, lorsqu'arrivant au long chapitre de sa Logique, où il traite en détail du calcul infinitésimal, nous trouvâmes les textes suivants :

« Dès qu'on suppose une différence absolue entre « l'être et le néant, il en résulte, ce que l'on entend Cl dire si souvent, que le commencement des choses « et leur dei'eiiir demeure absohunentinconcevable.

« Car en effet on part d'une supposition qui est la « négation du commencer et du devenir^ deux cho- « ses qu'on affirme pourtant, et cette contradiction, « qu'on pose soi-même et dont on rend impossible (c la solution, s'appelle inconcevable.

« C'est un exemple de cette même dialectique que « la raison vulgaire oppose au concept scientifique (( des grandeurs infiniment petites qu'emploie la « haute analyse géométrique. Nous traiterons plus « loin de ce concept. Disons ici que ces grandeurs « sont déterminées par ce caractère, qu'elles sont « prises au moment de leur évanouissement ; non (c pas avant leur évanouissement, car elles seraient (( alors des grandeurs finies ; non pas après leur a évanouissement, car alors elles ne seraient rien.

« Contre ce pur concept on objecte , et l'on ne « cesse pas d'objecter, que ces graudeurs iufiuitési- « maies doivent être rien ou quelque chose ; qu'il a n'y a pas d'état intermédiaire entre l'être et le « néant. Mais en parlant ainsi, on suppose précisét( ment qu'il y a une différence absolue entre l'être (( et le néant. Or, au contraire, nous avons déjà dé- « montré qu'en fait^ l'être et le néant sont la même « chose , ou , pour parler le langage de la raison « vulgaire, qu'il est faux qu'il n'y ait pas de moyen « terme entre le néant et l'être. Les mathématiques

ce doivent leur plus brillante découverte à l'admis- « sion de cette vérité, qui contredit la raison vul- « gaire.

« Le raisonnement ci-dessus mentionné, qui part « de la fausse supposition d'une absolue différence (( entre l'être et le néant, ne doit pas être nommée « dialectique , mais sophistique. Car un sophisme « est un raisonnement qui repose sur une supposiez tion mal fondée, qu'on laisse valoir sans la sou- « der par la critique ; mais nous nommons dialec- « tique ce mouvement plus haut de la raison , par « lequel les suppositions arbitraires sont détruites cf et dans lequel des termes, qui paraissaient abso- (c lument séparés, passent au contraire l'un dans « l'autre, étant bien pris pour ce qu'ils sont. Or, la c( nature dialectique intime de l'être et du néant « consiste précisément à montrer leur vérité dans « leur union, qui est le devenir. »

N'insistons pas sur les détails de ce risibleet audacieux délire du sophiste enivré, qui appelle bonne dialectique sa dialectique retournée, et qui nomme sophistique la dialectique de Platon, d'Aristote, de Leibniz, de tous les philosophes du premier ordre sans exception , et celle de tous les hommes , sauf Hegel et Gorgias. Mais on ne critique pas un homme ivre, on le montre à ceux qui auraient besoin de

1 kk COiNSlDÉR AXIONS

cette vue. Ne sortons pas de notre question. Il s'agit de l'élément infinitésimal.

Qu'est-ce que l'élément infinitésimal? C'est, dit Hegel, la grandeur décroissant jusqu'à s'évanouir, et prise au moment même où elle s'évanouit , car avant , ce serait trop tôt , et après , ce serait trop tard. C'est la grandeur prise au moment où , cessant d'être quelque chose , elle n'est pas encore rien du tout , c'est-à-dire au moment où elle parvient à la féconde identité de Tétre et du néant. L'identité de l'être et du néant étant le principe fondamental de la doctrine de l'identité, il fallait retrouver ce principe dans l'élément infinitésimal, et il faut avouer que l'infiniment petit offre au sophiste une assez heureuse occasion. Aussi consacre-t-il cent pages chargées d'algèbre et d'apparente érudition mathématique à démontrer que les mathématiques doivent leur plus brillant développement au principe de l'identité de l'être et du néant, et que les géomètres seront dans une fausse position tant qu'ils n'admettront pas que l'élément infinitésimal est la quantité parvenue à cette identité de l'être et du néant.

Au reste, le sophiste ne traite pas seulement ainsi l'infiniment petit; il traite de même l'infiniment grand. Pour lui l'infiniment grand, lorsqu'il n'est

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pas identique au fini, c'est l'alisolu, c'est l'être pur, et l'être pur c'est le néant pur. L'être pur ne commence à être en effet quelque chose que quand il s'identifie au néant. C'en est assez sur la métaphysique infinitésimale de HégeL