LUI

Ces deux sont nécessaires, mais ils suffisent. Induire ou déduire, trouver les principes, ou bien tirer les conséquences ; chercher ce qu'on n'a pas , ou développer ce qu'on tient ; avancer par identité , ou bien par transcendance ; s'élever inductivernent des effets aux causes , ou expliquer déductivement les effets par les causes ; conclure inductivernent du particulier à l'universel, ou bien conclure déductivement de l'universel au particulier. Il y a ces deux mouvements, il n'y en a pas d'autres.

Et ces deux mouvements ou procédés suffisent à toutes les œuvres de l'esprit humain.

Or, celui des deux qui commence, qui trouve et qui invente, Newton l'appelle indifféremment analyse ou induction. Partout il donne l'induction } ainsi nommée par lui, comme le procédé d'invention. Quelle est en effet, d'après lui, la méthode qui a créé le livre des Principes, ce monceau des découvertes les plus considérables de la physique, de la mécanique, de la géométrie et de l'astronomie? C'est l'induction. « Dans celte philosophie, dit Newton à « la fin de ce même livre des Principes, les propositions « sont tirées des phénomènes et généralisées par l'induc- « tion. C'est ainsi que nous avons trouvé les lois du mou- « vement et de la gravité l. »

1 Principia malhematica, tin, Londres, 1726, p. 530. In hac philosophia propositiones deducunlur ex. phenomenis et redduntur générales per inductionem. Sic leges motuum et gravitatis innotuerunt.

Et dans sa quatrième règle, il nomme les résultats de la science : « Propositions tirées des phénomènes par l'induction. »Et il ajoute : «que l'hy- « pothèse ne renverse jamais cet argument de l'induction. (Propositiones « ex phenomenis per inductionem collectée... Ne argumentum inductionis « tollatur per hypothèses.) »

LIV INTRODUCTION

Telle est donc la méthode du livre des Principes : c'est l'induction. Mais ne serait-ce point l'induction sous forme géométrique? Nous l'affirmons, et voici nos raisons. De quoi s'agit-il en effet dans ce livre? Il s'agit des principes jnafhématiqucs de la philosophie naturelle. C'est le titre de tout l'ouvrage, dont voici les premières paroles : « Les modernes ayant entrepris de ramener tous les plié— « nomènes naturels à des lois mathématiques, il nous « semble à propos, dans cet ouvrage, de traiter les maillées matiqucs dans leur rapport à cette philosophie de -la « nature. 1 » Philosophie de la nature, lois mathématiques, principes mathématiques, voilà dès le début, d'après Newton, le livre des Principes; et ces principes mathématiques, Newton affirme d'ailleurs les avoir trouvés par induction : « Dans cette philosophie les propositions sont tirées des « phénomènes par induction. »

Or, l'induction, pour Newton, c'est la même chose que l'analyse, et l'analyse a été mise par lui sous forme géométrique. Cette analyse mathématique, Newton la nomme son analyse nouvelle, son analyse cachée, son calcul des fluxions. Et c'est pourquoi ces mêmes principes qu'il affirme avoir trouvés par induction, il dit ailleurs qu'il en doit la plus grande partie à son analyse nouvelle, à son analyse géométrique. Voici ses paroles : «. C'est par le « secours de celte nouvelle analyse, celle des fluxions, que « Newton a découvert la plus grande partie des proposi-

1 rrincipia mathematica, p. 389 : Cum recéntiores. . . , phenoniena naturœ ad leges mathematicas revocare agressi sint, visum est in hoc iractatu mathesim excolcrc quatenus ea ad philosophiam spectat. Préiacc.

INTRODUCTION

« lions contenues dans le livre des Principes.... Ceux qui « ne sont pas 1res exercés en ces matières comprendraient « difficilement cette analyse cachée , par laquelle ont été « découvertes ces propositions l. »

1 Cf. Journal des stooànts (octobre 1855), p. 602: « Ceci a donné lieu « de croire, dit M. Biot, que Newton avait trouvé la plupart de ses théo- « rèmes par le secours de l'analyse dont il a tant agrandi la puissance, et, « qu'il les a ensuite traduits sous les formes austères de la synthèse, soit '< pour les rendre complètement inattaquables, soit pour dérober aux re- « gards de la foule la voie qui l'y avait conduit. C'est ainsi que j'expri- « mais dans ce journal l'opinion de beaucoup de géomètres, et la mienne « propre, lorsque je rendis compte de la correspondance de New ton avec « Cotes." Or , nous avons maintenant la même pensée, exprimée dans des « termes presque identiques, par Newton lui-même ; car à la page 39 du « Commercium epislolicum, 2me édition, nous trouvons de lui ce passage : « Ope novui illius analyseos (scilicet fluxionum) majorem illarum propo- « tionum partem, quœ inprincipiis philosophie habentur, imenit Nèw- « tonus. Àt cum antiqui geometrœ quo certiora omnia tierint, nihil in « geometriam admiserint priusquam synthetiee demonstratum esset ; « ideirco propositiones suas synthetiee demonstravit New tonus, ut eœlo- « rum systema super certa geometria constitueretur. Atque ea causa est, « cur homines harum rerum imperiti, arïalysim latentem, cujus ope pro- « positiones illae inventae sunt, difllculter admodum percipiant. » Si New- « ton eût dévoilé à tous les yeux cette analyse, au lieu de la cacher, l'hon- « neur de l'avoir découverte lui aurait été incontestablement assuré par « les applications qu'on en aurait faites, et la science y aurait gagné au- « tant que lui-même. Mais, pour employer ici une image que j'emprunte « à Wallis, il a rompu le pont après avoir passé le fleuve, voulant être « admiré plutôt que suivi ; et d'autres ont trouvé un gué ailleurs.

« Dans les notes additionnelles à ces articles du Journal des savants, « j'ai montré que tous ces théorèmes fondamentaux établis synthétique- « ment par Newton, dans les sections î et m du 1er livre des Principes, « sont renfermés dans une expression analytique très-simple de la force « centrale, de laquelle tous les cas d'application qu'il a considérés se dé- « duisent immédiatement dans le même ordre bizarre qu'il a suivi en les « exposant. De sorte qu'il semble impossible qu'il ne les ait pas tirés de

INTRODUCTION

Donc, pour Newton, celle analyse ou cetle induction qui trouve les théorèmes ou propositions mathématiques du livre des Principes, est la même chose que l'analyse géométrique qui trouve la plus grande partie de ces propositions. Le calcul des fluxions, ou calcul infinitésimal, sous l'une de ses deux formes, celle des limites , est donc réellement, aux yeux de Newton comme aux nôtres, l'induction sous forme géométrique.

Du reste cette importante remarque avait été faite avant nous. « D. Stewart remarque, dit M. de Rémusat, que a Newton identifie l'analyse en physique (l'induction) avec « l'analyse mathématique *. »

« Newton lui-même, dit en effet D. Stewart, a, dans une « de ses questions, mis directement en parallèle l'analyse « mathématique et l'analyse physique, comme si ce mot « exprimait, dans les deux cas, la même idée. »

f< En physique , dit Newton , la recherche des choses l( difficiles par la méthode analytique devrait toujours , « comme dans les mathématiques, précéder la méthode de « composition.

« Un des plus illustres disciples de Newton, M. Maa claurin, a non-seulement sanctionné cette observation « en la rapporiant dans les termes mêmes de l'auteur, mais « a cherché en outre à l'éclaircir et à la fortifier par des « considérations nouvelles. « Il est évident, dit-il, qu'en « physique, comme en mathématiques, l'investigation des

« cette formule même. Ceci offre un exemple frappant de cette analysin « latentem, dont il parle dans le passage que je cite de lui. » 1 Bacon, sa vie, sa philosophie, page 422. (En note.)

INTRODUCTION. lvii

« choses dilïiciles par lu méthode d'analyse devrait tou- « jours précéder la méthode de composition ou la syn- « thèse. »

M. Apell de sou coté ne met pas môme en doule que Newton, décrivant l'induction sous le nom d'analyse, n'entende par là son analyse mathématique1.

Donc, pour Newton, comme pour Maclaurin, cette ana lyse géométrique infinitésimale n'est autre chose que l'induction sous forme géométrique.

C'est la thèse que nous soutenons depuis cinq ans, et que d'autres ont soutenue depuis.

Remarquons aussi que Newton ne borne pas la portée de sa méthode , c'est-à-dire de l'induction et de la déduction, de l'analyse et de la synthèse, c'est-à-dire de la raison humaine douée de ses deux mouvements essentiels, à créer la physique et les mathématiques.

Newton voit dans ces deux mouvements généraux de la raison, la méthode même, et la logique universelle qui s'étend à tout, à la métaphysique et à la morale, tout aussi bien qu'à la physique et à la géométrie. Voyez la fin du livre de Y Optique2. Après la description si nette des deux mouvements de la raison, après avoir posé que c'est l'analyse ou induction qui s'élève aux causes de plus en plus générales , il ajoute ces belles paroles : « Que si la philo- « sophie naturelle, poursuivant cette méthode, veut aller à « son terme et devenir une science entière, alors elle « pourra servir même à reculer les bornes de la philoso-

1 Théorie de i 'induction, p. 153 et 15i. * Optice. Londres, p. 347 et 348

LVIH

INTRODUCTION

« phie morale. Car la philosophie naturelle nous élevant « jusqu'à l'idée de la eause première, de sa puissance, de « son pouvoir et de ses bienfaits, nous aidera, par eette « lumière que la nature nous donne, à mieux connaître « nos devoirs envers l'auteur de la nature et envers nos « semblables1. » Sur quoi lord Brougham , dans son bel ouvrage sur le livre des Pr incipes, remarque fort à propos que ce n'était pas là pour Newton une vague péroraison, mais une prétention scientifique sérieuse, raisonnée, opiniâtrement poursuivie comme but suprême de ses travaux.

Voilà bien, dans ces dernières pages de Y Optique, la logique entière, universelle, résumée par la simplicité du génie. Aussi nous ne sommes pas loin de souscrire à ce prodigieux éloge de Newton : « L'immortel ouvrage de « Newton donne pour la première fois le vrai lien théo- « rique des trois degrés de la connaissance, déjà distingués « par Platon : le degré empirique, le degré mathématique « (dianoétique) et le degré philosophique (noétique). Le « livre des Principes est un modèle qu'on n'a point sur- « passé, qu'on ne peut surpasser, et dont on peut abstraire, « en toute sécurité, la forme logique de la science2. »

C'est ce lien des trois degrés de la connaissance expéri-

1 Optice, Londres, 1 700, p. 347 et 348 : Quod si philosopliia naturalis, hanc methodum persequendo tandem aliquando ab omni parte absoluta eritfacta atqne perfecta scientia ; utique futurum erit, ut et philosophia? inoralis fines itidem proferantur. Nam qnatenus ex pbilosophia naturali intelligere possimns, quœnam sit prima rerum causa, et quam potesta- 1cm, et jus ea in nos habeat, et quae bénéficia ei accepta sint referenda ; eatenus offîcium nostrum erga eam, œque ac erga nosmetipsos invicem, quid sit, per lumen naturœ innotescet.

2 Apelt, p. 155.

INTRODUCTION. lix

mentale, mathématique et métaphysique, que nous avons nous-mème essayé de mettre en lumière dans eette Logique et dans notre Connaissance de Dieu. Ce lien, e'esl la raison avee ses deux mouvements nécessaires. C'est fort simple, mais plusieurs paraissaient l'ignorer.

En résumé, Newton décrit les deux mouvements essentiels et nécessaires de la raison; celui qui commence, qui découvre, qui s'élève aux causes; il le nomme tantôt analyse et tantôt induction. Il affirme avoir découvert ses principes mathématiques par induction ou par son analyse géométrique. Le calcul des fluxions est pour lui l'induction sous forme géométrique. L'induction est pour lui la méthode d'invention, soit en physique, soit en mathématique, soit en métaphysique ou théologie naturelle.

C'est cela même (pie nous soutenons.

Mais, que nous dira sur ce sujet l'inventeur de la plus puissante des formes de l'analyse géométrique, celui qui a introduit dans la science la forme infinitésimale proprement dite? Que nous dira Leibniz? Leibniz a écrit plusieurs pages récemment publiées sous ce litre : Histoire de la découverte du calcul différentiel 1 .

Souvent on avait demandé à Leibniz quelle était la na-

1 Hist. et origo cak. diff. à Lcibnitio conscripla. Hanovre, ISiG.

INTRODUCTION

Hue logique de sa méthode, dont la rigueur paraissait contestable *.

Leibniz répond : « Ma méthode est la même pour le « calcul mathématique infinitésimal et pour la physique.

« L'un et l'antre reposent sur la loi de continuité.

« Voici cette loi ou postulatnm : Etant donnée une « convergence continue vers une limite, on peut con- « dure de la série à la limite*1. »

Tel est l'énoncé du principe. Et Leibniz le commente en montrant comment on conclut d'une série à sa limité , des polygones aux courbes, et du fini à l'infini. Par exemple, dit-il, on conclut de l'ellipse à la parabole, quand l'un des foyers de l'ellipse marche vers l'infini. La parabole est alors la limite vers laquelle converge la série des ellipses3. C'est conclure en même temps et du fini à l'infini et d'une série à sa limite.

Mais qu'est-ce que ce principe de Leibniz? N'est-ce pas le principe de l'induction tel que le pose Wallis? Wallis dit : Lorsque dans le fini deux quantités convergent indéfiniment , on peut conclure quelles sont égales dans l'infini.

Et Leibniz dit : Étant donnée une convergence con-

1 lbid., p. 40: Aliquoties propositum fuit deinonstiationibus muniri ealculi nostri fundamenta... ut scrupulis satisfiat.

2 Hist. et origo cale, diff., p. 40: Est autemmihi prœter calculum infini tes i m alem usurpata etiam in physica methodus utrumque com-

plector lege continuitalis. Àssumo autem hoc postulatum : Proposito quoeumque transilu continuo in aliquem terminum desinente, liccal ratiocinationem communem instituer c , qua ultimus terminus comprehendalur.

3 lbid., p. 41 .

INTRODUCTION, rxi

tinue vers une limite, on -peut conclure de la série à la limite.

C'est le même principe énoncé sous deux formes peu différentes ; c'est, comme l'a dit Wallis, l'induction, c'est-àdire celui des deux procédés de la raison qui ne va pas par voie d'identité. Et c'est pourquoi Leibniz parle depostulatum. Ce mot est à l'adresse de ceux qui ne connaissent que 4a déduction.

Il faut bien remarquer aussi que Leibniz reconnaît , comme Wallis, que ce principe se trouve déjà dans Archimède et dans Conon ; que c'était là probablement le principe caché des belles découvertes des anciens ; que Cavallieri a ressuscité cette méthode; que Descartes fait le même raisonnement en concluant des polygones aux courbes; qu'Huyghens et Lahire suivent la même voie *.

Mais ce qui est intéressant et décisif, c'est que Wallis de son côté affirme, comme nous le soutenons nous-même, qu'en effet son principe inductif est bien , en géométrie, et celui de Leibniz, et aussi celui de Newton. Car après avoir posé, dans sa Préface, l'énoncé qu'il dit être le fondement de son arithmétique des infinis (jquœ ita continuo couver gunt. . .), et qu'il nomme l'induction, il ajoute immédiatement : « C'est sur ce même principe qu'est fondée la « doctrine de ce qu'on nomme les séries infinies, ou conver- « gentes, ou continûment approchantes; principe qu'ont « introduit depuis longtemps Newton , Mercator et Leib- « niz2. » Or ce principe, encore une fois, comme le montre

1 Mist. et origo cale. dijf.y p. 42.

3 Algèbre. Préface.

INTRODUCTION

e! le soutient WûïitSj c'est l'induction. Ainsi Leibniz, aussi bien que Wallis et Newton, appuie notre assertion fondamentale, savoir que le principe du calcul infinitésimal, c'esi l'induction.

Wallis et Newton sont ici d'accord avec nous, et pour le fond des choses, et pour le nom du procédé. Ils le nomment induction. Quant à Leibniz, nous nous accordons avec lui pour le fond des choses, mais non pas pour le nom du procédé. Leibniz a exclu le mot induction, par cela mémo qu'il appelle induction, bien à tort selon nous, la collection ou l'énuméralion des faits particuliers {colléetionem singularium seu induction em) î.

Leibniz, d'ailleurs, déclare qu'il n'a pas deux procédés divers, l'un pour la géométrie, l'autre pour la physique. Sa méthode est une, et repose sur ce principe unique, applicable en physique , en géométrie , et partout où va la raison : Etant donnée une convergence continue vers une limite, on peut conclure de la série à la limite. Leibniz affirme d'ailleurs, ce que nous savons être vrai, qu'il apaisé l'idée de son analyse géométrique infinitésimale « à la source philosophique la plus profonde 2. » Il affirme comme nous « que cette nouvelle découverte mathématique •« tire sa lumière de la philosophie, et doit donner à la pince losophie une nouvelle force3. » Par exemple, dans son

J Dissert, de stylo, phil. , n« xxxu. Erdmann, p. 70.

2 De nostra hac analysi infiniti, ex intimo philosophiae fonte derivata. Nouvelles lettres et opuscules inédits de Leibniz, p. 328, édit. Fouclier de Careil.

3 Ibid, Et hœc nova inventa mathematica partim lucem accipient a postvis philosophematibus, partim ipsis auctoritatem dabunt.

INTRODUCTION. lxiu

Essai sur la recherche des causes, il montre que « l'ana- « lyse des lois de la nature et la recherche des causes nous « mènent à Dieu, et comment dans la voie des causes finales, u comme dans le calcul des différences , on ne regarde (v pas seulement au plus grand ou au plus petit, mais gé- « néralement au plus déterminé ou au plus simple S »

C'est-à-dire qu'aux yeux de Leibniz , comme aux yeux de Newton , comme aux nôtres, le procédé qui , en métaphysique, cherche Dieu, en physique, les lois et les causes, est le même que celui qui analyse, en géométrie, l'indivisible tt l'infini {analysis indivisibiliam seu infinitorumï). C'est-à-dire, en d'autres termes, que la raison humaine a les mêmes lois logiques et les mêmes procédés fondamentaux partout où elle s'exerce , ce qui d'ailleurs n'a jamais pu être nié que par irréflexion.

yM[ . vV ' * . . ....

Telles sont nos principales autorités pour affirmer que l'analyse infinitésimale, c'est l'induction sous forme géométrique.

J Nous devons à l'obligeance de M. le comte Foucher de Careil la communication de ce manuscrit inédit, intitulé : Tentamen anagogicum ou Essais anagogiques dans la recherche des causes. C'est une comparaison entre l'analyse géométrique infinitésimale et l'analyse des lois de la na^ ture, et la recherche des causes naturelles et surtout de la cause première. Remarquez le mot anagogique, comparé au mot épagogique d'Aristote. Fpagogique signifie induclif ou transcendant. Anagogique veut dire inductif ou transcendant de has en haut, par exemple de l'effet à la cause, du monde à Dieu,

niv INTRODUCTION.

Nous avions déjà publié et démontré cotte thèse de logique lorsqu'à paru le remarquable ouvrage de M. Apeli sur la théorie de l'induction. Cet auteur développe et démontre à son tour notre thèse.

Voici d'abord son assertion sur ce sujet : « La conclu- « sion de l'effet à la cause, quant à la nature logique, n'est « autre chose que l'induction.

<* L'analyse infinitésimale révèle le mystère de la rela- « lion entre les causes et les effets. Ceci réside dans l'es- « sence même du calcul infinitésimal. »

Telle est l'assertion. Comment l'auteur la démont re*t-il?

Précisément , en montrant en détail ce qu'avait dit Newton , savoir que son analyse nouvelle , son calcul des fluxions, était sa méthode d'invention, cette même méthode qui , d'un autre coté , toujours selon Newton , est aussi en même temps l'induction. M. Apelt démontre donc que « le problème inductif que se posait Newton, savoir ; « Étant donnée'la figure de l'orbite, trouver la loi de la « force qui produit cette figure, est un problème de calcul « différentiel 4. La figure de l'orbite est l'effet, dit notre « auteur; la loi de la force est la cause qui produit comme « effet celte forme de l'orbite. Or, étant donnée l'équation « de l'orbite, trouver le quotient différentiel, c'est trouver « la loi de la force. » Voici le texte de ce raisonnement.

Après avoir exposé de ce point de vue comment Newton a découvert la loi de l'attraction générale , il ajoute : « On « voit, par cet exemple, que cette conclusion de l'effet à < la cause n'est autre chose, quant à sa nature logique,

1 Apelt. Théorie der induction, p. 20. Leibzig, 1854.

INTRODUCTION. lxv

« qu'une induction. C'est ce que l'on voit surtout par la « manière dont, à partir de la forme elliptique des orbites, « on affirme que la force qui produit cet effet agit en rai- « son inverse du carré des dislances : la figure de l'orbite « est l'elfet, mais la loi par laquelle la force centrale rate mène continuellement l'astre de sa tangente sur son « orbite, est la cause qui produit comme effet la figure de « l'orbite. Ici se découvre la remarquable liaison du pro- « cédé qui va de l'effet à la cause, et du calcul infinitési- « mal. L'analyse infinitésimale met à nu la loi de la force, « son mode d'action qui est la cause, loi cachée dans la «■ figure de l'orbite qui est l'effet. L'analyse infinitésimale « révèle donc le mystère de la relation entre la ('anse et « l'effel ; ceci réside dans l'essence même du calcul infini- « tésimal. Il est visible que, dans l'exemple cité, la forme « de l'orbite est l'effet, et le mode d'action de la force est « la cause. Or, de fait, l'analyse infinitésimale a deux pro- « cédés inverses, appelés calcul différentiel et calcul inléu gral, dont l'un monte de l'effet à la cause, et l'autre des- « cend de la cause à l'effet. Étant donné l'orbite, on trouve « la loi de la force par le calcul différentiel : étant donnée « la force, on trouve l'orbite par le calcul iniégral. L'ana- « lyse infinitésimale, dans l'exemple cité, et les autres cas • « analogues, met donc en évidence le rapport de la cause ce à l'effet, ou celui de l'effet à la cause. En général, en phy- « sique ou en mécanique, si ion cherche la cause, était! <( donné l'effet, c'est un problème de calcul différentiel ; si « l'on cherche l'effet, étant donnée la cause, c'est un pro- « blême de calcul intégral.

« Si l'on pose ce problème : Trouver l'équation de la

i \vi INTRODUCTION.

« courbe, d'après la loi des changements de direction de « la force, ou bien d'après la loi des directions de la lan- « gente , en un point quelconque i/), fait avec Taxe « des x, en conclure le rapport entre x et y ; c'est un pro- « blême de calcul intégral. Veut-on au contraire, à partir « de l'équation de la courbe, trouver la loi des changv- « ments de direction qui la produisent, il suffît d'une diffé- « rcnciation : car le quotient différentiel n'est autre chose « que la tangente trigonométiique de l'angle que fait avec « Taxe des x une droite qui touche la courbe au point « donné : ce quotient donne donc l'intensité actuelle de la « force qui engendre la courbe. Ainsi, conclut notre au- % leur, le problème inductif de Newton: Étant donnée \x « forme de l'orbite, trouver la force, est un problème de « calcul différentiel. Et le problème déductif inverse: Étant « donnée la loi de la force, trouver l'orbite , est un pro- « blême de calcul intégral. »