RAISONNEMENTS

Cela posé, je passe à la démonstration directe de ma thèse, qui, d'ailleurs, par ce qui précède, est déjà presque démontrée.

Si quelque géomètre, faisant autorité dans la science, lisait ces lignes et n'était pas d'abord de mon avis, je lui tfemanderais la permission de soutenir, même à son égard,

INTRODUCTION. LXVU

une discussion respectueuse, mais franche. Je lui dirais ce que j'ai dit souvent à notre illustre maître et ami, M. Cauchy : « En mathématiques, lui disais-je, je suis tout au plus en état de vous comprendre, et cela, quand vous voulez bien vous mettre à ma portée ; mais, en logique, je suis votre égal. Je me suis occupé de logique toute ma vie, comme vous de mathématiques ; mais je me suis occupé de mathématiques, plus peut-être que vous ne vous êtes occupé de logique. Or, en géométrie, j'accepte sans discuter tout ce que vous affirmez. Je ne vous demande pas, en logique, d'accepter tout ce que j'affirme. Je vous prie seulement de vouloir bien admettre que, sur ce terrain, vous pouvez vous tromper contre moi, et moi soutenir le vrai contre vous. Donc, s'il s'agit d'un résultat géométrique, je m'incline devant vous sans discuter ; mais s'il s'agit, non pas du. résultat, non pas même du procédé, mais seulement de la nature logique du procédé, alors, je raisonne avec vous. »

Et d'abord nous pensons qu'aucun géomètre ne nous contestera les propositions suivantes : L'induction et la déduction sont deux procédés géométriques. L'induetion et la déduction sont les deux procédés logiques fondamentaux de la géométrie, comme de toutes les sciences. En géométrie, comme dans toutes les sciences, l'induction est le procédé d'invention par excellence.

Voilà, je crois, ce qui m'est accordé. Or, au besoin, je m'en contente. Mes thèses principales de logique sont établies si les propositions précédentes sont vraies.

Mais peut-être plusieurs diront que l'induction ne peut rien démontrer, et que la déduction seule démontre.

i.wiii INTRODUCTION.

Si, par démonstration, l'on entend démonstration apodîctique, syllogtslique, par voie d'identité, je nie moi-même qu'en ce sons l'induction démontre. Mais si, par démonstration , Ton entend en général un mouvement ou une opération de la raison qui, appliquée comme il faut, là où il faut, donne et montre la vérité, je dis que l'induelion démontre.

.le dis appliquée comme il faut, là ou il faut. N'en est-il pas de même pour la déduction ? La déduction ne démontre la vérité que si elle est appliquée comme il faut, c'est-à-dire selon les règles, là où il faut, c'est-à-dire à mie majeure vraie. Faute de quoi l'esprit se trompe par déduction, aussi bien que par induction.

J'entends donc ici le mot démonstration comme Kepler, lorsque, parlant de sa méthode infinitésimale, il dit : « Si je « ne démontre pas mes théorèmes apodictiquement , je « les démontre en les montrant . »

En ce sens, j'affirme avec Wallis, qui soutient la même thèse contre Fermât, et que Laplace approuve hautement, j 'affirmé qu'en géométrie, comme partout, l'induction, qui est le procédé d'invention par excellence, est aussi un procédé de démonstration suffisant, simple et rapide, de même que la déduction, procédé de démonstration souvent trèslent, mais rigoureux par excellence, est aussi un procédé de découvertes , en ce sens que , d'une vérité générale donnée, il peut tirer des conséquences qu'on n'apercevait pas.

11 est d'ailleurs bien manifeste que d'ordinaire l'esprit, arrivé» à la vérité par induction , vérifie, étend et démontre aussitôt par déduction ce qu'il vient de trouver. Les deux

INTRODUCTION. lxix.

mouvements de la raison se soutiennent et se croisent perpétuellement comme les mouvements des deux mains.

Je reprends donc ma thèse, et je dis : l'induction, celui des procédés de la raison qui va par transcendance et non pas par identité, est un procédé scientifique légitime, puisque c'est un procédé géométrique. L'induction est un procédé géométrique, puisque le procédé des limites et le procédé infinitésimal, ces deux idées les plus fécondes de la géométrie, sont précisément l'induction sous deux formes peu différentes 1.

En effet, la méthode infinitésimale conclut du fini à l'infini, par exemple du polygone d'un nombre fini de côtés, à la courbe considérée comme polygone d'une infinité de

1 On nous a prêté, au sujet du calcul infinitésimal, les idées les plus extraordinaires et les plus insensées, comme, par exemple, lorsque M. Saisset suppose qu'à nos yeux l'infini géométrique c'est l'infini concret et Dieu même! J'avais eu pourtant la précaution, presque étrange, de prévenir, par une page entière, cette invraisemblable objection. Mais ce qui nous a encore plus étonné, c'est une page de M. Lamarle, notre ancien condisciple, professeur à la faculté des sciences de Gand. Voici un extrait de cette page : « D'un autre côté, le P. Gratry ci le Hégel : Qu'est- « ce que l'élément infinitésimal ? C'est, dit Hégel, la grandeur décroissant « jusqu'à s'évanouir, et prise au moment même où elle s'évanouit; car « avant ce serait trop tôt, et après ce serait trop tard. C'est la grandeur, « prise au moment même où, cessant d'être quelque chose, elle n'est pas « encore rien du tout, c'est-à-dire au moment même où elle parvient à « la féconde identité de l'être et du néant (Logique, t. n, p. 143). »

Tel est mon texte que cite M. Lamarle, disant que je résume ainsi la doctrine de Hégel. Cela est vrai. Mais M. Lamarle suppose que j'ai adopté cette doctrine insensée. Or, je la cite tout au contraire comme un exemple où éclate le « risible délire du sophiste [ibid., p. 143). •> Je compte sur la loyauté de M. Lamarle pour rectifier cette erreur de fait.

lxx INTRODUCTION.

cùics. La méthode des limites conclut de la série à sa limite, par exemple de la série des polygones elle conclut à la courbe, limite des polygones.

Or, entre le fini et l'infini, comme entre la série et la limite, comme entre le polygone et la courbe, il y a un abîme.

Le polygone se rapproche de la courbe sans l'atteindre jamais. Le fini marche vers l'infini sans l'atteindre jamais, et la série converge vers sa limite, mais ne peut pas l'atteindre. J'appelle abîme l'impossibilité d'atteindre, qui est géométrique et absolue.

Or, s'il y a un abîme entre ces notions ou objets géomériques, s'ils sont, comme s'exprime Leibniz, irréductibles à l'identité, je dis que l'on ne conclut pas de l'un à l'autre par voie d'identité; je dis que l'on conclut de l'un à l'autre par voie de transcendance , en d'autres termes, par induction *.

1 Je ne dis pas, notez-le bien, qu'on ne peut jamais s'appuyer, d'une certaine manière, sur l'une tic ces notions pour rien conclure de l'autre par déduction. La démonstration de la mesure du cercle, par la réduction à l'absurde, me donnerait tort. Mais je dis que, si l'on procède par la voie des limites ou par celle des infiniment petits, si l'on transporte les propriétés du polygone d'un nombre fini de côtés aux courbes considérées comme polygones d'une infinité tic côtés, si l'on conclut de la série à la 1 mite, alors ce ne peut être que par transcendance ou induction.

LYfUODUCnON,

Je reprends ma démonstration pour l'expliquer.

En géométrie, la méthode infinitésimale et eelle des limites consistent l'une et l'autre en ce que, par exemple, dans l'étude des courbes, on conclut des polygones aux courbes.

Dans le point de vue infinitésimal, à partir du polygone d'un nombre fini de côtés, on conclut au polygone d'une infinité de côtés. Dans le point de vue des limites, étant donnée la série des polygones inscrits qui convergent vers leur limite, qui est la courbe, on conclut de la série à sa limite.

Or, entre le fini et l'infini, entre une série et sa limite, entre le polygone et la courbe, il y a un abîme, abîme que l'approximation, poussée aussi loin qu'on voudra, ne peut jamais combler. A partir d'un nombre fini de côtés, on n'atteint pas un nombre infini de côtés. A partir du polygone de six côtés, on peut multiplier tant qu'on voudra le nombre des côtés, on n'atteindra jamais qu'un nombre aussi fini que le nombre six. Le polygone, sans doute, se rapproche de la courbe tant qu'on voudra, mais n'y arrive jamais. La courbe est la limite des polygones inscrits. Or, on définit la limite, d'une manière évidemment exacte, en disant que c'est un terme constant « dont la variable s'ap- « proche indéfiniment sans jamais l'atteindre. » S'approcher indéfiniment sans jamais atteindre, c'est être séparé

INTRODUCTION

par un abîme, je dis par un abîme géométrique, métaphysique, absolu. C'est-à-dire que polygone et courbe sont des notions radicalement distinctes, irréductibles à l'identité. La courbe n'est en aucune sorte un cas particulier des polygones qui convergent vers elles. De l'un à l'autre, il n'y a pas de moyen terme, pas de passage possible par voie d'identité.

Donc, lorsque l'on conclut des polygones aux courbes, par la voie des limites ou par celle des infiniment petits, on ne conclut pas par voie d'identité, mais bieu par voie de transcendance, c'est-à-dire par induction.

Et c'est justement pour cela que, de tout temps, on a contesté la valeur logique de celte conclusion. Tous ceux qui sont dans ce préjugé séculaire que la raison n'a qu'un seul procédé de raisonnement, la déduction, la voie d'identité, ont toujours soutenu qu'on ne pouvait conclure des polygones aux courbes, considérées comme polygones, ni des séries à leurs limites, ni du fini à l'infini.

J)e là les interminables disputes qui durent encore sur la logique du ealeul infinitésimal. Ces difficultés tombent si l'on admet la légitimité logique du procédé de transcendance.

Tel est notre raisonnement ; mais il en faut encore développer quelques parties.

Si l'on étudie l'histoire de cette polémique, qui remonte à l'origine de la géométrie, deux vérités en ressortent clai-

INTRODUCTION. lxxiji

renient, la première c'est que celle conclusion des polygones aux courbes, des séries aux limites et du fini à l'infini est légitime, féconde et nécessaire à la géométrie. La seconde, c'est que cette conclusion n'est pas par voie d'identité. J'en conclus donc qu'elle est par voie de transcendance.

Pourquoi les anciens cachaient-ils leur méthode d'invention, qui était la méthode des limites ou celle des infiniment petits, et pourquoi cherchaient-ils une autre forme de démonstration? Parce qu'ils sentaient bien qu'il n'y avait pas déduction rigoureuse des polygones aux courbes, des séries aux limites, ni du fini à l'infini, et parce que, d'autre part, la logique n'avait pas établi la théorie du procédé de transcendance.

Maclaurin, à ce sujet, loue Archimède de ce « qu'il ne « suppose pas que les cordes d'un arc soient divisées à « l'infini, en sorte qu'après une infinité de bissections, on « puisse dire que le polygone inscrit se confond avec la « courbe. Ces suppositions auraient paru nouvelles aux c< géomètres de son temps *. » Maclaurin a raison : ces suppositions ne sont pas seulement nouvelles, elles sont absurdes. Pourquoi? Parce qu'elles supposent qu'on a opéré une infinité de bissections, ce qui est absurde et impossible. Elles supposent que le polygone devient courbe, ce qui implique contradiction, comme l'identité du fini et de l'infini qu'elles supposent encore implicitement.

Dès que l'idée des infiniment petits fut réveillée au xvnc siècle par Kepler, l'objection reparut, et Kepler répondit : « Que d'autres cherchent les démonstrations ri-

1 Préface du Traité des fluxions.

Lxxrv

ÎNTJIODUCTION.

« gomvuscs : quant à moi, si je ne le puis démontrer par m une démonstration apodictique, je le démontre en le « montrant1. » Mais Kepler avoue aussitôt, eonnne il le faut, <■< qu'entre le minimum absolu (l'infiniment petit) et « le voisin du minimum d'indéfiniment décroissant) la « conclusion n'est pas toujours sure2. »

C'est-à-dire qu'il faut procéder selon les véritables règles, encore peu connues, du procédé de transcendance. C'est aussi ce que déclare Wallis. Il avoue que celte voie demande de très-grandes précautions. Nous avons cité ci-dessus la discussion entre Wallis et Fermât. Nous avons vu Leibniz nommer postulat um le principe sur lequel il fonde son calcul infinitésimal, tant il y avait de doute sur cette méthode de transcendance, dont on ne savait pas la nature logique.

Maclaurin a écrit son Traité des fluxions, méthode qui est la même, au fond, que celle des limites 3, et qui a été

1 Deinonstrationem legitimam quœrant alii ; ego quod non possum apodictice, comprobabo dictice. ( Stcrcomctria , Archimed. , suppléai. Thèse xxv.)

2 Essi fateor, ab eo quod est absolute minimum ad ea quod minimo proximum non ubique tutam esse collectionem. (Ibid.)

3 Selon nous, toutes ces méthodes, méthode d'exhaustion, méthode des indivisibles , méthode des limites , des fluxions, des évanouissants , des infiniment petits, tout cela repose sur le même fond. C'est ce que l'on comprend enfin aujourd'hui. Qu'on veuille bien lire la description que donne Newton de sa méthode ( Principia mathematica, Lemma xi, Scholium ) , on y verra presque toutes ces méthodes réunies.

La méthode de Newton est résumée par lui dans une phrase que voici: Après avoir dit que, lorsqu'il conclut des polygones aux courbes (si pro redis usurpavero lineolas eu r. vas), il ramène tout à la considération des limites, ou raisons dernières des évanouissants ( Malui demonstrationcs

INTRODUCTION

beaucoup moins attaquée que celle des infiniment petits, pour répondre « à un auteur qui a représenté la méthode « des (luxions comme pleine de mystère et comme fondée « sur de faux raisonnements1. La géométrie, dit Maclau- « rin, a pris aujourd'hui de grands accroissements ; on lui « a cependant reproché en bien des occasions que les nou- « veaux progrès qu'elle fait sont établis sur des maximes « la plupart nouvelles et sujettes à contestation (l'idée des « infiniment petits et celle des limites) et l'on a été jusqu'à « prétendre que les auteurs qui ont le plus contribué aux « dernières découvertes se sont laissés séduire par des pa- « ralogismes2. »

ad ultimas evanescenlium rationes et ad limites deducere;, il dit: « Ces « raisons dernières des évanouissants ne sont pas réellement les rap- « ports de ces quantités dernières, mais bien les limites dont s'approchent « toujours les rapports de ces quantités indéfiniment décroissantes, limi- « tes dont elles peuvent s'approcher toujours, qu'elles ne peuvent jamais « dépasser, et qu'elles ne peuvent atteindre que si elles diminuent à \*m- « fini. » Voilà bien les fluxions ou évanouissants , les limites, les infiniment petits , ramenés à la même conception.

C'est l'honneur d'un géomètre contemporain d'avoir introduit cette vérité dans l'enseignement élémentaire et d'avoir traité le calcul infinitésimal par ces deux procédés à la fois, montrant ainsi que les deux, idées n'en font qu'une. L'objet principal de cet ouvrage, dit M. Duhamel dans la Préface de ses éléments de calcul infinitésimal, « est le développement « de ces deux, conceptions qui sont intimement liées l'une à l'autre .... la « notion des infiniment petits et la conception fondamentale des limites... « qui sont les deux idées générales les plus fécondes des sciences malhé- « matiques. »

Quant à la méthode d'exhaustion, nous avons ce texte de l'abbé Uossut : « Je me suis convaincu, dit-il, que la métaphysique de l'analyse infinité- « simale est la même dans le fond que celle de la méthode d'exhaustion « des anciens géomètres. » (Histoire des matJ>cmati<tues, tome n, p. 115.)

1 Màclaurin, Préface du Traité des (luxions. — 2 Ibid.