XI, IV

INTRODUCTION

contemporain de Fermât, de Leibniz, de Newton. Wallis est en quelque sorte le père de Leibniz et de Newton dans l'invention du calcul infinitésimal. Or Wall is, traitant ex prqfesso de la méthode infinitésimale, soutient et démontre que eelte méthode est l'induction.

Nous avens sous les yeux les œuvres de Wallis. Son Arithmétique des infinis a pour second titre : Nouvelle méthode pour rechercher la quadrature des courhes i.

Or, quelle est cette méthode? C'est, selon Wallis, l'induction. « Ceux, dit-il, qui seront satisfaits de notre mé- « thode par induction pourront en prendre connaissance « dans notre arithmétique des infinis2.» Et, en effet, je lis, à la première page de cette arithmétique des infinis,

et de ceux de Leibniz sur l'analyse infinitésimale : « L'époque de YArith- « mëtiqne des infinis de Wallis, dit Montucla, est celle à laquelle on doit * fixer le commencement des progrès remarquables de cette partie de la « géométrie moderne. À l'aide d'une induction habilement ménagée, il « soumet à la géométrie une multitude d'objets qui lui avaient échappé « jusqu'alors. » {Histoire des mathématiques , part. îv, 1. G.)

Voici sur Wallis l'opinion de Leibniz : « Wallisius praHer arithmeti- « cam infinitorum, divinationibus quidem, sed ingeniosissimis et felieis- « simis nixam , alias superticies conoïdes figurasque planas et solidas « mensuravit. » Maclaurin dit de Y Arithmétique des infinis : « Wallis « aima mieux décrire simplement la méthode qu'il avait trouvée pour défi couvrir de nouveaux théorèmes, et l'on doit avouer que cet excellent « traité contribua beaucoup aux grands progrès que l'on fit peu après. » Introd., p. 49.

x Arithmetica infinitorum seu nova methodus inquirendi in Curvilineorum quadraturam. Oxford, 1G55.

2 Algèbre, p. 330 : Qui contenti erunt mea per inductionem methodo, et deductionibusinde factis, eam videant in arithmetica infinitorum. Pages 1, 2, 19, 20, 39, 40, 180, etc. Dans l'édition de 1655, voyez pages 3G5, 3GG, 382, 383, etc.

INTRODUCTION

cette description de la méthode « Le moyen d'investi g a- « tion le plus simple, en ce problème et quelques autres « qui vont suivre, c'est d'abord d'opérer plusieurs fois le « calcul, d'observer les rapports qui surgissent, puis de « poser enfin une loi générale par induction *. »

Mais voyons de plus près ce que Wallis entend par induction.

Wallis entend par là, comme nous, le raisonnement qui conduit du fini à l'infini , ou d'une série à sa limite. Voici en effet le principe fondamental de son arithmétique des infinis tel qu'il l'énonce : « Nous passons à l'arithmétique « des infinis dont voici le fondement : Lorsque dans le « fini deux quantités convergent d 'une manière contint nue , en sorte que leur différence devienne moindre « que toute grandeur donnée, ces deux quantités doi- « vent être considérées comme égales dans Vin fini. « Nous défendons ici cette méthode, et nous la soutenons « contre les objections de quelques écrivains 2 .»

En effet, déjà l'on commençait sur la méthode infinitésimale cette longue polémique qui n'est point encore termi-

1 Simplicissimus invesligandi modus , in hoc et scquentibus aliquot problematibus, est : r rem ipsam aliquousque praestare ; 2° et rationes prodeuntes observare; 3" ut inductione tandem universalis propositio innotescat. Ailleurs, p. 383 : Facto experimento patebit rationes inductione repertas ad hoc continue propius accedere ita ut dillcrentia tandem évadât oinni assignabili minor ; adeoque in infini tum continuata evanescet.

- Préface de Y Algèbre, Qxford, 1693 : Ilinc in arithmeticam infinitorum transitur, quœ et ipsa nilitur exhaustionum methodo. Quippc quœ ita continuo convergunt ut extra infinitatem distent dato minus, ca iti infinitum continuata censenda sunt œqualia. Demonstrandi methodus inibi usitata defenditur et a quorumdam exceptionibus vindkatur.

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LNTKODUCTIOlY

née, mais qui sera finie quand on voudra comprendre ce qui nie semble manifeste et ce que je démontre, savoir : que le procédé géométrique infinitésimal, qui va par transcendance, n'est autre chose que l'un des deux procédés nécessaires de la raison.

Fermât donc objecte à Wallis que sa méthode par induction n'est pas une méthode rigoureuse.

Mais Wallis se défend, et soutient que l'induction considérée comme procédé infinitésimal, c'est-à-dire comme concluant d'une série à sa limite, ou du fini à l'infini, c'està-dire d'une convergence dans le fini à une égalité dans l'infini , est en mathématiques la méthode d'invention par excellence, et une méthode de démonslraiion suffisante.

« Le procédé par induction , dit Wallis l, est admis par « Fermât comme méthode d'investigation; niais, selon lui,

« on peut douter de sa rigueur démonstrative Maisl'il-

« lustre géomètre, qui met en doute la solidité de mes dé- « monstralions par induction, et qui cherche à faire mieux, « ne s'est pas aperçu que la méthode qu'il veut substituer « à la mienne n'est autre chose aussi qu'une induction, mais « qui est loin de valoir mieux que ce que j'ai donné.... Au « fond je regarde M induction comme méthode d'investi- « gation par excellence : elle nous conduit souvent comme « par la main à la découverte des lois ; sinon elle nous met « sur la voie. Or, dans le cas où sa recherche arrive à nous « montrer la loi , il n'est pus nécessaire de chercher une « autre démonstration2. »

1 Algèbre, p. 331. Voyez encore les chapitres 78, 79 et 80, consacrés surtout à cette polémique.

- Rem ipsam quod spectat, ego certe inductioncm existimo egregiam

INTRODUCTION. xlml

Celte réponse est fort remarquable. On voit d'abord que Fermât ne nie point l'induction comme procédé infinitésimal ou fondement de l'arithmétique des infinis. 11 l'accepte comme procédé d'investigation. Il met seulement en doute sa rigueur démonstrative. Wallis répond fort heureusement que Fermât lui-même , qui cherche à faire mieux , n'évite nullement l'induction , mais l'enveloppe seulement sous une plus mauvaise forme. C'est ce qu'ont fait tous les géomètres qui ont voulu, comme Lagrange, éviter ce procédé inductif par transcendance, dont ils ne comprenaient pas la valeur logique, et qui prétendent tout démontrer, comme l'a dit fort bien M. Cournot , en restant dans le principe d'identité. Quoi qu'il en soit, Laplace, en parlant de cette polémique, donne raison à Wallis contre Fermât qui , dit-il, « fait des objections peu dignes de lui contre « cette méthode qu'il n'avait pas suffisamment approfon- « die 1 . »

investigandi methodum : ut quœ multoties nos manuducit ad generalis régula; deteetionem ; auteosaltem proxime conducit. Et quolies ejusmodi inquisitionis exitus rem observatu facilem patefacit, non est necesse ulteriorem demonstrationem inquirere. (Algèbre, p. 335.)

1 Après avoir reproduit à sa manière « l'expression du rapport delà cir- « conférence au rayon, en produits infinis, » donnée par Wallis, Laplace ajoute : « Wallis publia, en 1057, dans son Arilhmclica infuiitorum, ce « beau théorème, l'un des plus curieux de l'analyse, par lui-même et par « la manière dont l'inventeur y est parvenu.... Cette manière de procéder « par voie d'induction dut paraître en effet extraordinaire aux géomètres <« accoutumés à la rigueur des anciens. Aussi voyons -nous que de grands « géomètres, contemporains de Wallis, en furent peu satisfaits ; et Fermât, « dans sa correspondance avec Digby, fit des objections peu dignes de lui, « contre cette méthode, qu'il n'avait pas suffisamment approfondie. Kilo « doit élre sans doute employée avec une circonspection extrême ; Wallis

xlviii INTRODUCTION.

Wallis d'ailleurs devient ici bien fort, lorsqu'il afiïrme que le fond et le principe de sa méthode, dont il maintient d'ailleurs partout la nouveauté quant à la forme et à l'application, repose sur le même principe que celle de Cavallieri et que celle d'Archimède. « J'explique ici, dit-il dans « la Préface ii la vraie notion de la géométrie des indivisi- « bles de Cavallieri. Elle n'est autre, quant au fond, que « l'antique méthode ftexhauslion sous une forme plus « simple. C'est le même principe ; elle est aussi démonstra- « tive; je ne vois pas pourquoi, bien comprise, on voudrait « la tenir pour suspecte et peu géométrique. De là, je passe « à mon arithmétique des infinis, qui elle-même s'appuie « sur la méthode d'exhaustion , c'est-à-dire sur ce prin-

« dit lui-même en répondant à Fermât que c'est ainsi qu'il s'en est servi. « Wallis observe que les anciens avaient sans doute de semblables moyens « d'invention qu'ils n'ont pas fait connaître, se contentant de donner les « résultats appuyés de démonstrations synthétiques. Il regrette avec rai- « son qu'ils nous aient célé leurs moyens d'y parvenir ; et il dit à Fermât « qu'on doit lui savoir gré de ne les avoir pas imités et de n'avoir pas « détruit le pont après avoir passé le fleuve. 11 est digne de remarque que « Newton, qui avait profité de cette méthode d'induction de Wallis et de « ses résultats pour découvrir son théorème du binôme, ait mérité les re- « proches que Wallis fait aux anciens géomètres, en cachant les moyens « qui l'avaient conduit à ses découvertes. » Théorie analytique des probabilités, p. 50G et suivantes. Nous venons plus bas que Newton appelle son moyen de découvertes tantôt Yinduction, et tantôt son analyse cachée.

1 Indeque de (Cavallierii) geometria indivisibilium ; cujus genuina notio explicatur ; nec aliam esse (rem ipsam quod spectat) ostenditur, quam illam veterum exkaustionis methodum breviori forma adhibilam ; eodem cuni illa fundamento nixam, indeque demonstrabilem : ut non si t. cur suspecta habeatur (recte intellecta' aut geometriœ adversa. Hinc in arithmeticam infinitorum tiansitur, qute et ipsa nisitur exhaustionum me-

f INTRODUCTION.

«< eipe : Ce qui converge dans le fini, doit être considéré « comme égal dans l'infini. »

Ce principe de Wallis n'est autre chose que le principe d'Arcliimède lui-môme.

De sorte que ce principe, le plus fécond de la géométrie, comme Laplace le déclare en propres termes, apparaît dans la science dès l'origine. En pouvait-il être autrement? L'un des deux procédés essentiels et nécessaires du raisonnement humain pouvait- il ne jouer aucun rôle dans une science comme les malhémaiiques ? Leibniz, aidé de Descartes, et en même temps Newton , lui ont donné ses formes les plus puissantes, du point de vue des infiniment petits et du point de vue des limites. Mais, dès l'origine, il vivait dans la science comme son plus fécond instrument.

Rien de mieux dit et de plus vrai à ce sujet que ces paroles d'un géomètre fort compétent 1 : « La notion des infini- « ment petits remonte à Archimède... Déjà d'ailleurs on % avait été amené à la conception fondamentale des limites. « Ainsi les deux idées générales les plus fécondes des

« sciences mathématiques intimement liées l'une à l'au-

« tre remontent presque jusqu'à leur berceau 2. »

thodo.Quippequœ Ha convergunt ut citra infinitatem distent dato minus, ea in inilnitum continuata censenda sunt œqualia. Algèbre. Préface.

1 Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal. Préface.

2 Montucla traite fort heureusement ce point d'histoire de la géométrie. {Histoire des mathématiques, tome i, p. 239) : « Les écrits d'Archimède « et des géomètres anciens, dit- il, nous présentent une foule d'exem- « pies de ce tour de démonstration , mais les précédents nous suffisent « pour en dévoiler l'esprit. On voit qu'il consiste à examiner les pro- « priétés des grandeurs rectilignes qui enferment les curvilignes, et qui

U INTRODUCTION

Quoi qu'il en soit, voici donc, au moment où paraît dans la science le calcul infinitésimal, sous sa forme moderne, voici entre deux géomètres, aussi considérables que Fermât et Wallis, une polémique où l'un des deux, celui auquel Laplace donne raison, soutient ce que j'ai moi-même soutenu avant de me savoir si solidement appuyé. Wallis affirme que le procédé qui conclut des polygones aux CDurbés , ou du fini à l'infini, ou d'une série à sa limite, c'est l'induction ; et que cette induction, qui est surtout un procédé d'investigation, est un procédé suffisant de démonstration. Telle est la vérité. Mais pourquoi un aussi é minent esprit que Fermât, qui d'ailleurs admet l'induction en géométrie comme procédé d'investigation, dé-

a s'approchent d'elles continuellement comme de leur limite où elles se n confondent enfin. Ce qui détermine qu'une grandeur est la limite de « deux autres , c'est lorsqu'elles peuvent s'en approcher de manière v qu'elles n'en diffèrent que de moins qu'aucune quantité donnée. On « démontre ensuite facilement que la propriété qui convient à ces gran- « deurs, convient aussi à leur limite ; c'est pour cela que quelques mo* « dernes ont appelé cette méthode des limites ; quelques autres lui ont « donné le nom de méthode à'exhaustion; parce qu'il semble qu'on « épuise les grandeurs rectilignes dans lesquelles serésoud la figure cur- « viligne qu'on mesure. La démonstration ad absurdum, c'est-à-dire par « laquelle on montre qu'il y aurait de l'absurdité si la proposition était « autrement qu'on ne l'énonce, est fort remarquable, j'oserai même dire « fort ingénieuse; c'était le seul moyen de ne laisser rien à répliquer, « mais ce n'est cependant pas ce qui constitue le fond de la méthode. Pour « satisfaire ceux qui désireraient de plus grands détails sur ceci, nous in- « diqueions l'introduction au traité des fluxions de M. Maclaurin. Ce sa- « vant géomètre y développe avec beaucoup d'étendue la nature de cette « méthode ancienne ; celle que Newton a appliquée dans ses principes, « et qu'on trouve expliquée dans le livre i, sect. i, en est une imitation tt heureuse et n'est pas sujette aux mêmes longueurs. »

INTRODUCTION. Li

clare-t-il ce même procédé insuffisant comme procédé de démonstration? C'est justement parce que Fermât lui-même oublie, avec la plupart des modernes, que l'induction, ainsi que le montre Aristote, est l'un des deux procédés essentiels de la raison. Fermât partage ce préjugé qu'on ne raisonne que par voie d'équation ou d'identité, et que le raisonnement n'a qu'une forme, un procédé, le syllogisme. Mais, comme le dit Aristote, s'il en était ainsi, la science serait impossible, puisque évidemment le syllogisme ne peut faire autre chose que déduire. L'esprit n'aurait pas de majeures, pas de principes, pas de commencement.

Toujours est-il que Wallis dit comme nous, en propres termes , que le principe du calcul infinitésimal , c'est l'induction.

Cette autorité, appuyée de celle de Laplace, doit suffire, si je ne me trompe, pour que les géomètres et les logiciens aient à prendre en considération notre travail sur ce sujet, travail qui constitue une grande partie de notre Logique et même de notre Connaissance de Dieu.

Mais nous avons en notre faveur une autorité plus grande encore que celle de Wallis, c'est celle de Newton.

Voici d'abord la logique de Newton tout entière. On va voir, peut-être avec étonnement, que cette logique est justement celle d' Aristote, et c'est aussi la nôtre.

INTRODUCTION

Newton nomme analyse l'induction Il nomme synthèse la déduction.

Pour lui la même méthode, c'est-à-dire l'induction et la déduction, c'est-à-dire la raison dans ses deux mouvements nécessaires, s'applique, et en mathématiques, et en physique.

« En physique aussi bien qu'en mathématiques, dit- il, « l'investigation des problèmes par l'analyse doit toujours « précéder la synthèse 2.

« L'analyse, ajoute-t-il, consiste à s'appuyer d'abord sur « l'expérience, à observer les phénomènes; puis, par le « raisonnement, elle va du composé au simple, et conclut <c des mouvements aux forces et des effets aux causes ; et « puis des causes particulières aux causes plus générales.

« La synthèse, au contraire, prend pour principes les « causes trouvées et prouvées, explique par elle les phéno- « mènes qui en dérivent, et démontre ces explications3. »

C'est bien là en effet le résumé de la logique entière. Il n'y a que deux mouvements, deux procédés de la raison.

1 Voyez M. de Rémusat. Philosophie de Bacon, p. 429 : « Si, par l'ap- « plication de la méthode, analytique ou inductive, etc. » M. de Rémusat suppose ces deux mots, analyse ou induction, synonymes dans le langage de Newton.

2 Optice, p. 347 : Quemadmodum in mathematica, ita etiam in physica investigatio rerurn diflîcilium ea methodo, qua1 voeatur analytica, semper antecedere débet eam quœ appellatur synthetiea.

3 Methodus analytica est, expérimenta capere, phenomena observare ; iudequc e\ rébus compositis, ratiocinatione colligere simplices; ex causisque particularibus générales; donec ad generalissimas tandem sit deventum. Methodus synthetiea est, causas investigatas et comprobatas assumere pro principiis, eorumque ope explicare phenomena ex iisdem oita istasque explicalLones comprobare. Optique, tin.

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