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ï INTRODUCTION.

D'où venaient ces difficultés? D'abord, de ce que les nov a leurs semblaient vouloir conclure, par voie d'identité, des polygones aux courbes, des séries aux limites, et du Uni à l'infini1. On montrait faeilemcnt que le moyen terme manquait, et qu'entre ces deux notions existait un abîme, que la déduction, la voie d'identité, ne pouvait traverser. En outre, les deux partis ignoraient l'existence ou n'admettaient pas la valeur de l'autre procédé de la raison, du procédé de transcendance, Cependant ce dernier procédé, malgré le soulèvement des pharisiens de la rigueur et de la déduction, prenait pied dans la science par droit de conquête, à force de services rendus, à force de lumières répandues et de prodigieuses découvertes, je dirai presque à force de merveilles. Écoutez Maclaurin, peu ami de la méthode des infiniment petits et qui la critique vivement et souvent .11 ne peut néanmoins s'empêcher de conclure ainsi: « Nous ne prétendons pas non plus donnera entendre que « la méthode des indivisibles et des infiniment petits, dont « on s'est servi pour découvrir tant de vérités incontesta- « bles ne soit nullement fondée. Nous avouons même que « cette méthode des infinis a quelque chose de merveil- « Jeux qui nous plaît et nous transporte, et que la mé- « thode des infiniment petits a été poussée dans ces der- « niers temps avec une subtilité qui n'a point d'exemple « dans les autres sciences ; mais la géométrie est mieux

1 Newton lui-même ne prête-t-il pas au malentendu par quelques-unes de ses paroles quand, par exemple, il dit que la quantité décroissante ne peut pas dépasser la limite , et ne l'atteint que lorsqu'elle est diminuée à l'infini? Voilà une parole inexacte. La limite n'est jamais atteinte. Le polygone n'atteint jamais la courbe.

INTRODUCTION

« établie sur des principes clairs et simples; et ces sortes « de spéculations sont toujours exposées à quelques diffi- « cullés. Néanmoins, les nouvelles méthodes (des infîni- « ment petits) ont été généralement reçues et elles ont « paru mériter une réception aussi favorable par le grand « avantage qu'on en retire pour la résolution des prohlè- « mes les plus difficiles, et parce qu'elles ont servi a

« DÉMONTRER LES THÉORIES LES PLUS GÉNÉRALES iAjNK MA- « NI ÈRE COURTE ET AISÉE. »

Voilà donc des méthodes dont on admire la grande et facile puissance d'invention et de démonstration. Mais on trouve cependant que la géométrie est mieux établie sur des principes clairs et simples. Pourquoi ce singulier scrupule? Parce qu'on ignore la vraie nature logique de ces méthodes nouvelles. Elles ne paraissent ni claires ni simples, parce qu'on ne les comprend pas. On ignore qu'elles ne sont que l'application à la géométrie de l'un des deux procédés ou mouvements nécessaires de la raison.

Toutes ces difficultés montrent bien que l'on a senti de tout temps ce que nous soutenons, savoir : que la conclusion de la série à la limite ou du fini à l'infini, n'est pas par voie d'identité. Donc, disons-nous, elle est par voie de transcendance, en d'autres termes, par induction, et non par déduction.

Quelqu'un voudra-t-il insister et soutenir que du polygone à la courbe il y a continuité, identité ; que le cercle est réellement un polygone d'une infinité de côtés infini-