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INTKODTICTION.

meut petits, et que l'(M) conclut alors d'un polygone à un polygone, c'est-à-dire (lu genre polygone à un cas particulier du genre, conclusion qui serait purement déductive ? Ce serait là une grande erreur. En voici la preuve : c'est qu'on ne peut pas toujours conclure du polygone aux courbes. Pour trouver certaines propriétés des courbes, la longueur, les arcs, les surfaces, les tangentes, on peut conclure des polygones aux courbes; mais pour trouver d'autres propriétés de la courbe, notamment la courbure ou rayon du cercle osculalcur, pour trouver les caustiques ou bien les développées, et, en général, pour toutes les questions qui dépendent des infiniment petits du deuxième ordre, on ne peut plus conclure du polygone à la courbe. Donc, la courbe demeure en dehors de la série des polygones.

D'ailleurs , pour prendre un autre point de vue plus clair, il y a en tous cas , entre la courbe et le polygone , l'abîme du fini à l'infini. D'une part un nombre fini de côtés, d'autre part une infinité de côtés, si côtes l'on peut dire.

Quelqu'un voudrait- il soutenir que l'infini (l'infiniment grand et l'infiniment petit) n'est qu'un cas particulier de la quantité finie? Ce serait absolument faux.

Bien des faits géométriques nous démontrent la radicale différence du fini et de l'infini ; et comment il y a un abîme de l'un à l'autre, et comment on ne peut conclure de l'un à l'autre qu'à certaines conditions scientifiquement déterminées.

Kepler avoue qu'on ne peut pas toujours conclure de l'un à l'autre (non ubiqite tutam esse collectioneni). Wallis et Laplace disent que ce procédé demande le plus grand tact et d'extrêmes précautions. C'est qu'il faut, dit

INTRODUCTION. lxxix

bien simplement WaUis, procéder selon les vraies règles dn procédé.

Voici iip exemple qui fera comprendre ce que j'appelle l'abîme qui sépare l'infini du fini, et comment on ne peut pas toujours conclure de l'un à l'autre.

C'est l'exemple des séries semi-convergentes, où l'iufmi introduit des propriétés singulières et contraires à celles du fini.

Prenez dans ces séries un nombre fini de termes si grand que vous voudrez. Leur somme, évidemment, sera toujours la même dans quelque ordre que l'on fasse l'addition. Mais qui croirait que la même série, supposée infinie, prend cet inexplicable caractère, que la somme de ses termes est différente quand on les additionne dans un ordre différent? Soit, par exemple, la série 1 — |-h| — { + ?; — û T~! Supposez cette série infinie. La somme de ses termes tels qu'ils sont rangés est égale à /. 2. Mais rangez -les ainsi qu'il suit : 1+J — |+|-f-f — Alors la somme de ces termes change et devient égale à :] /. 2.

Donc, si l'on voulait conclure ici du fini à l'infini; si, après avoir démontré, ce qui est d'avance évident, que les termes de la série prolongée tant que l'on voudra, mais finie, ont toujours la même somme dans quelque ordre qu'on en fasse l'addition, si l'on voulait soutenir alors qu'il en doit être de même dans la série supposée infinie, ce serait une erreur.

Voici peut-être le fond de celle question : c'est qu'on ne peutconclurequelàoùil y a convergence continue et indéfinie, et qu'au fond la conclusion légitime par voie de transcendance est celle qui a lieu d'une série convergente à sa limite,

INTRODUCTION

en précisant rigoureusement ce qui converge et ce qui est limite. Ainsi, quand le polygone inscrit s'approche delà courbe, quels sont les éléments du polygone analogues aux propriétés de la courbe qui s'approchent continûment et indéfiniment? (>si, par exemple, la longueur des arcs, c'est l'étendue de la surface . [ci l'un est vraiment limite dé l'autre. On peut conclure de l'un à l'autre1. Mais la courbure est-elle limite des angles successifs que forment les côtés du polygone? Nullement. Ici il n'y a plus limite ni analogie, il y a contraste. La courbure constitue justement la nature propre de la courbe, et ce qui la sépare du polygone. La courbé n'esi pas polygone. Le polygone ne devient pas

1 Et ceci même, à la rigueur, est peut-être trop général, et demanderait encore à être mieux déterminé. En effet, voici un exemple où l'une des propriétés de la série ne se trouve pas à la limite. C'est la série

7i -}" 75 "f" 1 ~h °'(' ^' "'on fa'rï 'a somme d'une portion quelconque de la série, celte somme sera toujours une fraction de numérateur Impair et de dénominateur pair. Or, la somme de toute la série, supposée infinie, est \ . Ici donc, à la limite, le dénominateur n'est plus pair, mais impair , et la propriété de la série n'existe plus à la limite. C'est qu'en elïet de la série à la limite, et du fini à l'infini, il doit y avoir et des analogies et des contrastes. Déterminer en général quelles sont les propriétés analogues et quelles sont les propriétés en contraste , ce serait peut-être achever la théorie de l'induction géométrique , et avancer beaucoup la théorie générale de l'induction. Bien probablement il existe, dans la science à venir, un théorème général qui déterminera ces conditions de l'induction. Je me représente ce théorème comme analogue au beau théorème de M. Cauchy qui , après avoir démontré que la série de Taylor, l'un des types des séries en équation avec leur limite, peut souvent conduire à l'erreur, établit par un seul énoncé les conditions de son exactitude, .le veux transcrire ici ce théorème pour montrer avec quelle précision, quelle subtilité scientifique, et quels puis-

INTRODUCTION. lxxxi

courbe. Il y a de môme, en métaphysique, certaines inductions possibles du fini à l'infini, et de la créature à Dieu, tandis que d'autres sont impossibles. C'est parce qu'il y a, de l'un à l'autre, des qualités communicables, et des propriétés incommunicables dépendant delà distinction radicale du fini et de l'infini.

C'est pourquoi Leibniz dit admirablement que l'infiniment grand et l'infiniment petit sont « les deux extrémités i< de la quantité m dehors de la. quantité1.» A mon avis, dit-il ailleurs, « les infinis ne sont pas des tous (des « sommes) et les infiniment petits ne sont pas des graillants efforts travaillent les géomètres. Si les philosophes travaillaient de la même manière , et apprenaient à poursuivre scientifiquement et patiemment jusqu'au bout la vérité, ils trouveraient aussi. Voici ce théorème. Pour que le développement de l'expression f (x -J- h) suivant la ?érie de Taylor soit légitime, il faut et il suffit que la fonction soit finie, continue, monodrome, monogène, dans toute l'étendue d'un cercle ayant son centre au point dont l'aflixc est x, et son raijon égal au module de h.

J*ai sous les yeux une lettre de Abel (OEuvres, t. n , p. 2CG), où il annonce qu'il s'occupe du problème général dont je parle. Après s'être plaint de tous les malheurs et paradoxes qu'ont enfantées les séries divergentes, il affirme « qu'il ne se trouve dans les mathématiques presque aucune « série infinie dont la somme soit déterminée d'une manière rigoureuse, « c'est-à-dire que la partie la plus essentielle des mathématiques est sans « fondement. » (Fondement logique connu ?) Puis il ajoute : « La théorie « des séries infinies, en général, est jusqu'à présent très-mal fondée. On « applique aux séries infinies toutes les opérations, comme si elles étaient « finies. Mais cela est-il bien permis? » Je crois que non. Puis il annonce qu'il s'occupe du problème général. « J'ai commencé à examiner les rè- « gles les plus importantes qui sont ordinairement approuvées à cet '< égard, et à montrer en quel cas elles sont justes ou non. Cela va assez « bien et m'intéresse infiniment. » Je désire fort que quelque géomètre grand logicien reprenne cette importante recherche.

J Tome m , p. 501 Ihitens).

LXXXll INTRODUCTION.

« doiirs1. » Leibniz met à part et radicalement en dehors de la quantité finie ou indéfinie ces deux extrêmes, l'iiv Uniment grand et ('infiniment petit.

Pascal j si profond et si estimé sur cette matière, Pascal regarde comme évident que toute grandeur indéfiniment décroissante ou croissante est toujours infiniment éloignée des deux extrêmes qui sont l'infiniment grand et l'infiniment petit. 11 montre « les deux infinités de grandeur et « de petitesse entre lesquelles se soutiennent toutes les « grandeurs croissantes ou décroissantes... comme étant « toujours infiniment éloignées de ces extrêmes 2. » Je suis très-étonné, je l'avoue, qu'il y ait un seul esprit à qui cela ne paraisse pas manifestement évident. Cet éloignement infini entre rindéfinimcnt décroissant ou croissant, et l'infiniment petit ou l'infiniment grand , est ce que j'appelle l'abîme.

De tout ceci je conclus de nouveau qu'il y a réellement un abîme entre le polygone et la courbe , entre la sérient la limite, entre le fini et l'infini. Quand on conclut de l'un à l'autre , c'est donc par transcendance et non pas par identité.

S'ensnit-il qu'on ne puisse démontrer par simple déduction, par voie d'identité des théorèmes trouvés par induction ? En aucune sorte. Nous savons au contraire que les

1 lettre de Leibniz à Fontenelle (1704). * Pensée, ir<? partie, art. 1 1 .

INTRODUCTION. lxxxïïî

anciens faisaient ainsi. Ils découvraient par induction, par la méthode des infiniment petits ou par celle des limites , puis ils démontraient par déduction, ordinairement par la réduction à l'absurde. Je dis donc seulement que, quand on emploie, pour découvrir ou démontrer, la méthode des limites ou celle des infiniment petits, alors c'est par transcendance ou par induction qu'on procède.

Qu'on veuille bien remarquer que , pour soutenir l'induction dans ses justes droits, nous ne sommes point l'ennemi de la déduction. Celle-ci n'a pas d'ennemis, à moins qu'on ne veuille donner ce litre à Bacon , qui rejetait le syllogisme. Mais l'induction, le procédé de transcendance, se voit malheureusement trop souvent repoussé avec cette sainle horreur de l'infini dont parle si spirituellement Fontenelle, à propos de ceux qui rejetaient la méthode infinitésimale de Leibniz. De là, par exemple, les grands efforts de Lagrange pour extirper de la géométrie le procédé "de transcendance. Du reste , celte entreprise d'un si grand géomètre — on le reconnaît aujourd'hui — est fondée sur un paralogisme , et mène à des erreurs. Quant à nous , nous disons que les deux mouvements essentiels et nécessaires de la raison sont partout et continuellement mêlés et se soutiennent dans toutes les sciences. Ainsi les démonstrations indirectes par l'absurde soutiennent les démonstrations ou expositions directes de l'induction. Bien des vérités géométriques, trouvées et démontrées par l'idée de l'infiniment petit, et par celle des limites, se démontrent aussi par déduction ou voie d'identité. Mais, dans ce cas, on ne conclut ni du fini à l'infini, ni de la série à la limite, ce qui serait par transcendance,

lxxxiv INTRODUCTION.

De même, il peut y avoir des démonstrations purement déductives qui établissent la légitimité, dans certains cas, des conclusions par transcendance, soit du fini à l'infini, soit d'une série à sa limite.

Tel est donc , sur ce sujet , l'ensemble de nos raisonnements.

Sur quoi je ferai les remarques suivantes.

Le procédé de transcendance a existé dans la science dès l'origine. Les idées de limites et d'infiniment petits ont fait la vie primitive de la géométrie. Nous avons déjà cité les paroles de réminent géomètre qui remarque que la notion et la conception fondamentale des limites, ces deux idées générales les plus fécondes des sciences mathématiques, remontent presque jusqu'à leur berceau1.

Il fallait bien que le procédé inductif ou transcendant fût dès l'origine dans la science , puisqu'à la rigueur c'est l'unique procédé d'invention, l'autre ne pouvant que déduire. Mais les deux mouvements nécessaires de la raison sont évidemment et nécessairement dès l'origine dans toute science.

Ce qui est particulier aux modernes, c'est qu'ils ont organisé dans le calcul le procédé de transcendance. Ce que M. Cournot appelle « le développement par l'algèbre « du principe d idemi.é, » c'est l'algèbre ordinaire. C'est le

1 Duhamel. Traité élémentaire de çalçid infinitésimal. Préface.

INTRODUCTION. lxxxv

mouvement des équations allant par voie d'identité, transformant un principe donné en toutes ses conséquences. Mais les modernes, savoir Newton et Leibniz, ont incarné dans le calcul, comme méthode régulière, générale et habituelle, le procédé de transcendance.

De sorte que nous n'avons plus seulement dans la science... « le développement par l'algèbre du principe « d'identité, » nous avons aussi « le développement par « l'algèbre du principe de transcendance. » Les deux pi'océdés ou mouvements nécessaires de la raison sont inoculés dans l'algèbre. Il y a ce que Lagrange appelle « l'analyse algébrique des quantités unies, » et il y a « l'analyse transcendante. »

Quand Leibniz découvrit son calcul infinitésimal, il lui donna le nom de transcendant, et l'appela « supplément « de l'algèbre ordinaire. » De sorte que ce qu'on appelle les hautes mathématiques , les mathématiques transcendantes, ou la haute analyse , c'est précisément celte partie des mathématiques qui repose sur le principe de transcendance. Ainsi du moins l'entendent plusieurs écrivains compétents.

« Ce n'est que dans ces derniers temps, dit Gehrard4, « que les recherches théoriques ont amené à cette convie- « tion que la conception des limites est l'unique fonde- « ment solide de tout l'ensemble de la haute analyse ; et « pourtant il y a bien des voix qui disent encore que c'est « une conception trop obscure et trop difficile pour ceux « qui entreprennent l'étude des hautes mathématiques. »

1 Découverte de la haute analyse, par Gehrard. Halte, 1855.

iawm INTRODUCTION.

V L'un des fondements de la haute analyse, dit Whewel, « c'est l'idée des limites. L'idée des limites ne peut être « remplacée par aueune autre définition ou hypothèse. a L'axiome, qui introduit celte idée dans le raisonnement, « est celui-ci : Ce qui est vrai avant la limite, est vrai u à la limite. Cette idée ou axiome est la base commune « de toutes ces méthodes, dites des limites, des fluxions, « des variations» des différentielles et le reste1. » Ainsi, selon ces deux auteurs , toute la haute analyse repose sur l'idée des limites, ou sur ce principe : « Ce qui est vrai en « deçà de la limite est vrai à la limite. » Cette formule ne diffère en rien pour le fond, et diffère très-peu pour la forme des formules données par Wallis et Leibniz. C'est le principe de transcendance , ou principe d'induction , base de la méthode infinilésimale, comme le soutient et le montre Wallis. Seulement il reste à critiquer cette formule qui, nous l'avons vu ci - dessus , mène à l'erreur si elle n'est appliquée en son lieu et d'après les règles. Il faut dire dans quels cas elle s'applique. En d'autres termes, il reste à établir la théorie précise et entière de l'induction.

L'induction donc, aussi bien que la déduction, c'est-àdire les deux mouvements nécessaires et suffisants de la raison , sont aujourd'hui organisés dans le calcul et dans l'algèbre.

Et voici qui est admirable , c'est que cette puissance de la raison , méthodiquement organisée par le calcul dans ses deux mouvements essentiels, a été appliquée par les

1 Whewel, Philosopliy of the induciive sciences, Aphorism. 42. Nous avons vu pluslur.it les réserves qu'il faut l'aire à propos de cet aNioine.

IlNtroim cnoY lxxxvii

modernes à l'étude même de la nature, et s'appuie sur les phénomènes contingents pour arriver aux lois. L'analyse transcendante de Leibniz et de Newton est réellement l'induction sous forme mathématique, applicable et appliquée à la physique. Déjà Leibniz avait remarqué que son « eal- « cul est surtout utile pour appliquer les mathématiques à « l'étude de la nature » Quant à Newton , il a donné le plus admirable modèle de cette application dans son livre des Principes mathématiques de la philosophie naturelle.

Enfin il est fort important de remarquer que l'induction ou procédé de transcendance se trouve aujourd'hui dans la science à deux états très -différents : à l'état libre et à l'état organisé. Elle est organisée dans le calcul infinitésimal. Elle opère par des règles prévues, lesquelles se ramènent toutes au principe de Wallis el de Leibniz. Le résultat s'obtient méthodiquement, immédiatement, à coup sur. Passer de la fonction primitive à la fonction dérivée, par la différenciation, c'est un acte de celte induction. M. Apelt le démontre amplement. J'ai cité cette démonstration. De mon côté, j'avais déjà démontré la même vérité dans la première édition de ma Logique (livre iv, au commencement). L'autre état où se trouve l'induction, l'état libre et non organisé, est celui où l'emploient tous les chercheurs et inventeurs, ceux qui font avancer la science, qui cherchent les lois, non encore connues , de certaines suites défaits géométriques ou algébriques. Là on neprocèdeplus à coup sur : on cherche. C'est ainsi que Newton a trouvé la

1 Magnum comprimis usum habel calculus Me in tnuisferenda mathesi ad naturam. Lettres à Fardella. Septembre 169G.

Lxxxviu INTRODUCTION.

loi du binôme, en concluant de quelques faits à tous, Mais lorsqu'on trouve, c'est qu'en ce cas on a suivi, au fond et en substance, la méthode telle qu'elle est incarnée dans le calcul et telle que je l'ai décrite du point de vue philosophique dans ma Logique et dans la Connaissance de Dieu.

M. Apelt distingue ces deux états de l'induction qu'il nomme les deux formes de l'induction, sa forme hypothétique et sa forme catégorique. L'une, dit-il, est l'induction de Kepler, et l'autre celle de Newton. Kepler, étant donnés plusieurs points de la courbe que parcourt la planète, a trouvé la nature de la courbe. C'est l'induction à l'état libre, affaire de tact et de génie, dont Kepler dit lui-même : « Mon bon génie me souffle le résultat. » Le bon génie procède selon la loi de l'induction, et l'inventeur aussi , mais l'inventeur a suivi , sans le savoir, la loi que le bon génie connaît bien. L'autre forme, dit toujours M. Apelt, est celle par laquelle Newton, étant donnée l'équation de l'orbite, a trouvé la loi de la cause qui produit cette forme de l'orbite. Or, la loi de cette cause, dit M. Apelt, est donnée justement par la fonction dérivée de l'équation de l'ellipse.

Wallis dislingue aussi très-bien ces deux formes de l'induction, l'une à l'état méthodique et l'autre à l'état libre.

La première est celle qu'il pose comme principe de son arithmétique des infinis; c'est à la fois le principe des limites et des infiniment petits, savoir : « Lorsque dans le « fini deux quantités convergent de manière à l'approcher « toujours, elles sont égales dans l'infini h »

1 Wallis exprime son axiome de plusieurs manières, identiques au fond. Dans le chapitre îx de l'algèbre, il dit : Quœ ita continuo conver-

INTRODUCTION. lxxxix

La seconde (jui, lorsqu'elle va droit et quand elle trouve, na pu que procéder, au fond, comme la première, cette seconde, Wallis la décrit au commencement de son arithmétique des infinis. L'induction, là où elle n'est pas organisée dans le calcul, consiste, selon Wallis, en ceci : 1° Opérer le calcul dans un certain nombre de cas particuliers. 2° Observer les rapports qui apparaissent entre ces cas particuliers. 3° Puis, par l'acte inductii' proprement dit, formuler la loi générale.

Donc enfin, puisque l'induction est l'un des deux procédés fondamentaux de la géométrie, puisque c'est à l'induction, comme s'exprime Laplace, que l'analyse mathématique doit ses plus brillantes découvertes, je conclus que l'induction, ou procédé de transcendance, n'est point un procédé de tâtonnement, de conjecture qui ne mène qu'à la vraisemblance ou à la probabilité ; mais au contraire, c'est un procédé scientifique, légitime, fécond, exact, le plus puissant des deux mouvements de la raison pour trouver et montrer la vérité dans toutes les directions de la pensée.

Nous espérons contribuer, par ce travail, à l'achèvement de l'importante théorie de l'iiiduction. De l'aveu des contemporains qui se sont occupés de ce point, cette théo-

gunt ut futura sit ditïerentia minor quavis data, ea, si in infinitum continuantur, coïncident.

LNTROliUCTiOiY.

lie n'est pas achevée. MM. Hamilton1, Whewell2, Apelt", de Ré m usât h et WaddingtQiï s, chez lesquels je trouve des données excellentes sur l'induction, sont ici d'accord avec nous G.

Quant à nous, si nous croyons avoir Fart avancé cette théorie, nous n'avons jamais espéré l'achever, l'arrêter et la formule? tout entière, scientifiquement. Ce travail reste à l'aire, et nous exhortons vivement les logiciens à l'entreprendre, en s'aidant des auteurs que je viens d'indiquer, et aussi des ouvrages de Herbart et des nôtres.

Voici d'ailleurs le résumé de notre pensée sur l'induction considérée en elle-même, et dans ses rapports avec l'ensemble de la philosophie.

1. Il y a Dieu, il y a l'àme, il y a le monde, L'àme est l'image de Dieu : le monde aussi, d'une certaine manière, est l'image de l'àme et de Dieu.

2. L'àme sent tout, et, comme le dit Bossuet, a le pouvoir d'être rendue conforme à tout. L'àme sent Dieu et le monde et elle-même.

1 OEuvres complètes. — 2 Histoire des sciences iaductives (cet ouvrage a été traduit en allemand par Littrow). — 8 Théorie de l'induction. — 4 Bacon, sa rie, sa philosophie. — 5 Essais de logique.

6 II y a, dans le livre de M. de Rémusat, une discussion fort remarquable sur l'induction. J'y lis ce jugement fort simple, mais excellent : « II n'y a point d'induction de Bacon. » J'y vois d'ailleurs Bacon fort bien jugé comme philosophe — ni si haut, ni si bas — sans partialité ni passion. Quant à l'induction même, M. de" Rémusat en poursuit et en cerne l'idée avec beaucoup de tact, de tinesse et de liberté d'esprit. Mais, selon nous, il ne l'atteint pas. Il ne la distingue pas assez décidément du syllogisme et ne croit pas que l'existence ou la non existence du moyen terme soit une différence radicale entre les deux. Nous croyons que c'est là précisément ce qui empêche de saisir la véritable idée de l'induction.

INTRODUCTION

3. Ce sens de l'âme i qui est sa première puissance, la racine double de son intelligence et de sa volonté, ce sens qui est rinslinct du désirable et de l'intelligible, ce sens implique fondamentalement deux idées, qui sont innées : Tune est l'idée de l'être, de l'être fini et de l'être infini ; l'autre est l'idée de cause, de cause première et de cause finale.

k. Pourquoi ce sens implique-t-il l'idée de l'être fini et de l'être infini? Précisément parce que l'àme sent Dieu, l'être infini, et le monde et elle-même, êtres finis. Pourquoi ce sens implique-t-il l'idée de cause première et de cause finale? Précisément parce que l'àme sent Dieu, qui est tout cela.

5. Quoi qu'il en soit, ces deux idées, implicites et obscures, sont les racines de la raison.

6. De ces deux racines naissent les deux principes rationnels, savoir : le principe ^identité et le principe de transcendance ; principe d'idenlité, relatif à l'idée de l'être ; principe de transcendance relatif à l'idée de cause.

7. De là découlent les deux axiomes régulateurs des mouvements de la raison.