CIL

Le quantum a son développement et sa déterminabilité complète dans le nombre (2), qui, par là que son élément est l'un, contient comme moments qualitatifs, suivant le côté delà discrétion, le nombre particulier (3), suivant celui de la continuité, X unité (4).

REMARQUE

Dans l'arithmétique on présente ordinairement les diverses espèces du calcul comme des façons contingentes de combiner les nombres. Mais, s'il y a une nécessité, et par suite une raison qui président à ces combinaisons, il faut

(1) Dans la quantité pure la différence de la continuité et de la discrétion est encore à l'état d'enveloppement, de possibilité, elle est en soi, suivant l'expression du texte, précisément parce qu'elle n'est que quantité pure, la possibilité de toutes deux. Dans le quantum cette différence est posée, réalisée : elle devient différence réelle.

(2) Zahl : le nombre en général.

(3) Anzaht : nombre particulier, une certaine somme des uns.

(4) Einheit : l'union des uns dans un certain nombre qui est leur unité.

que cette raison ait son fondement dans un principe, et ce principe ne peut résider que dans les déterminations que contient la notion du nombre lui-même. Ce principe nous devons l'indiquer brièvement ici. — Les déterminations de la notion du nombre sont le nombre particulier et Yunité, et le nombre lui-même est l'unité de tous les deux. L'unité appliquée à des nombres donnés (1)' n'est que leur égalité. Par conséquent, le principe des différentes formes du calcul consiste à poser des nombres dans le rapport de l'unité et du nombre particulier, et à produire l'égalité de ces déterminations.

Comme les uns, ou bien les nombres eux-mêmes sont dans un état d'indifférence réciproque, l'unité où on les réunit apparaît comme un assemblage extérieur (2). Par conséquent, calculer c'est nombrer en général (3), et la différence des formes du calcul réside dans la nature qualitative (h) des nombres qu'on combine en nombrant, et cette nature qualitative a pour principe l'unité et le nombre particulier (5).

La première opération du calcul est la numération, qui

(1) Empirische Zahlen : nombres empiriques. Ainsi, dans 3 -f- 7 = 1 0^ 1 0 et à la fois l'unité et l'égalité des deux nombres empiriques 3 et 7. On verra plus loin § 117 que l'égalité et l'inégalité sont deux déterminations de la réflexion extérieure, qui ici établit entre les nombres des rapports arbitraires et conventionnels.

(2) Ein àusserliches Zusammenfassen. C'est un assemblage extérieur par cela môme qu'ils sont dans un état d'indifférence réciproque, et qu'on les réunit d'une façon arbitraire et conventionnelle.

(3) Zahlen, assembler des nombres.

(4) Qualitative Beschaffenheit : la nature, la constitution qualitative.

(5) C'est-à-dire que le principe qui détermine cette nature qualitative ou cette qualité des nombres estl'unilé, le nombre particulier et leur rapport, de telle sorte que, quelle que soit la qualité des nombres, c'est suivant ce principe qu'elle est déterminée.

DOCTRINE DE L'ETRE. QUANTITÉ. /l53

consiste à composer des nombres, à assembler arbitrairement plusieurs uns(l). Mais le calcul ne commence que lorsqu'on a déjà formé des nombres, et qu'on n'a plus simplement des uns.

Les nombres sont d'abord à l'état immédiat, ce sont des nombres tout à fait indéterminés, et, par conséquent, inégaux (2). Combiner ou nombrer de tels nombres c'est additionner.

La détermination qui suit immédiatement après c'est que les nombres sont en général égaux, et que par suile ils forment une unité, et qu'il y a un nombre particulier qui les contient (3). Calculer de tels nombres c } ^{multiplier . Ici il est indifférent de placer le nombre particulier ou l'unité dans l'un ou l'autre des deux facteurs, et de prendre l'un ou l'autre pour nombre particulier ou pour unité (û).

La troisième et dernière déterminabilité c'est Y égalité du nombre particulier et de Yunité. Nombrer de tels nombres c'est les élever à la puissance, et d'abord au carré. Toutes les autres puissances ne sont qu'un développement formel d'une série de nombres particuliers indéterminés engendrée

(1) Les différents systèmes de numération sont une conséquence de l'indétermination de la quantité. Suivant les différents systèmes telle quantité peut être indifféremment prise comme unité ou comme nombre particulier.

(2) Il faut, en effet, qu'ils soient d'abord des quantités discrètes et inégales.

(3) C'est-à-dire qu'il y a un nombre particulier, une somme qui les contient comme égaux, qui fait leur égalité.

[i) L'addition tout en établissant entre les nombres un rapport d'égalité^ y introduit la différence du nombre particulier et de l'unité : 2 -f- 4 = 6. Dans cette égalité 6 est l'unité des nombres 2 et 4. Comparer et amener l'égalité de ces nombres, c'est multiplier. Comme l'unité n'est ici que l'unité du nombre particulier, il est indifférent de prendre l'un ou l'autre des deux facteurs pour nombre particulier ou pour unité ; le résultat sera le même.

/l5ft LOGIQUE. — PREMIÈRE PARTIE.

par la multiplication du nombre par lui-même (1). — Comme dans cetle troisième détermination on atteint l'égalité complète de la seule différence qu'on a ici, c'està-dire du nombre particulier et de l'unité, il ne saurait y avoir que ces trois formes de calcul. — A la composition du nombre correspond sa décomposition, et cela suivant les mêmes déterminations. Par conséquent, à côté des trois formes du calcul qu'on peut appeler positives, il y en a trois autres qu'on pourra appeler négatives.

Zusatz. Comme le nombre en général est le quantum dans sa complète déterminabilité, nous nous en servons pour déterminer non-seulement les grandeurs appelées discrètes, mais aussi les grandeurs appelées continues. C'est également pour cette raison que la géométrie doit em-

(1) Dans la multiplication Yunilé et le nombre particulier demeurent distincts, et leur égalité n'est que dans leur rapport, 3X5 = 5X3, ou trois fois (nombre particulier) 5 (unité, un quantum) = 5 fois 3. Dans l'élévation à la puissance cette différence disparaît, et l'on a Vunité posée à la fois comme unité et comme nombre particulier. Le carré est la première puissance, et la puissance où cette parfaite égalité des termes se trouve réalisée. Par là, toutes les formes du calcul se trouvent développées. Il n'y a dans la notion du nombre ni d'autres déterminations qui puissent produire d'autres différences, ni d'autres égalités qu'on puisse établir entre les différents nombres. L'élévation à une plus haute puissance que le carré est, pour les exposants pairs, un développement formel du carré, et, pour les exposants impairs, un retour de l'inégalité, dans le cube par exemple. A ces formes, qui peuvent être appelées positives, correspondent d'autres combinaisons qui peuvent être appelées négatives. Les premières composent, les secondes décomposent les nombres. Mais on y retrouve les mêmes rapports. Ainsi, dans la division, le diviseur et le quotient peuvent, chacun tour à tour, être considérés comme formant le nombre particulier, ou l'unité. Le diviseur, par exemple, est pris comme unité, et le quotient comme nombre particulier lorsque, dans la division, on veut savoir combien de fois (nombre particulier) un nombre (unité) est contenu dans un autre, et il est pris comme nombre particulier, lorsqu'on veut partager un nombre en un nombre donné de parties, et trouver la grandeur de chacuue de ces parties (unité). Conf. § cvi.

ployer le nombre, lorsqu'il s'agit de déterminer les figures de l'espace et leurs rapports.